1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Доказательство достаточности. Дано: КдМ(2. Требуется доказать, что три данные плоскости принадлежат одному пучку. Если КнМ(2, то н Кйт(2. Пусть КдМ=Кдт=2. Тогда система (1) совместна, имеет бесконечное множество решений, а среди данных плоскостей есть пересекающиеся, т. е. три данные плоскости принадлежат одному собственному пучку. Если Кит=1, КуМ= 2, то все плоскости коллипеарны (две из них непременно параллельны, а третья может и совпадать с одной из параллельных плоскостей). Если КнМ=1, то и Кит=!, и все плоскости совпадают. Теорема 2.
Лусть в общей декартовой системе координат заданы две различные плоскости и, и и, общими уравнениями: Ах+ Вьу+Сг+Р,= О, Ах+ В у+С г+Р,= О. Для того чтобы третья плоскость и, заданная также общим уравнением А ах+ Вау+ Саг+Ра = О относительно той же системы координат, принадлежала пучку, определяелкму плоскостями п„и и,, необходимо и достаточно, чтобы левая часть уравнения плоскости и была линейной кол1бинаиией левых частей уравнений плоскостей и, и и,. Доказательство необходимости. Дано: плоскость и принадлежит пучку плоскостей, определяемому плоскостями и, и и .
Требуется доказать, что существуют числа ) и р, такие, что будет выполнено тождество, справедливое прл всех значениях х,у,г:. Аах+ Вау+Саг+Ра = л (А,х+ В,у+С,г+Р,) -1-р (А,х+ В у+С,г+Р,). 882. пучОк п.юскостсй 1вз В самом деле, если три плоскости и, л, и пз принадлежат одному пучку, то Кд М(2, где А, Вд Сд Од'д М= А, В, Сз О,,). Первые две строки этой матрицы линейно независимы (поскольку плоскости и, и лз различны), а так как КдМ(2, то третья строка есть линейная комбинация двух первых, т. е.
существуют числа Х и р, такие, что Аз=) Ад+ рАз Вз=) Вд+рВз С,=КС,+рС,, Оз=)Од+рО,. Умножая обе части первого равенства па х, обе части второго па у, обе части третьего иа г и складывая почлеппо полученные равенства и равенство Оз=ХОд+)дО„получим доказываемое тождество. Доказательство достаточности.
Пусть тождество А,х+ В,у+ С,г+О, = =)д(А,х+ В,у+С,г+О,)+р(А,х+В,у+С,г+О,) справедливо при всех значениях х, у и г. Требуется доказать, что плоскость и принадлежит пучку, определяемому плоскостямп и, и и,. Из данного тождества следуют соотношения Аз =)дА + рАз Вз = )дВд+)дВз Сз = йСд+ рСз Оз =)Од+)дОз так что третья строка матрицы М есть линейная комбинация двух первых, а потому Кк М(2. Уравнение Х (А,х+ В,у+С,г+О,)+)д (А,х+ В,у+С,г+О,) = О, (1) где Х и р не равны нулю одновременно, называются уравнением пучка плоскостей, определяемого двумя различными плоскостями л, и п„уравнения которых в общей декартовой системе координат таковы: А,х+ В,у+ С,г+ О, = О, А,х+ В,у+ С,г+ О, = О.
(2) Как было доказано, уравнение всякой плоскости пучка, определяезюго различными плоскосгямп (2), может быть записано в виде (1). Обратно, если уравнение (1), в котором хотя бы одно из чисел и )д не равно нулю, есть уравнение первой степени, то оно !еа г, а в~ г~ плоскость и пнямхя в пностелнствв является уравнением плоскости, принадлежащей пучку, определяемому плоскостями (2).
В самом деле, третья строка матрицы М, составленной из коэффициентов уравнений (2) и (1), имеет вид 1А +рА„)В,+-рВ„ВС,+ рС„В0,+р11„ т. е. является линейной комбинацией двух других, поэтому Кй М (2. Если плоскости л и л, пересекаются, а Х и р не равны нулю одновременно, то все коэффициенты при х, у, г в уравнении (1) не могут быть равны нулю, так как если бы имели место соотношения ХА,+рА,=О, )В,+)хВ,=О, йС,+рС,=О, то плоскости л, и л, были бы коллинеарны вопреки предположению.
