1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Относительно декартовой прямоугольной системы координат даны две пересекающиеся и невзаимпо перпендикулярные прямые: А х+В,у+Со=О, А,х+Воу+Со=О Дана точка М,(х„уо). Прн каком необходимом и достаточном условии точка Мо лежит в остром угле, образованном данными прямыми? Ур) пг" г!Аг Вг Рис.
124 Рис. 123 Р е и е н и е. Предположили сначала, чта угол между векторами мл !' Ал, В, 1 и л,==( 1,, В,) острый (рис. 123). Тогда их скалярное произведение м,п,= =-А„Аз+В,В, положнтельпо: АлАо+Влйл>0. Если точка Мо(хо, у) лежит в остром угле, образованном даппымн пряными, то числа Азха+Водо+Сл и АохотВлуо+Со разных знаков. Таким образом, (А,А, + ВлВо) (Алто+ Влуо+ Сл) (Алхо+ Водо+ Со) < О. Если же угол между векторами мл и и, тупой (рнс. 124), то А,А,+ВлВ, < О, и если точка М, лежит внутри острого угла, образованного данными прямыми, то числа Алх,+В,до+Со и А,хо-(-В,д,+Со одного знака, значит, соотношение (1) снова выполняется. Таким образом, соотношение (1) является необходимым условием того, что точка М,(х„д,) лежит внутри острого угла, образованного данными пряллыми.
Повторяя аналогичные рассуждения, докажем, что необходимое условие того, что точка Мо(хо, уо) лежит внутри тупого угла, образованного данными прямымн, имеет вид (АлАо+ В,В,) (Алхо+ Влуо+ Сл) (Аохо+ Взуо+ Со) > 0 (2) Отсюда следует, что соотношение (1) является и дастаточныл условием того, чта точка Мо(хо, до) лежит внутри острого угла, образованного прямыми А,х+В,у+С,=О и Аох+Влд+Со — — О.
Пример !3. Составить уравнение биссектрисы острого угла менлду двумя прямыми к+у+1=0, х — 7у — 3=0. Решен не. Так как для координат х, у всех точек, лежицих внутри осгрога угла, образованного данными примломи, выполняется неравенство (! ° 1+! ( — 7]) (х+ у+ 1) (х — 7у — 3) < О, Г з а з а 1' ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ (бб то функции х+ у-)-1 и х — 7р — 3 для координат всех внутренних точек острых углов имеют одинаковые знаки. Значит, уравнение искомой биссектрисы х+у+1 х — 7д — 3 , нли х+Зу+2=0. РГ 2 ЬГ50 Пример 14. Вычислить площадь АВС ориентированного треугольника АВС, стороны которого относительно декартовой прямоугольной системы координат заданы уравнениями А„х+ Вмт+ Сз — — О, (ВС) А,х+ Взу+ С, =О, (СА) Азх+ Взу+ Се =0 (АВ) Обозначим через Тогда вершины А, В, С треугольника АВС будут иметь координаты ~ ст 1 ) В ~ сз Ьз ) ~ оз Ьз У~ и, следовательно, — 1 Ь, сз Ьз — 1 сз Ьз — 1 а, с, а, Ьз с с, Ьз сз АВС=— с 2стс с сз сз Но а,Ь,с, А,ВзС,= ~ отАз+ЬТВ,+ сзС, сзА +ЬТВ +с,С сзАз+ Ьзвз „'- с С 1 озА,+Ь,В„+сзСт озАз+ЬзВ,+сзС, с А +ЬзВ -(-с С азАз+Ь|ВТ+ с,С, азА,+Ьзвз+сзСз азАа+ЬзВ -(- сзСз )б 0 О А, В, Ст( А О бз где А 4 00 б матрицу, присоединенную к матрице Аз Вз Стч А,В, С,у~; (2) Аз Вз Сз влементы матрицы (1) являютея алгебраическиии дополнениями соответствующих влементов матрицы (2), например, в с "=1, С ~=~,С-В.С, ° '' Вз Сз г зт, пРимеРН и 3АдАчи к ГлАВе 167 Следовательно, ! атЬзс ( А В С(з а,Ьзсз = Аз В Сз аз Ьз сз~ Аз Вт Сз АзВС,з Аз В, С, АВС= 1 1Аз В.
