1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть Н вЂ” проекция точки А на плоскость ОВС. Найти вектор 071. — апс Отв. 077=а — — !псам. 1Ьс 1' 11. Даны четыре вектора ОА=а, ОВ=Ь, ОС=с н ОО=а. Векторы а, Ь, с некомплаиарны. Пусть Я-точка пересечения прямой ОО с плоскость!о АВС. Найти вектор ОМ. айс О!ив 011=- ай а~~+ ! ЬсУ. глава т ПРЯНАЯ ЛИНИЯ НА ПЛООКОСТИ й ой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении Направляющим вектором прямой называетпся мобой ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, Теорема 1.
В общей декартовой системе координат уравнение прямой р, проходки(ей через точку М, (х„у ) с направляющим вектором а=(1, и), имеет вид х-х, у-уз) х — хе у — у, щ До к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольную точку М (х, у) плоскости. Точка М (х, у) лежит на прямой р тогда и только тогда, когда векторы М,М=(х — х„у — уе) и (1, т) коллинеарны. Условием коллинеарности этих векторов является равенство Ц 36, теорема 5): х — х, у — д, ! О1 или' х-хз у — уе ! т Уравнение (1) или (!') называется каноническим уравнением прямой.
" Если один из знаменателей ! или п~ равен нулю, то уравнение (у) означает, что равен иул1о соответствующий числитель. Е вь евшее кРАвпение пгячой 1ЗЭ й 51. Общее уравнение прямой Теорема 1. В общей декартовой систел~е координат прямая выра»кается уравнением первой степени: Ах+Ву+С=О. (1) До к а з а те л ь с т в о. Перепишем каноническое уравнение прямой (2 50) в виде тх — 1у+ 1у,— тх, = О. Полагая т 2 (обратная). Всякое уравнение первой степени Ах+Ву+С=О (2) в оби(ей декартовой системе координат является уравнением прямой. До к а з а т е л ь с т во.
Пусть х,, у, — какое-нибудь решение урав- нения Ах+Ву+С=О, т. е. Ах,+Ву,+С=О. (3) Данное уравнение будет эквивалентно уравнению, которое мы получим, отняв почленно из уравнения (2) равенство (3)~ А(». хо)+В(у ув)=О~ или у у А По доказанному в предыдущей теореме это уравнение, а следовательно и уравнение (2), является уравнением прямой, направляющим вектором которой является вектор а= ( — В, А) и которая проходит через точку (х„у„). Уравнение Ах ВВуб С=О называется общим уравнением прямой. Из предыдущего параграфа следует, что если прямая задана общим уравнением Ах+ Ву+С=О относительно общей декартовой системы координат, то вектор (-- В, А) и всякий ненулевой вектор, с ннм коллинеарный, является направляющим вектором этой прямой.
Это уравнение вой, а потому В = — 1). Теорема =А, — /=В, 1у,— тх,=С, приведем его к виду Ах+ Ву+С =-О. первой степени, так как вектор а=(1, т) ненуле- А и В одновременно в нуль пе обращаются (А =т, й 52. Направляющий вектор прямой 140 Г а а а а ~ ПРЯМХЯ ЛИПИЯ ИЛ ПЛОСКОСТИ Теорема. Веобходимым и десятитонным условием того, что вектор а=(1, т) коллинеарен Прямой, заданной относительно оби(ей декартоеой тщтемы координапт уравнением Ах -',— Ву + С = О, является условие Л(+ Вт = О. Доказательство. Отложим вектор а=(), т) от любой точки М,(х„у,) данной прямой. Конец Р отложенного вектора будет иметь координаты хе+1, уе+т. Вектор а=-(1, т) коллинеареи данной прямой тогда и только тогда, когда точка Р лежит на данной прямой, т. е.