Но если плоскости л, и л, параллельны, то существуют такие числа ) и р, среди которых хотя бы одно пе равно нулю, и такие, что в уравнении (1) все коэффициенты при х, у и г равны нулю. й 83. Взаимное расположение ~рек плоскостей Пусть относительно общей декартовой системы координат заданы три плоскости общими уравнениями: А,х+ В,у+ С,г+ В, = О, А,х+ В,у+ С,г+ О, = О, Авх-(-Вгу+С г+ Юг =О Введем следующие обозначения.
А,В,С, А,В,С,'~ А,В,С,0, и обозначим главные векторы данных плоскостей так; л,=(А,, „ф), п,=(А,, В„С,), м,=(А,, В„С,). На основании предыдущего получаем следующие необходимые и достаточные признаки взаимного расположения трех плоскостей. 1. Если 6~О, то три данные плоскости имеют и притом только одну общую точку, так как в случае б~ О система (1) имеет и притом только одно решение: это решение, т. е. координаты единственной общей точки, принадлежащей трем данным плоскостям, мы получим, решив систему (1) (например, по формулам Крамера) (рис. 129, и). 2 Если Рдт=2, КкМ=3 н среди главных векторов л„а,, л нет коллинеарных, то система несовместна (КВ М > ййш); пло- $ вс связал пг>оскостей 187 скости попарно пересекаются, причем прямые пересечения попарно различны (рнс. 129, б), 3.
Если Кй и> =-2, Кй М= 3, но среди главш>х векторов и„, п,„п, есть два коллинеарных (они не могут быть все три коллинеарны, так как Кйт=2), то система несовместна; причем лве плоскости параллельны, а третья их пересекает (рис. 129, в). 4, Если Кй>п=-2, КйМ =2 и среди главных векторов п„п>о и, нет коллипсарных, то плоскости попарно различны и проходят через одну прямую (рнс. 129, г). Рис. 129 5.
Если Кит=2, КиМ=2 и среди главных векторов п„п„ и, есть два коллипеарных, то две плоскости совпадают, а третья их пересекает (рис. 129, д). 6. Если Кит = 1, но козффициенты любой пары из уравнений (1) непропорциональны, то плоскости попарно параллельны (рис.
129, е). 7. Если Кйт=1, но среди уравнений (1) есть только два, коэффициенты которых пропорциональны, то две плоскости совпадают, а третья им параллельна (рис. !29.,ж). 8. Если КйМ=1, то все плоскости совпадают (рис. 129, з). 9 84. Связка плоскостей Собственной связкой плоское ей называется множества всех плоскостей, проходящих через одну точку (центр связки). Несобственной связкой плоскостей называется л>ножество всех плоскосп>еи, конпланарных одной прял>ой.
Теорема 1. Для >ного чтобы четыре плоскости, заданные относительно оби!ей декартовой систел>ь> координат уравнениями А,х + В,у+ С,г лсРг = О, А,х+ В,у + С,г +Р. = О, (1) Лег+В,у+Сег .>-Р,-. О, А,. +В4у+С,г+Р =О, 188 Г а а во Р!. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ принадлежали сдной связке (собственной или несобственной), неоо- ходосио и достаточно, чтобы А,В,С,Р, Аз Вз СЕР, Аз ВзсзРз А4 В4 С404 А,В,С, А,В,С, '(звзсз А,ВАС, Если ранг матрицы равен трем, то среди четырех данных плоскостей есть три такие, которые имеют единственную обшую точку Мо(х„ио, г,).
А,В,С, АзВ,С, АзвзСз Пусть, например, ФО, тогда это будут три первые плоскости. Первые три строки матрицы А,В1СТРТ М = АзВ,СзРз АзВзсзРз ' ~4В4~ 4Р4 Д о к а з а т е л ь с т в о н е о б х о д и м о с т и. Дано: четыре плоскости (1) принадлежат одной связке. Требуется доказать, что Л= О. Если четыре данные плоскости принадлежат одной собственной связке, то, обозначая через (х„у„г,) центр этой связки, будем иметь А,хо+Вира+С,го+Р1=0, А,х,+В,У,+С,г,+Р,=О, А,х,+В,й,+С,г,+Р,=-О, Азх,+В,у,+С4г,-(-Р,=О.