С, 2 ) Аз Вз! ! Аз Вз! ~ А, Вз~ п окончательно 1(ример 15. Найти носипус внутреннего угла А треугольника АВС, с; Роаы которого заданы уравнениями Азх+В,у+С,=О, Азх+Взу+Сз —— О, Азх+В,у-,'-Сз О пг ь с Рис 125 Рис.!26 Р е ш е н и е (см. предыдущий пример) Подставляя координаты вершины 7' аз Ьз 'т В ~ —, — ) в левую часть уравнения стороны СА, получим ~сз ' сз) ь, А А" в'с' А,в„~ Аз — з+Вз — '+Сз==, где А= Аз Вз Сз сз=~ з з~ з з з /а, Ьз'т Подставяяя координаты вершины С ~ —, — ~ в левую часть уравнении аз сз стороны АВ, получии аз Ьз А 1Аз В,1 Аз +Вз — +Се= —, где аз=7 с, сз с, ' (Аз Вз~ ' Аз Вз( 1Аз В71 Таки, образом, если числа ~ А В ~ и ~ А ~ Разных знаков, то коси.
нус угла между векторами п,=( А„вз~ и пз=(Аз, Вз) равен косинусу ви>треннего угла А треугольника АВС (рис. 125): Аз Ат+ ВзВз совА= .~/ Аз.( Вз-~~ Аз( Вз ' Если же числа ~ В ~ и ~ А В ~ имеют один и тот же знак, то косинус 1 Аз Вз1 1 Аз Вз( угла между векторами п, ( А„ Вз ) и пз=( Аз, Ва ) от косинуса виутрепиегв угла А треугольника АВС отличается знаком, т. е. (Рис. 126) ~у ":+': ~": 'з Г л а л и 1' ПРЯМАЯ ЛИИИЯ ИА ПЛОСКОСТИ 168 х у ! аз Ьз — — ! сз сз — — ! х д 1 сз с, ,!з Аз — — а,Ь,с, ~ аз Ьл сз ! 64 ВС гз= —— АВС с,с,с„ Далее находим ! х у ! Лз В, С, (Азх+В,у+С, Азх+Взу+Сз Лзх+Взд+Сз а Ь сз Аз Вз Сз = азАз+ЬзВ,+сзСзазАз+ЬзВз+сзСз азАл Ф ЬзВ +сзСз = аз Ь сз Аз Вз Сз а,Аз+ ЬзВ,+сзС, алАз+ЬзВз+сзСз азАз+ЬзВз+сзСз Азк+ Взд+ Сз А,х+ Взу+ Сз Азх+ Взу+ Сз 0 а =Аз (А,х+В,у+С,) и окончательно а= — (.4,х+ В„д-)-С,).
с, А Аналогично находим р н у. Итак, (л В,) (Азх+Взд+Сз), Р= ' ", (Азх+В,У+Сз), л, л, л,1 Аз Вз Сз АзВ,Сз ~Л, В,С,~ Ат Вз Сз 2. Задачи для самостоятельного решения 1. Составить уравнение прямой, пролодящей через точку (2,5) и равноудаленной от точек (- 1,2) и (5,4) Осзв. х — 2=0, к — Зу+13=0. 2. Найти проекцию точки ( — 5,6) на прямую 7х — !Зд — 105=0 Осзв (2, — 7) 3. Найти точку, симметричную точке ( — ",3) относительно прямой 2х-Зд+ + !8=0 Отв (2,3). Пример 16. Найти барицептрнчсские отвошпельпо треугольника АВС, стороны Азх+ Взу+ С, = О, Азх+ В,у+ С, = О, А ах+ Взд+ Сз = 0 решен не (см пример 14), координаты сз, (1, у точки 44 (т, у) которого заданы уравнениями (ВС) (СЛ) (АВ) 4 бт, пРимеРН и задачи к ГлАВР и 160 4. Даны две вершины ( — 6,2) н (2, — 2) треугольника и точка (1, 2) перс- сечсння его высот.
