1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 33
Текст из файла (страница 33)
131 относительно декартовой прямоугольной системы координат, является равенство А,А, + ВГВ, + С,С, = О. $ 89. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых Углом между двумя прямыми в пространстве называется любой из углов между двумя параллельными им прямыми, проходящими через произвольную точку пространства.
Таким образом, две прямые в пространстве (если онн неперпендикулярны) образуют между собой два различных угла: один острый, другой тупой. Сумма этих углов равна л. Пусть а=((1, Гп„п,) и б=((„л1,, л,) — направляющие векторы данных прямых, заданных относительно декартовой прямоугольной системы координат, Угол между этими векторамн равен одному из углов, образованных данными прямыми. Следовательно, косинусы углов между двумя данными нрямымн выражаются фор- мулой 1,1» ' иииь и-и,р. сои с(, з — ~ )' 1с-~-а.",+и', У 1„-"-нж„'— ', и'. Отсюда получаем необходимое н достаточное условие перпендикулярности двух прямых: (,(, -,'— т,гп, + п,а, = 0; для того чтобы две прямые были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат направляющих векторов этих прямых была равна нулю.
в отрицательном полупространстве от другой плоскости (рис. (3(). 1!оэтому, обозначая через Гр„ один из углов, образованных данными плоскостЯми, а чеРез си,— Угол, смежный с Углом 9 м и аЬ применяя формулу сова = для 1ай Ь1 * косинуса угла а между ненулевыми е е * векторами а и д, мы и получим фор- су Е мулу (3). Следствие. Необходимым и до- ~и+~~~ у .ь.'+ статочпым условием перпендикуляр- я е и. ности двух плоскостей, заданных общимн уравнениями А,х+ В,у и-Сгт+ (У, =О, А,х+ В,у+С,а+0,=0 ГВВ Р х а х а РЛ ПЛОСКОСТЬ И ПР ЯМЛ Я В ПРОСТРА ПСТВ В и '„О. Угол между прямой и плоскостью.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости Углолх между прямой и плоскостью (если они неперпендикулярны) называется меныиий иэ двух углов между этой пряной и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если же прямая и плоскость перпендикулярны, то угол между ними считается равным —,.
Пусть относительно декартовой прямоугольной системы 2 ' координат задана плоскость 11 общим уравнением Ах+ Ву+Сг+0=0 и прямая р — каноническими уравнениями х — Х„ У вЂ” Уо « †„ т ы 1(осппус угла ф между вектором п=(А, В,С(, перпендикулярным данной плоскости, и направляющим вектоРкс 132 ром а = (й и, и( данной прямой по аб- солютной величине равен синусу угла хр между данной прямой и данной плоскостью (рисг 132).
Но косинус угла хр между векторами и и и равен АГ+ Вт — 'Сп соз хр = У Л'ц-В +С УИх+ы +а' следовательно, синус угла <р межд> данной прямой и данной плоскостью определится по формуле ( А1+ Вяхи-Ст зйп ХГ— У Лх-,в +С' У ~ +тх-,ах Если прямая, заданная уравнениями «о У Уо " хо т н перпендикулярна плоскости Ах+ Ву+ Сг+ 0 =О, то направляющий вектор а= (й т, п1 прямой коллпнеареп вектору и = (А, В, С), перпендикулярному данной плоскости. Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т.
е. существует такое отличное от нуля число т., что А=И, В= кт, С=кп, или А В С Т ых и З ек Овшиг1 псгпяндикуляР к двум пРямым 199 Обратно, если выполнены эти соотношения, то векторы а=(1, т, п) и п=(А, В, С) коллннеарпы, т. е. направляющий вектор данной прямой коллинсарен вектору п=(А, В, С), перпендикулярному данной плоскости, следовательно, данная прямая н плоскость взаимно перпендикулярны. Итак, для того чтобы прямая и плоскость, заданная относительно декартовой прямоугольной системы координат, были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы координаты направляющего вектора прямой были пропорциональны коэффнпиептам при х, у, г в уравнении плоскости. $ 91. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую Уравнения перпендикуляра, опущенного из точки М„(х, у„г,) па прямую, заданную каноническими уравнениями т и относительно декартовой прямоугольной системы координат, можно записать в виде 1(х — х,) + т (у — у,) + п (г — г,) = О, х — х,у — у,г — г„ х,— х„у,— у, г,— г, =О, п1 и так как первое из этих уравнений выражает плоскость, проходящую через точку М,(х„у„г,) перпендикулярно данной прямой, а второе — плоскость, проходящую через данную точку и данн)чо прямую.
