1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Требуется доказать, что плоскость (4) входит в связку, определяемую плоскостями (3). Если соотношение (5) есть тождество относительно х, у, г, то из него следуют равенства (7), а следовательно Л = О, так как четвертая строка опредслителя Л есть линейная комбинация трех первых. Но если б=О, то четыре плоскости, заданные уравнениями (3) и (4), принадлежат одной связке.
зз$ связка плоскосзей Уравнение ).(Л,х-, В,у ЕС,. 8(З„)+ + р (А ах+ Взу + Сзг + Оз) + +м(Лзх Взу ' Сзг г ()з) =О (8) в котором хотя бы одно нз чисел Х, р, т не равно нулю, а А,х-1-В,у+С,г+В =О, Азх+ В,у+ С,г )-0з =-О, А зх+ Взу+ Сзг+ Оз = 0 А,х+ В,у+ С,г-,'- О, =-О, А,х+ В.у ',— Сзг+Оз =- О, ')зх+Взу+Сзг Оз=О. Если плоскости чисел ).. р, ч хотя коэффициенты при так как если Х, р, (9) имеют только одну общую точку, а среди бы одно пс равно нул1о, то в уравнении (8) х, у, г одновременно в нуль не обращаются, т не равны пулю одновременно и ) А, -)- РЛ з + чЛ з — — О, ).В, +рВ, +тВз=О, Хс,+)зс +мС, =О, (10) то л,в,с, А,ВзС, А,,В,Сз и трн данные плоскости или не имеют пи одной общей точки, нли имеют бесконечное множество общих точек.
общие уравнения трех плоскостей, заданных относительно общей декартовоп системы координат и ие принадлежащих едиому пучку, называется уравнением связки плоскостей, определяемой тремя даиюзии плоскостязт. Как было доказано, в таком виде может быть записано уравнение всякой плоскости, входящей в связку плоскостей, определяемую тремя данными плоскостями. Обратно, если ),, ц, т выбраны произвольно, но так, что уравнение (8) есть уравнение первой степени относительно х, у, г, то оно есть уравнение плоскости, входящей в связку, определяемую тремя плоскостями (ие входящими в один пучок), уравнения которых в общей декартовой системе координат таковы: 192 г л а 8 и г л илоскость и няямья в ияостяхнствг Если жс три лаггггые плоскости попарно пересекаются по трем различным прямым (рис.
129, б) или две из них гараллсльны и третья их пересекает (рис. !29, в), то сусцсствуст ненулевой вектор (Х, р, г ), комплаиариый каждой из плоскостей (9), т. е. будут выполнены соотцогаепия (10), а в таком случае уравнение (8) не будет уравнением первой степеии (коэффициенты при х, у, г равны нулю). $85. Геометрический смысл неравенства первой степени с тремя неизвестными Теорема 1.
Пусть относительно оби(ей декартовой системы координат задана плоскость н общим уравнением Ах + Ву -';- Сг + П = О. (1) Тогда для координат х, у, г всех точек М(х, у, г), лежащих по одну сторону от плоскости и, вьссголняеспся неравенство Ах+ Ву+ Сг+ 0) О, п=(А,В,Сг а для координат х, у, г всех пючек М (х, у, г), лежащих сго другусо сторону от плоскости и,— неравенство Ах+ Ву+ Сг+ с) ( О, Плоскость и делит пространство на два нолуиространства. То полупросг ранство, для координат всех точек которого Ах — ', Ву+Сг+П ) О, Ряс.
130 будем называть сголожительным, а другое, для координат всех точек которого Ах+ Ву+ Сг+П (О, — отрси!апгельньсм. Теорема 2, Пуспгь относительно общей декарпииой системы координат плоскость м задана обисим уравнением Ах+ Ву+ Сг+ П = О. Тогда, если отложить главный вектор и= (А, В, С) этой плоскости от любой точки М, этой плоскости Мер=а, то конец Р отложенного вектора будет находиться в положительном полу- пространстве от данной плоскости и (рнс. 130). Теоремы 1 и 2 доказываются аналогично тому, как были до- казаны теоремы 1 и 2 в 9 б2.