Найти третью вершину Оаа. (2,4). Б. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну нз его вершин (3. — 4) и уравнения двух высот 7х — 2у — ! =О, 2х — 7у — 6=0. Огиз. 2х+7у+22=0, 7х+2у — !З=О, х — у+2=0. 6. Найти косинус угла между прямыми 2х — 7у+З=О, х+5у=О, в мото- ром леткит точка (3, 1). 33 Опбз.
агссоз 'Рг53 ' Р' 26 7. Составить уравнения прямых, перпендикулярных к прямой 2х+бу-3=0 отстоящих от точки (5,4) на расстоянии Рг!0 Оав. Зх — у — 21=0, Зх — у — 1=0, 8. Составить уравнение прямой, отстоящей от точки (1,1) на расстоянии 2, з от точки (2,3) на расстоянии 4. Оаа.
4х 1-Зу+З=О, у-)-! =О. 9. Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника 7х— — у+4=0, х-,'-у — 2=-0 и точка (3,5) на его основании. Составить уравнение основания. Ота. Зх+у — 14=0. 1О. Даны уравнения 4х+у — 6=0, 2т+у — 2=-0, х — 2=0 медиан треугольника и его плошадь 5=3. Найти вершины треугольника. Оав. (2, -4), (1, 2), (3, -4), или (2, 0), (3, — 6), (1, 0). 11.
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну нз его вершин (2, — 4) н уравнения биссектрис двух углов х+у — 2=0, х — Зу — 6=0. Ота. х+7у — 6=0, х — у — 6=0, 7х-'; у — 10=0. 12. Ляпы уравнения к+4=0, 4х+7у+5=0 биссектрис двух внутренних углов треугольника и уравнение Зх+4у= — 0 стороны, соеднпя|ошей вершины, из которых зьаодят данные биссектрисы Составить уравнения двух других сторон. Отв Зх — 4у+24=-0, 5х+12у 6 16=0. 13, Даны уравнения Зх+у-3=0, Зх+4у=О двух сторон треугольника н уравнение х — у+5=0 биссектрисы одного нз его внутренних углов Соста.
вить уравнение третьей стороны Оаа. х+Зу — 13=0. !4, Даны три прямые Аах+ Взу=О, Я=1, 2, '3. !)рн каком необходимом н достаточном условии гретья прямая проходит в остро:з угле, образованном двумя первьп1иу Ота. (АтАе+дхба) ~' ' ' ! ) 0 глляхт ПЛОСКОСТЬ И ПРИ31АЯ В ПРОСТРАНСТВЕ $68. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку компланарио двум неколлинеарным векторам Теорема. В общий декартовой системе координат уравнение плоскости п, проходящей через точку А(, (х„у„г,), колтланарной двум неколлинеарйым векторам и = (?„т,, и,) и б = ((„т„п,), имеет вид х — хе у уьг — гь ?„т, и, т, и, Рис !27 Доказательство.
Пусть М(х,у,г)— произвольная точка пространства. Точка М(х, у, г) лежит на плоскости и тогда и только тогда, когда векторы МьМ =-(х — х,, у — у,, г — г„), и и б компланарны (рнс. !2?). Необходимое и достаточное условие компланарности этих векторов имеет вид (2 Зб, теорема б) х — х,у — узг — г,~ ?з тз ?з тх па 5 69. Общее уравнение плоскости Теорема 1. В общей декартовой системе координат плоскость выражается уравнением первой степени Ах+ Ву+ Се+ Р = О. ~(о к а за тельство.
Фиксируем на плоскости и произвольную точку М, (х„у„г,) и возьмем два неколлипеарных вектора а=((„т,, и,) и б=()е, т„пД, каждый из которых компланарен ! Ба ОБщее уРАБне!и!е плОскОсти плоскости и. Тогда иа основании предыдущего параграфа уравне- ние плоскости и можно записать в виде хо у уо г гв т, п, 1Б та па =О, или , ~п! 1! !1 т,1 (х — х,)+ ~ (у — у,)+ ~ (г-г,) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