Эти две плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку М, и пересекающей данную прямую, под углом 99' (рис. 133). 9 92. Уравнения общего перпендикуляра к двум некеллниеарным прямым Пусть две прямые р и д заданы своими каноническими уравнениями х — х, у — у1 й мч т х — х, у — ур й т и, относительно декартовой прямоугольной системы координат. Предположим, что направляющие векторы этих прямых а = ((„т„п,) и д = ((„т„п,) 200 и !а ва и! плоское~~ и пеямхя а пеостезнстве исколлинеарны, т. е. что данные прямые или скрещиваются, илн пересекаются. 11усть 1 — прямая, кото;!ая пересекает обе прямые под углом 90'.
Тогда за направля!оший вектор прямой 1 можно взять векторное произведение (ад] направлявших векторов данных прямых: (!и!! и,! !и, (, !1, и!г!) Общий перпендикуляр 1 к двум данным прямым можно определить ьак прямую, по которой пересекается плоскость и„проходящая через прямую р комплаиарно вектору ]ад], с плоскостью иг проходяшсй через прямую у комплапарпо ~аЬ] (рнс.
134). г!,!и!,и!) (ав) гс) Уг гг) 1!г г!г иг) Рис. !3! пчс 1зз Уравнение плоскости и, имеет внд г — г ! и !""," , т~=О, х — х, у — у, У Уг 12 т, и, !т, и,! !и, (г] !1, иг,! (2', Общий перпендикуляр 1 к данным прямым выражается уравнениями (1) и (2). так как эта плоскость проходит через точку Мг(хд, у„г,) прямой р 0 компланарна векторам а и (аЬ] Аналоп!чно составляем уравнение плоскости иг: о ое кРлтчлйшее Рлсстоянне между ПРямымн ао1 ф 93.
Расстояние от точки до прямой в пространстве Пусть в пространстве заданы точка М,(х,, у„г„) и прямая 1 каноническими уравненияош х — хо У Уо 2 го относительно декартово": прямоугольной системы координат. Рассгояпие а от точки М, до прямой 1 можно определить как вы оту параллелограмхш, сторонами которого служит вектор — + М МагИг и направляющий вектор а прямой 1, отложенный от точки М, этой прямой.
Поэтому для определения расстояния г( рассмотрим модуль векторного произведения: а Р . !Зв — Р ~ (М „М,а) ) = ) М, М, ~ ) а ( з(п гр, но ~ МРРИг! з(п гр=4, следовательно (рис. 135), )(М„М,а1( =г(( (, откуда — + ! (М,шга) ( (п1 Так как МогИ г = (хг хо уг уа ег «а) а=(1, и, п), то [М М и) ((Уг Уо ег — ео~ )еъ ео хг хо1 )хг хо Уг Уо~~ поэтому Уг — Уо гг — го(' (гг — го х,— хо)г (хг — хо Уг — Уо!г и о + и 1 + 1 и )'1г+ "+" 9 94. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми Если две прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости, то кратчайшее расстояние между ними (как доказывается в элементарной геометрии) есть дтнна отрезка общего перпендикуляра к этим двум прямым, концы которого лежат на этих прямых.
