1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 20
Текст из файла (страница 20)
декартовгя прямоугольные координаты точки (или координаты ее радиуса-вектора г) 112 Г х а х а хк основы пактОРпой лг!Гевяы й 40. Угол от одного вектора до другого на ориентированной плоскости (2) или (а, Ь)=(1, Ь) — (1, а) (апой 2к). (5) Введем декартову прямоугольную систему ряс вв координат, выбирал произвольно начало координат О; направим ось Ох по вектору 1, ось Оу по вектору 1 и примем этп векторы 1 и у за масштаб- ные соответственно для осей Ох и Оу (рис.
88). На основании определения тригонометрических функций имеем соз(1, а) = ', Б!п(1„а) = 1/ х!+у! )/ х';+ у', соз(1, Ь)= ", Б!п(1, Ь)= /- у' . (7) )/.;;+, )/ х*+у,,' Отсюда и из соотношения (5) находим соз (а, Ь) = соз (1, а) соз (1, Ь) + гйп (1, а) Б1п (1, Ь) = х«хх + у«ух ),/ „',+у, )/ х',+у, Б!п(а, Ь) =Б!п (1, Ь) соз(1, а) — гйп(е, а) соз(1, Ь)=- ««у« ««у! )// х', + у; )/ х', + у', (8) Теорема 1, Введем на плоскости орп!онормированнь~й базис 1, 1 (этим самым плоскость ориентирована).
Пусть а=(х„у,) и Ь = ( х„у, ) — ненулевые векторы, координаты которых даны относительно базиса 1, 7. Обозначим через (а, Ь) л!обое из значений ° ' ориентированного угла аЬ. Тогда и.иею!и место формулы! ««~+У«У« (!) Б)п (а, Ь) = х/ х~ «х/ «х )/ х —,- у, )/ хх -1- у 1н (а Ь)— (3) х,х, + у«у, ' причем последняя формула имеегп место тогда и только тогда, когда векторы а и Ь не взаимно перпендикулярны. Д о к а з а те л ь с т в о. На основании теореу Ь мы Шаля имеем (1, а)+(а, Ь)=(1, Ь) (пюд2п), (4) я 40 УГОЛ От ОДНОГО ВБКТОРЛ ДО ДвУГОГО пз Из полученных выражений для соя(а, Ь) и з1п(а, Ь) в случае (а, Ь) Ф вЂ” (шос1п) получаем формулу (3). 3 а м е ч а н и е. Если на плоскость введен ортонормированный базис, то координаты единичного вектора а (аз=1) равны соответственно сояи и з)па, где а — угол от вектора 1 до вектора а, т.
е, и=ф, а). Это следует из формул (6) (х, '+у,'=-1). Теорема 2. Если на плоскости введен ортоноржировинный базис е', у (этим плоскость ориентирована) и относительно этого базиса задан ненулевой вектор а=(х, у), а вектор Ь получен из вектора а поворотом на угол ав, то Ь=(хсояи — у я1псе, ха)пи+усова ). (8) Доказательство. Из соотношения (4) находим соя(ю', Ь) =соя(Е, а)соя(а, Ь) — я!п(Х, а) гйп(а, Ь), 1 я1п (Х, Ь) = соя (е, а) я1п (а, Ь) + я)п (Х, а) соя (а, Ь).
) (9) По определениго тригонометрических функций соя((, а) = —, я1п(1, а) = ~ соя (г, Ь) = —,, я! п (1, Ь) = э ! Ь! ° где х', у' — координаты вектора Ь. Из этих формул и соотношений (9) следует, ' +11 что ь х'=хсояа — угйпа„у'=хз!па+усова. (10) а Следствие. Будем обозначать через (а) О вектор, полученный из ненулевого вектора а, Рве. зз лежащего в ориентированной плоскости, поворотом на угол + —. Тогда если в Ортопормированном базисе 2 ' а=(х, у), то (а) =( — у ).
В самом деле, это сразу следует из формул (10), если положить в пих я= — (рис. 89). 2 " То есть (а, о)=сс (Л1ов2и) и !в!=!Э!. Г в а ва вУ ОСНОВЫ ВБКТОРНОЙ ЛЛГЯБРЫ $ 4!. Объем ориентированного параллелепипеда Назовем параллелограммол! ЛВОС совокупность граничных точек Л, В, С, 0 двух равных между собой направленных отрезков ЛВ=СР. Точки А, В, С, Р назовем вершнпамн параллелограмма ЛВРС; отрезки ЛВ, СР, ЛС, ВО назовем сторонами параллелограмма, а отрезки АО н ВС вЂ” его днагопалямн.
Если вершины Л, В, С, 0 параллелограмма принадлежат одной прямой, то такой параллелограмм будем называть !! вырожденным. ! ( Совокупность вершин двух паралле- АА лограммов АВРС и Л'В'0'С', симмет! ричных друг другу относительно не- которой точки О, назовем параллеле>,л' пипедом (точки Л, В, С, 0 снмметрнчны соответственно точкам А', В', С', Р' относительно точки 0). Назовем вершнпамн параллелепипеда вершнпы м этих параллелограммов; отрезки ЛЛ', ВВ', СС', РР' †диагоналя параллелепнпеда; стороны параллелограммов ЛВОС, Л'В'С'0', а также отрезки АР', РЛ', ВС', В'С вЂ” ребрамн парал! лелепнпеда.