581 НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ Если система координат †декарто прямоугольная, то главный вектор и =-(А, В, С) перпендикулярен к данной плоскости. Рассуждениями, вполне аналогичными тем, которые были проведены на стр. 152, доказывается, что условие А1-'гВт-(-Сн) 0 является пеобходимым и достаточным условием того, что вектор а=(1, т, л), заданный относительно общей декартовой системы координат, направлен в положительное полупространство от плоскости, заданной уравнением Ах -'; Ву+ Сг+ Р = 0 относительно той же системы координат.
Это соображение может быть использовано при определении направления вектора, коллинеарного особому направлению эллиптического параболоида, заданного общим уравнением относительно общей декартовой системы координат (8 166), а также при определении направления вектора, имеющего особое направление относительно параболического цилиндра (8 166), заданного общим уравнением относительно общей декартовой системы координат. 5 86. Расстояние от точки до плоскости Теорема. Расстояние й от гпочки Ма(ха, у„г,) до плоскости, заданной опгносительно декартовой прямоугольной системы координат общим уравнением Ах — , 'Ву+Сг+0=0, вычисляется по формуде ~ Лхед-нд,-'-Сга — 'ез ~ у 3=-ЕТ ее Доказательство теоремы пичем не отличается от доказательства теоремы 8 63.
ф 87. Нормальное уравнение плоскости Уравнение Ах+Ву-~-Се+0=0 плоскости, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат, называется и о р м а л ь и ы и, если главный вектор и = (А, В, С), пер пееди куля рпы й к этой плоскости, е д и н и чный, т. е. если (2) А'+ В'+ Се = 1. 7 П. С. Мадеааа 194 Гааза РА ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТЗВ Чля приведения к нормальному виду обшего уравнения плоскости, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат, надо умножить левую часть данного уравнения на такое число М (иормируюшнй множитель), цтобы в уравнении МАх+МВр+МС +МО=О вектор (АМ, ВМ, СМ) стал единичным, т.
е. чтобы МаА'+ МТВВ+ М'С' = 1, откуда 1 М=-1- У' А'+ Яа,- С Таким образом, для каждой плоскости всегда получим два нормальных уравнения Ах+ Яи+ Са+ 0 ,) Аа+да,. Са (4) И это естественно: для любой плоскости сушествуют два и только два различных единичных вектора, перпендикулярных к пей, Множители 1 М = -+ 1' Аа+ Васа Са (5) называются нормнруюшими множителями урав пения Ах+ Вр+ -(- Сг + 0 = О. Радикал 1' А' + В' + С' есть модуль главного вектора и = = (А, В, С), который в случае декартовой прямоугольной системы координат является нормальным к плоскости Ах+ Ву+ Сг+11 =О, 1тг~ = 'к' А'+ В'+С'. (6) Таким образом, М =.+ —.
1 =--)п~ ' Ах+ Вр+ Сг+ Т) = О относительно декартовой прямоугольной системы координат, равны косинусам углов 44, р, у, которые нормальный вектор и =(А, В, С) к плоскости, заданной уравнением Ах+Вр+Сг+Т)=О, образует с осями координат, В самом деле, А = (А, В, С) (1, О, О) = п1 = сов са, В=(А, В, С) (О, 1, 0) =и/ =сов 11, С=(А, В, С) (О. О, 1)=пй=созу. (8) Коэ191рипиеиты нормального уравнения плоскости, заданной урав- нением Взп иогмхльног углвиенив плоскости 195 Наконец, !О!= р, где р — расстояние от начала координат до данной плоскости (для доказательства в формуле (!) З 86 следует положить х,=у,=г,=О н заметить, что А'+В'+С'=1).
