1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Эта теорема следует нз того, что условия (2) — (4) являются необходимыми и достаточпь!ми признаками того, что система (1) имеет соответственно только одно решение, пс !выест решений или является неопределенной (т. е. имеет бесконечное мпожсство решений), Замечание. Условие — — '= — можно записать в виде А! В, лат В! Ах ! '-0 а условие — = — в виде ~ ~=0. л, в, 1 А,В! А! В! ( А,В, Условие А! В! ! А,В! — = —, или ~ 1=-0, А, Вв ' ' ( А!В!, есть необходимое и достаточное условис того, что две прямые, заданные относительно общей декартовой системы координат уравнениями А,х+ В,у —,'-С,=О, А,х+В,у+Се =-О, или параллельны, или совпадают (иначе, что зги прямые коллинеарны).
146 Г з а в з Р. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ $ 60. Пучок прямых Собственным пучком прямых называется множество всех прямых, проходящих через одну точку (центр пучка) и лежащих в одной плоскости. Несобственным пучком прямых называется множество всех па- раллельных между собой прямых, лежащих в одной плоскости. Теорема 1. Для того чтобы три прямые, заданные общими уравнениями А,х+ В,у -1- С, = О, А,х+В,у+С,=О, (1) А,х+,у+С,=О относительно общей декартовой системы координат, принадлежали одному пучку (собственному или несобственному) необходимо и достаточно, чтобы вьтолнялось условие А, В, С, Л= А,В,С, =О.
Аз Вз Сз Доказательство не об ходи мости. Дано: три прямые(1) принадлежат одному пучку. Требуется доказать, что Л=-О. Пусть три прямые, заданные уравнениями (!), принадлежат одному собственному пучку, Это означает, что существует точка (х,, у,), принадлежащая всем этим прямым. Координаты этой точки удовлетворяют всем трем уравнениям (1): Азхо+ Взуз+ Сз = О Азхз+ Взуз + Сз = О Азхз+ Взуо т Сз = О Таким образом, столбцы определителя Л линейно зависимы, значит, он равен пулю. Если прямые, заданные уравнениями (1), принадлежат одному несобственному пучку, то первые два столбца определителя Л про- порциональны, и, значит, он также равен пулю.
Доказательство достаточности. Дано Л=О. Тре- буется доказать, что прямые, определяемые уравнениями (1), при- надлежат одному пучку. Предположим, что прямые пе принадлежат одному пучку; тогда среди иих есть пересекающиеся. Пусть, например, пересе- каются первая и вторая прямые. Подстазляя координаты ~с, в,~ ~л,с,~ зев пу'юк пРямых точки пересечения первой и второй прямых в левую часть уравне- ния третьей прямой, получим а А и —— О ~ А, В,~ значит, точка (х, у ) пересечения первых двух прямых лежит на третьей прямой, а зто значит, что три данные прямые принадлежат одному пучку вопреки предположению.
Теорема 2. Луста в общей декартовой системе координат заданы две различные прямые 1' и 1" общими уравнениями А х+Вху+С,=О, А,х+В,у+С,=О. Для того чтобы третья прямая 1, заданнан такзке общим уравнением А,х+ В,у+С,=О относительно той оке системы координат, принадлежала пучку, определяемому двумя первгями прямьсии, необходимо и достаточно, чтобы левая часть уравнения прямой 1 была линейной комбинацией левых частей уравнений прямых 1' и 1". Доказательство необходимости. Дано: прямая 1 принадлежит пучку прямых, определяемых прямыми 1' и1".
Требуется доказать, что найдутся два таких числа ), и р, что будет выполнено тождество, справедливое прн всех значениях х и у; А,х-)-В,у+С,=) (А,х+В,у+С„)+р(А,х+В,у+С,). В самом деле, если прямые 1', 1", 1 принадлежат одному пучку, то Л = О (теорема 1); по первые две строки определителя а линейно независимы (так как прямые Г и 1" различны), значит (в силу условия Л =-О), третья строка есть линейная комбинация двух первых, т.
е. существуют такие числа ь и р, что Аь=) Аг+рАх Вв=) В~+рВ» Сз=)С1+рСУ Умножая обе части первого равенства на произвольное число х, обе части второго равенства па произвольное число у, обе части третьего на 1 и складывая, получим Аьх+В у+Се =). (А,х+ В,у+С,)+ и (А.х+ В.у+С,).
Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч и о с т н. Дано: А,х+В,у+С, =),(А,х+ В,у+С,)+р(Аьх+В,у+С,) г л а л а я плях1Ая линия нА плоскости 148 (тождество, справедливое прн всех значениях х и у). Требуется доказать, что А =0. В сазюм деле, нз данного тождества следует Аа=ЛАА+РАА, В, = ~.В,+ рВ.„ С, )1С, + рС„ а значит, б = О, так как третья строка определителя б есть лиА4йная комбинация двух первых.
Уравнение ) (А1х+ВАУ+С,)+р,(А,х+В,у+С,)=О, (2) где А. и р не равны нулю одновременно, называют уравнением пучка прямых, определяемых двумя различными прямыми 1' и 1", общие уравнения которых в общей декартовой системе имеют внд А,х + В,у + С, = О, А,х -)- В,у -)- С, = О. (3) Как было доказано, уравнение всякой прямой пучка, определяемого двумя различпымн прямыми (3), может быть записано в виде (2). Обратно, если уравнение (2) (при ), и р, не равных нулю одновременно) — уравнение первой степени (т. е. коэффициенты при х и у одновременно в пуль не обращаются), то оно является уравнением прямой, принадлежащей пучку прямых, определяемому прямыми (3), так как для трех уравнений (3) и (2) условие А=О выполнено.