Гранями параллелепипеда назовем параллелограммы АВРС, А'В'0'С', ЛВС'Р', А'В'СР, АСВ'0', Рис. 90 А'С'ВР (рнс. 90). Если вершины параллелепипеда принадлежат одной плоскости, то он называется вырожденным. Параллелепипед однозначно определяется заданием трех его направленных ребер, выходящих нз одной вершины, например РЛ', РВ, РС. Орнентнрованным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого упорядочены трн ребра, выходящие нз одной вершины. Ориентированный параллелепипед будем обозначать так!(0А', РВ, — — — в. РС), где РА', РВ, РС вЂ” трн его направленные ребра, выходящие нз одной вершины н упорядоченные записью РА' — первое ребро, Р — второе, РС вЂ” третье. 3 а м е ч а н н е.
Каждому ориентированному параллелепипеду (РА', ОВ, РС) можно поставить в соответствие ориентирован- %4!. Ов'ьем ОРивптиРовлнного ПАрл;[лелепипвдл Ыз ный тетраэдр А'ВСВ ($ 18) и, обратно, всякий ориентированный тетраэдр А'ВСР ставится в соответствие и притом только одному ориентированному параллелепипеду (РА', РВ, ВС). Так как всякйй невырождепный тетраэдр можно ориентировать только двумя различными противоположными способами (см. з 15), то н всякий невырождепный параллелепипед можно также ориентировать только двумя противоположными способами. Пространство, в котором введен невырожденный ориентированный параллелепипед (ОЕ„ОЕ„ОЕ,) (базисный параллелепипед), называется ориентированным.
Будем говорить, что невырожденпый ориентированный параллелепипед П (ВА', РВ, РС) имеет положительную ориентацию, если он одинаково ориентирован с базисным параллелепипедом; если же эти параллелепипеды имеют противоположные ориентации, то параллелепипед П имеет отрицательную ориентацию. Произведем кратчайший поворот от направленного отрезка РА' к направленному отрезку РВ в плоскости РА'В и будем наблюдать его с той стороны от этой плоскости, где расположена точка С.
Произведем кратчайший поворот от направленного отрезка ОЕ, к направленному отрезку ОЕ, в плоскости ОЕ,Е, и будем наблюдать его с той стороны от этой плоскости, где расположена точка Е,. Если эти повороты совершаются в одном направлении, то упорядоченные тройки РА', РВ, РС и ОЕ„ ОЕ„ ОЕз имеют одинаковую ориентацию (см. ~ 15, а также дополнение 1), а параллелепипед П и базисный параллелепипед имеют одинаковую ориентацию. В противном случае †противоположн. Каждому ориентированному параллелепипеду (ВА', РВ, РС) можно поставить в соответствие упорядоченную тройку свободных векторов а, Ь, с, определяемых соотношениями а=ОА', Ь РВ, с=ВС. Если же задана упорядоченная тройка а, Ь, с векторов, то имеется бесконечное множество ориентированных параллелепипедов, каждому из которых ставится в соответствие эта упорядоченная тройка векторов: точка Р выбирается произвольно, а затем от точки 0 откладываются векторы а, Ь, с: РА =а, РВ=Ь, Ос=с, Все такие параллелепипеды получаются всеми переносами любого из них.
Понятие ориентации (положительной и отрнца- 116 Г л а в а !!' ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ ЛЛГЕВРЫ тельной) упорядоченных точек направленных отрезков ОА', ГВ, ГС (не лежащих в одной плоскости) переносится и на упорядоченные тройки а, Ь, с некомпланарных векторов, а имешю, говорят, что упорядоченная тройка некомпланарпых векторов ориентированного пространства имеет положительную ориентацию, если положительную ориентацию имеет упорядоченная тройка направленных отрезков ОЛ', ОВ, ОС, которые мы получим, от- Рис. 92 в'ис.
91 кладывая векторы а, Ь, с от произвольной точки О. Если же упорядоченная тройка ОЛ', ОВ, ОС имеет отрицательную ориентацию, то и упорядоченная тройка векторов а, Ь, с имеет отрицательную ориентацию. Это определение не зависит от выбора точки О. За меча н и е. Иногда вводят понятия правой и левой упорядоченных троек пскомпланарных векторов; именно, упорядоченная тройка а, Ь, с пекомпланарных векторов называется правой, если по векторам а, Ь, с можно направить соответственяо большой, указательный и средний пальцы правой руки (рис. 91) или если кратчайший поворот от вектора а=ОЛ к вектору Ь=ОВ в плоскости ОАВ кажется происходящим против часовой стрелки, если смотреть на плоскость ОЛВ со стороны конца С вектора ОС = с (рис. 92). Аналогично определяется левая упорядоченная тройка пекомпланариых векторов (рис.
93 и 94). Однако эти понятия имеют лишь физический смысл. В математике имеет смысл говорить лишь об одинаковой или противоположной ориентации двух упорядоченных некомпланарных троек векторов; этим самым множество всех таких троек делится на два класса: две упорядоченные некомпланарные тройки векторов принадлежат одному 44Е ОБъем ОРиептиРОБлниОГО ЛЕРьллелепипедл ыт классу, если они одинаково ориентированы, н к разным, если они Ориентированы противоположно.
Какой нз классов упорядоченных пскомпланарных векторов назвать 4<правым», а какой «левым»вЂ” безразлично. Определение. Объемом невырожденного ориентированного параллелепипеда (ВА', ВВ, РС), находящегося в ориентированном пространстве, называется число, равное по абсолютной величине обьему параллелепипеда с ребрами ВА', ВВ, ВС, положительное, Рис. 93 Рис. 94 если упорядоченная тройка направленных ребер ВА', РВ, ВС имеет положительную ориентацию, и отрицательное, если упорядоченная тройка ВА', ВВ, ВС имеет отрицательную ориентацию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