Отсюда следует, что кратчайшее расстояние между двумя гг лги гп плоскость н пиямхя в ~пяостяхнствв скрещивающимися прямыми равно величине ортогональной проекции любого отрезка М,М„концы которого лежат на этих прямых (рис. 136), па любую прямую, перпендикулярную к даинь!гг; это очевидно при проектировании точек М, и М, ца общий перпендикуляр к данным прямым; величина проекции пе изменится, если спроектировать отрезок М,М, па любую прямую, параллельную этому перпендикуляру. Пусть две скрещивающиеся прямые заданы каноническими уравнениями г — гг у уг гг т, г — хг у — у, г — г, т, лг Рис.
!36 относительно декартовой прямоугольной системы координат. Кратчайшее расстояние между ними равно абсолютной величине проекции вектора М,М,=(хг — х,, у,— р„х,— хг), начало М,(х,, у„г,) и конец М,(х„у„г,) которого лежат соответственно на первой и второй прямых, на прямую, параллельную вектору ( Ь(=(~пгг пг1 ~пг 11! ~1! гпг(1 перпендикулярному направляющим векторам а=(1„т,, и!) и Ь=(1г, т„лг) данных прямых. Так как ~(аь(М,М,~=((аЬ(ц р... М,М,1=((аь))а, то кратчайшее расстояние г( между данными скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле 1аггМгМг! 1 (аа)1 или в координатах ! г — г, у,— у, гг — гг т, л, г( !г т, л, !т, л,!'1 'л1 й!'1 !й т,1г ~l! 1т, л,! !л, /г( !гг т,! Ч ЗЗ.
ПРИМЕРЫ И ЗЛДЛт!И К ГЛЛНЕ Ч! ()тыетих1, что зта формула верна и дтя двух пересекающихся прямых: числитель обратится в пуль, знаменатель отличен от пуля, и мы получим г(=0 в соответствии с определением кратчайшего расстояния между двумя пересекающимися прямыип. Если две прямые параллельны, то кратчайшее расстояние между ними равно расстояншо от любой точки первой прямой до люоой точки второй прямой. 9 95. Примеры и задачи к главе т)1 1. Задачи с решениями Пример 1. Сос-ааить уразнения перпендикуляра, опушенного из точки (2, 3, !) на плоскость Зх+ у+2г — 1! =О. Ре ше н не. В прямоугольной системе координат вектор !3, 1, 2) пер. псндпкулярен данной плоскосги, поэтому для искомой прямой известна точка (2, 3, 1) и запранляющик вектор (3, 1, 2). Ее ураапения х — 2 1à — 3 г — 1 3 ! Пример 2.
Составить ураппеппе плоскости, проходящей через гочку (1, 2, — 1) коипланарио векторам (1, 7, О) и !4, 3, 2). Решение. ! х — 1 д — 2 г+1) 1 7 О ~=0, 4 3 2 илн 14х — 2у — 25г — 35 = О. Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходяшей через точку (3, 2, 1) и прямую к — 2 у-(-3 г — 1 4 1 2 Р е ш е н и е. Искомая плоскость проходит через точки Мт(З, 2, !) и М,(2, — 3, !) и параллельна еектору а=(4, 1, 2), следоиательпо, она параллельна вектору ММ =( — 1, — 5,0) н, значит, ее уразнепие ! х — Зр — 2г — 1 4 1 2 =О, — 1 — 5 0 10х — 2д — 19г — 7 = О. Пример 4. Составить уразнение плоскости, проходящей через три точки М (2 5 1) Ме(6 3 2) Мз(1 1 !).
Р е ш е н н е. Искомая плоскость параллельна векторам М,Л(,=(4, -2, !) и Л4М,=(1, 4, О), 204 плаза ут плоскость н прямая в пностиднствв поэтом) ее уравнение ялн 4х — у — ! Зг+! 5 = О. Пример Б. Составить уравнение птоскостгь про~одящей через начало коор- динат и перпендикулярной прямой х" — 2 у+7 г+3 3 4 ! ! х — 3 у — 1 г — 1( 3 — 1 2 ~=0, ! 2 — 1 Зх — 5у — 7г+3 = 0, Пример 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