Таким образом, столбцы определителя Л линейно зависимы, значит, он равен пулю. Если четыре даппыс плоскости, заданные уравнениями (1), принадлежат одной несобственной связке, то сугцсствует ненулевой вектор (1, 1п, и), компланарный всем этим плоскостям, и, значит, А,(+В,т+С,П=-О, А41+В,т+Ссп=-О, А41+ Вот+Сои=-О, Аз(+ В,т+С,П=О, так что первые три столбца определителя Л линейно зависимы, а значит Л=-О. Доказательство достаточности. Дано: Л=О. Требуется доказать, что четыре плоскости (1) принадлежат одной связке. ззе связкл плоскостеи линейно независимы, а так как б = О, то последняя строка есть лнпсйпая комбинация первых трех: Аз —— )Л,+РЛ,+чАз, Вз=)Вз+РВз РчВз Сз = ьСз+ рСз+ чСз, Рз = — -20з+ рРз+ чРз,' отсюда следует тождество, справедливое при всех х, у, г: А,х-',-В,у-)-С,г+О,=-) (А,х-', В,у — ', С,г+Рт) —,— + р (Азх -:,- В,у+ Сзг-~- Рз) + т (Азх+ Взу+ Сзг т 0з).
Из этого тождества следует, что точка М,(х„у„г,), являющаяся персссченнем первых трех плоскостси, лежит н на четвертой плоскости, т. е. четыре данные плоскости принадлежат одной собственной связке. Если КйМ ( 3 (отсюда уже следует, что б = 0), то среди главных векторов п, п„пз и, данных плоскостей есть пе более двух линейно нсзависимых. Пусть и, и пз линейно независимы, следовательно неколлинеарпы, а векторы п, н и,— их линейные комбинации: пз=Хп,+ рп„пз=).'и,+ и'и,. (2) Система уравнений А,1+В,т+С,п=О, Аз1+Взт+Сзп=О имеет ненулевое решение В силу соотношений (2) будем также иметь Аз1+ Взт+ Сап =0 А41+Взт — Сзп = О, т.
е. четыре данные плоскости принадлежат одной несобственной связке, так как ненулевой вектор (1, т, л) всем им комплапарсп. Если наконец, Кит= ), то четыре данные плоскости коллипеарны, а значит также принадлежат одной связке. Теорема 2. Пусть А,х+В,у+С,г+Р,+О, Азх+Взу+С,г+0,=0, Азх + В,у+ С,г + Р, = 0 (3) три плоскости, не принадлежаи(ие одному пучку. Для того чтобы плоское гпь А х+В у+С,г+0,=0 (4) принадлежала связке, определяемой плоскостями (3), неооходилю и достаточно, чтобы левая часть уравнения (4) бьзли линейной Гг з в а Рг. ПЛОСКОС1Ь И ггРямхя В ПРОСТРЛНСтва кокбиначией левых честен рггавнений (3): А,х -', Вд+С г р О,=) (А,х+В,у+С,г+(),)+ + р (Агх + Взу + Сзг + гг) г) + т (А зх + Взу + Сзг + гг)з) (5) (тождество при всех значениях х, у, г), Доказательство необходимости. Дано: плоскость (4) входит в связку, определяемую плоскостями (3).
Требуется доказать, что существуют такие числа ), и и т, при которых соотношение (5) является тождеством. Так как плоскости (3) не входят в один пучок, то ранг мат- рицы А,В,С,0,', АзвзсзР1 ~ Азвзсз0з/ равен 3, а так как плоскость (4) входит в связку, определяемую плоскостями (3), то А гвгс101 АзВзСзоз А,взсзОз А,взсрз (б) Отсюда следует, что четвертая строка этого определителя есть линейная комбинация первых трех: А, =) Аг+рА. +РАз, В =)В +иВ +РВз, С, = ) С, + рС, + РСю 01 =)01 г)гоз+ ггггз (7) Поэтому соотношение (5) есть тождество относительно х, р, Доказательство достаточности. Предположим, что существуют такие ), р и Р, при которых соотношение (5) есть тождество относительно х, р, г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