Еслп относительно декартовой прямоугольной системы координат плоскость задана нормальным уравнением Ах+ Ву+ Сг+ 0 = О, т. е. А'+В'+С'=1, причем 0 (О, то А, В, С являются направля|ощими косинусами сова, соз(), сову луча 1, выходящего из начала координат и пересекающего данную плоскость, причем !О!=р, где р — расстояние от начала координат до рассматриваемой плоскости. Действительно, если 0 (О, то начало координат лежит в отрицательном полупространстве плоскости, заданной уравнением Ах+Вд+Сг+0=О и, значит, луч 1, выходящий из начала координат и пересекающий данную плоскость, одинаково направлен с нормальным (главным) вектором п=(А, В, С) плоскости Ах+ Ву-,'-Сг —,' 0=0.
Ро так как )0(=р, где р — расстояние от начала координат до плоскости, заданной нормальным уравнением, то нормальное уравнение Ах+ Вд+Сг+ 0 =О плоскости в случае 0 ( О имеет вид х соз я+ у соз р + г соз у — р = О, (9) где сова, созр, сову — направляющие косинусы луча, выходящего из начала координат и пересекающего плоскость, а р — расстояние от начала координат до этой плоскости. Для приведения к нормальному виду (9) общего уравнения Ах+ Ву+Сг+ 0 = О плоскости, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат в случае, если эта плоскость не проходит через начало координат, воспользуемся результатами 9 76 (см. 9 76, соотношение (3)), согласно которому существует такое число Мчьй, что имеет место тождество (относительно х, у, г) МАх+ МВд+ МСг+ М0 =-х сов а+ у сов р+ г сов у — р, или МА=сози, МВ=созр, МС=созу, М0 — р.
Так как направляющие косинусы любого луча в декартовой прямоугольной системе координат связаны соотношением соз'я+ соз' р+ +созгу=1, то (МА)'+(МВ)'+(МС)'=1, откуда ! М-* А'~.т. в'т с' гоооо гь плоскость и пгямля в пеостялнства 196 причем в силу того, что М0= — р<0, знак М следует выбрать противоположным знаку р.
Если плоскость задана нормальным >равнением Ах+ Ву+ Сг + 0 = 0 относительно декартовой прямоугольной системы координат, то расстояние В от точки М,(х,, у„, г,) до этой плоскости вычисляется по формуле г( = ! А хо+ Вуо+ Сго+ 0 ) т. е. расстояние от точки до плоскости, заданной нормальным уравнением относительно декартовой прямоугольной системы координат, равно абсолютной гсличипе результата подстановки координат данной точки в лсв) ю часть уравнения плоскости (см. й 86). Если плоскость не проходит через начало координат и задана относительно декартовой прямоугольной системы координат уравнением х сов а+ у сов р + г сов у — р = О, где сов а, сов (), сов у — направляющие косинусы луча, выходящего из начала координат и пересекающего эту плоскость, а р— расстояние от начала координат до рассматриваемой плоскости, то расстояние г( от произвольной точки М,(х„уо, г,) до этой плоскости вычисляется по формуле г( = ~ х, сов а+ у, сов 8 + г, сов у — р ~.
5 88. Угол между двумя плоскостями. Условие перпендикулярности двух плоскостей Косинусы углов между двумя плоскостями, заданными уравнениями А,х+В,у+С,г+0,=0, ()) А,х+ В,у — 'С,г-г 0,=0 (2) относительно декартовой пряхюугольной системы координат, выра)каются формулой Аы1 + Я,В,+С1Со (3) сов йы о — -'- )/А По+С )ГЛ ( Л С Угол между векторами п,=(А„, Вп С,) и п,.=(А„В„С,), нормальными соответственно к данным плоскостям, равен одному из углов, образованных этими плоскостями, именно тому из углов, образованных плоскостями (1) и (2), внутренние точки которого находятся в положительном полупространстве от одной плоскости и 1 81 УГОЛ МУЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ 197 п1- Угар С1) лх=(да, ВУ,Са) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