тогда и только тогда, когда выполнено равенство Л (ха+))+ В(уь+т)+С=О, или А(+ Вт = О (Лх,+Ву,+С=О, так как точка М, лежит на данной прямой). Если прямая задана общим уравнением Лх+Ву+С=О относительно декартовой прямоугольной системы координат, то вектор а=(А, В) перпендикулярен этой прямой. В самом деле, ам=- — В Л+Л В=О, значит, вектор а перпендикулярен направляющему вектору ( — В, А) данной прямой, а потому вектор и перпендикулярен и самой прямой. Для общей декартовой системы координат это положение, вообще говоря, пе имеет места.
Вектор те=(А, В), координаты которого служат коэффициентами в общем уравнении Ах+Ву+С=О прямой относительно общей декартовой системы координат, будем называть гла вным вектором этой прямой. Главный вектор и=- (Л, В) прямой, заданной уравнением Ах+ Ву+С=-О относительно общей декартовой системы координат, исколлинсареи этой прямой. В самом деле ((= Л, т=В), А Л-)-В В= Ла+В'фО. газ.
чхстпыг. слкчлп гхсположвния пгямои Ь' 53. Частные случаи расположения прямой относительно системы координат Прямая Ах+Ву+С=-О коллпнсарна оси Ох тогда и только тогда, когда Л =- О, так как направляющий вектор ( — В, Л) прямой Лх+Ву+С= О коллипсареп оси Ох тогда и только тогда, когда вторая координата этого вектора равна пулю. Уравнение прямой Ах+Ву+С=-О в случае, если эта прямая колливеарпа оси Ох, имеет, таким образом, вид Ву+С=О, или С 'г у =- Ь ( где Ь = — — ) .
в) Аналогично доказывается, что прямая Лх-~-Ву+ С=О коллинеариа оси Оу тогда и только тогда, когда В = О, т. е. тогда и только тогда, когда общее уравнение Лх+Ву+С=О прямой имеет вид Ах+С=О, или х=а (а= — — ), Ог А)' Необходггмьггг и достаточным условием того, что прямая Ах+Ву+С=-О проходит через начало координат, является равенство С=О, так как в случае С=О и только в этом случае уравнение Ах-)- Ву+ С = О удовлетворяется координатами начала координат. Таким образом, общее уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид Ах+ Ву=О, и обратно (т. е.
любое однородное уравнение Лх-)-Ву=б первой степени определяет прямуго, проходящую через начало координат). $54. Параметрические уравнения прямой Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М„(х„у,) и имеющей направлягощггй вектор а=(г, т), в общей декартовой системе координат имеют вид х=-х,+ге, у=у,+те. Доказательство. Пусть М(х, у) — произвольная точка плоскости. Точка М(х, у) будет лежать на данной прямой тогда и только тогда, когда векторы М,М=(х — х„у — уе) и а=((, пг) коллипсарны, т.
с. тогда и только тогда, когда они отличаются числовым множителем М,М=га, или в координатах х — х,=-гг, у уе=тт~ откуда х=хО+П, у=уО+тт. глааа е пьямля линия пх плоскости м2 Если Е принимает все действительные значения, то точка М с этими координатами описывает всю данную прямую. Замечав не 1. Из соотношения (1) находим мььл т. е. Е есть координата точки М на данной прямой в следующей системе координат: М, — начало координат, а -масштабный вектор.
Замечание 2. Вводя радиусы-векторы ОМь=гь и ОМ=е точек М, и М, можно соотношение (1) переписать так' е — г =(а, о откуда и = Ф'ь + та. Это уравнение называется параметрическим уравнением прямой в векторной форме, проходяшей через точку Мь(гь) и имеющей направляющий вектор а, 5 55. Уравнение прямой, проходящей через две точки Теорема. Уравнение прямой, проходящей через две точки М,(х,, у,) н М,(х„у,), заданные относительно общей декартовой системы координат, можно записать в одном из следующих видов: (1) хь — х1 Е,— у~ ' или ! х-хт д — д, =О, х,— х у,— уд (2) или х д 1 хх у, 1 х, д, 1 (3) М,М, =(х — х, у,— уь); далее остается применить результаты й 50 и 54. или в параметрической форме х=х,+(хз — х,) с, у=у,+(у,— у )с (в этих уравнениях с есть координата точки М на прямой М М, в следующей системе координат~ М,— начало координат, Ме — еди- ничная точка), До к аз атея ь ство.