Если прямые 1' и 1" пересекаются, то при любых Х и р, не равных пул1о одновременно, уравнение (2) будет уравнением первой степени, так как если бы коэффициенты прн х н у в этом уравнении оба были равны пулю: ХА,+рА,=О, Ъ.В1+ рВ, =О, то прямые Г и1" были бы коллинеарны, что противоречит предположению. Но если прямые 1' и 1а параллельны, то коэффициенты при х и у в уравнениях (3) пропорциональны, а значит, найдутся числа Х и р, не равные пулю одновременно, при которых уравнение (2) не будет уравнением первой степени (например, или при А. =- Ва, р=- — В„или нри ) =- — А,, р = А,).
Это следует учитывать, сслп пользоваться уравнением (2) пучка прямых, определяемо1 о двумя параллельными прямыми. ув3 Взлгьинов Рлсполол~внис тясх ПРямь)х $81. Взаимное расположение трех прямых Пусть относительно общей денар~оной системы координат заданы общие уравнения трех прямых: А,х -',— В,у+ С, = О, А.х+ В,у+ С, = О, А~х+ Взу+ Сз = 0 Введем следующие обозначения: А, В, С Л= Аз В,С, Аз Вз Св На основании предыдущего получаем следующие необходимые и достаточные признаки взаимного расположения трех данных прямых. 1. Если ЛфО, 6,~0, б,ф0, 6 ФО, то три данные прямые попарно пересекаются и не принадлежат одному пучку, т.
е. Рис. !10 точки пересечения попарно различны и не принадлежат одной прямой (рис. 110,а). 2. Если Л ~ О, но только один из трех определителей 6„ 6„ 6, равен нулю, то трн данные прямыс не принадлежат одному пучку (Л =фО); две прямые параллельны, а третья их пересекает (рис. 110,б), 3. Если Л=О, 6,МО, б,фО, 6,ФО, то три данные прямые попарно различны и проходят через одну точку (рис. 11О,в). 4.
Если Л= О, но только одип из определителей 6„6„6, равен нулю, то две прямые совпадают, а третья их пересекает (рис. ! 10,г). 5. Если 6, = 6, = 6, = 0 (в этом случае и Л = 0), но коэффициенты пи одной пары уравнений не пропорциональны„то три данные прямые попарно параллельны (рис. 110,д). 1НО сиььь ю пиямля линия нл плоскости 6. Если б,=бе=6,=0 и коэффициенты только одной пары уравнений пропорциональны, то две прямые совпадают, а третья им параллельна (рис, 1!О, е). 7. Если соответствующие коэффициенты всех уравнений пропорциональны, то уравнения определяют сонпадающпе прямые (рис.
110, ж). $ 62. Геометрический смысл неравенства первой степени с двумя неизвестными Тепрел а 1. Пусть относительно общей декартовой системы координшп пряльая линия задана общим уравнением Ах+ Ву+ С = О. Тогда для координат х, у всех точек М (х, у), лежащих по одну сторону от этой прямой, выполняется неравенспюо Ах+ Ву+С > О, а для координат х, у всех точек М (х„у), лежащих по другую сторону от этой прямой,— неравенство (рис. 11!) Ах-1-Ву+С < О. Доказательство.
Пусть М, (х„у,) и М, (х„у,) — две произвольные точки, лежащие по разные стороны от прямой 1, заданной уравнением Ах+Ву+С=О. Аа+Ву+С >О + + + + + + + + + + + + + .!. Аа+Ву+С к О Рис. 111 Рис. 112 Это значит, что существует внутренняя точка М (х, у) отрезка М„М„лежащая на прямой 1. Пусть 1. — отношение, н котором точка М делит направленный отрезок М,М, Тогда координаты гвэ ггомвтгичаскиг< смысл ыввлввнсгвл пвввоп стспгни 1В1 точки М через координаты точек М, п Л1, выражаются соотношениями х,+ах, у,+хе 1- Х у ='— . = 1+Х Так как точка М лежит па прямой 1, то координаты точки М удовлетворяют уравнению прямой О А — +  — +С=О, х<+Хх, ух+ХИ,, 1+1 1+1 откуда Ах„+Ву<+С Ахх+Ву,+С ' Точка М вЂ” внутренняя точка отрезка М,М„поэтому Х > О, значит, числа Ах, + Ву, + С и Ахи+ Вух+С вЂ” разных знаков.
Если тсперь считать точку М, фиксированной, а точку М, переменной (по лежа<пей все время по разные стороны с точкой М„относительно прямой <), то становится ясно, что Ахи+ Вух+С имеет один и тот же знак (противоположный знаку Ах, +Ву, +С) для переменной точки М . Фиксируя точку М„, и считая, что М, — переменная точка (лежащая с точкой М, по разные стороны от прямой (), Ат+Ву+С 0 Рис. 113 Рос. 114 докажем, что Лх, + Ву, + С имеет один и тот же знак, противоположный знаку Ах, + Ву„+ С. Полуплоскость, для координат всех точек которой Лх--,' Ву+ С > О, будем называть по гожительной, а полуплоскость, для координат всех точек которой Ах+ Ву+ С ( О, будем называть отрицательной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