За направляющий вектор прямой можно взять вектор ааЗ й 56. Уравнение прямой в отрезках Пусть прямая р не проходит через начало общей декартовой системы координат и пересекает обе оси координат: ось Ох в точке (а, О), а ось Оу в точке 10, о). Абсцисса а н ордпната б точек пересечения прямой с осями Ох и Оу часто называются отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат, Уравнение прямой р будет иметь вид х у ! а О ! =О, или — + — =!.
х в О о ! ь Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках. й 57. Угловой коэффициент прямой Определение, гагловьа,аа коэффиагиентом в прямой р, заданной относительно общей декартовой системьа координат, называгтся отношение второй координатьа направляющего вектора а = !1, т) эвюй прямой к его первой координаапе: ьа Прямые, параллельные оси Оу, и сама ось Оу не имеют углового коэффициента, так как первая координата любого направляю щего вектора всех таких прямых равна нулю.
Для каждои прямой, пересекающей ось Оу, угловой коэффициент имеет вполне определенное значение, не зависящее от выбора направляющего вектора В самом деле, если )1, ап) и )1, т') — два направляющих вектора одной и той же прямои, пересекающей ось Оу, то 1фО, 1'фО и, следовательно Я Зб, теорема 4), й=— ва ва а' ' В декартовой прямоугольной системе координат угловой коэффициент й прямой, пересекающей ось Оу, равен тангенсу угла сь от оси Ох до направляющего вектора этой прямой: й= !К се. В самом деле, если угол от оси Ох до вектора а равен са, то па основапяи теоремы 4 Ч 1! коордииага 1 ортогональной проекции вектора и на ось Ох равааа 1=)а ! сози. 144 Г»ььь К ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НЛ ПЛОСКОСТИ Угол от оси Оу до вектора а равсп а — —, а гготом) на оспо- 2 ванин той же теоремы лг = ~ и ~ соз (а — ~ ~ = ~ а ~ гбп сс.
2 г Из этих соотношений н следует, что й= — =г а. 9 58, Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение прямой, проходящей через пгчку М,(х,, у,) и ггтгсгошей угловой коэффициент гг, в обшей декартовой системе координат имеет вид у уь Ф (х хь)' (1) Уравнение (1) следует из канонического уравнения прямой (2 50). Уравнение прямой р, имеюшей угловой коэффициент й и псресекаюшей ось Оу в точке (О, Ь), в обшей декартовой системе координат имеет вид у=ух-,'-Ь. (2) Доказательство. Уравнение (2) следует нз уравнения (1), если в нем положить у,=Ь, х,==О. Число Ь называют иногда чггачалшгой ордипатой» прямой р, а уравнение (2) — уравнением прямой с данной начальной ордипатой и данным угловым коэффициентом.
$59. Взаимное расположение двух прямых Теорема. Пусть оягносительно общей декартовой системы координагл даны уравнения двух прямых А х+В,у-)-С вЂ” О, А»х+В,и+С =О. (1) Тогда необходимое и достаточное условие того, что эгпи прямые пересекаются, имеет вид — 4- .— Аг Вг (2) А» ' 11»' Необходимое и достаточное условие того, что эти прямые параллельны, имеет вид — .а А» В, Сг А» и» ' С» $ 69 взлимног Рхсположгппг двух и!'ямых !вч Веобходимое и достаточное ус.говие того, что вти прямые совпадают, имеет вид А, В! В!Ь (4) А, В, С, Необходимое н достаточное условие совпадения двух прямых, заданных общимп уравнениями А,х+В,у-';С =-О, А,х — ', В!у+С,=О относительно общей декартовой системы коордннаг, можно сформулировать и так: существует такое число ХфО, что А,=ХА„В,— --) В„С,=ХС„ или так: существует такое число ).фО, что имеет место тождество относительно х и у А,х + В,у+ С, = — Х (А,х + В.у —,'- С.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
