1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 30
Текст из файла (страница 30)
е. чтобы существовало такое число Х ~0 что А,=) А„В, =ХВ5, С,=~С,, О, ф)Р,. или А,х + В,у + Стг + О, = Х (А ах + В ау + С,г + 0,). (3) 3. Для того чтобы плоскости, заданные уравнениями (1) и (2) в общей декартовой системе координат, совпадалп, необходимо н достаточно, чтобы коэффициенты уравнеш5й (1) и (2) были пропор- й Гй.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ 177 циональны, т. е. сушествовало такое число ).эьО, что Аз=7,А„В,=7В„С,=).С~ 0,=70,. Докажем сначала достаточность признаков, 1. Если тройки А„В„С, и А„В„С, непропорциональны, то найдутся пары соответствуюишх чисел из этих троек, например А„В, и Ати В„которые также непропорциональны, Г1олагая в данных уравнениях (1) и (2) г= О, получим уравнения А,х+В,у+0,=0, А,х+В,у+0,=0, определяющие в плоскости лОу уравнения прямых, по которым плоскости (1) и (2) пересекают плоскость ХОу (следы плоскостей (1) и (2) на координатной плоскости хОу). В силу того, что пары А,, В, и А„Вй непропорциональны, зти следы пересекаются, следовательно, пересекаются и данные плоскости.
2. Уравнение (2) эквивалентно следующему' )А,хзг)В,у-'г)Слг+0,=0, или А,х+В,у+С,г+ — '=О. (2') Свободные члены О, и — уравнений (1) и (2') в силу условия 77й 0,~),0л различные, значит, любое решение уравнения (1) не является решением уравнения (2'); это значит, что ни одна из точек, лежащих на плоскости, заданной уравнением А,х+В,у+ +С„г+0,=0, не лежит на плоскости, заданной уравнением Айх+ В,у+ С,г+О, = О, следовательно, эти плоскости параллельны.
3. Если Ай —.--)йА„В =)йВТ, С,=ДСТ, 0Е=-70л (ЛчьО), то левые части данных уравнений (1) и (2) отличаются числовым множителем, не равным нул1о, а значит, эквивалентны. Необходимость всех признаков доказывается сразу методом от противного. 3 а м е ч а н и е. Для того чтобы плоскости, заданные общими уравнениями А,х+В,у+С,г+0,=0, А,х+В,у+С,г+0,=0 относительно общей декартовой системы координат, пересекались, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из следующих условий. 1.
Хоти бы один из определителей В С, ' С, А, ' А, В, был отличен от нуля, ! 8 / 2. Главные векторы п,=(А,, В„С1!.й и,=тл„вм С~) данных плоскостей были бы неколлинсарпь! ,~л, в, с,,~ ~й~л., Вз С,,! Необходимое и достаточное условие параллельности двух плоскостей заключается в выполнении одного из условий. В,С1! |С,Л,~ А,В, по хотя бы один из определителей Л, Р, ' В, Р, ~С, Р, не равен нулю.
2. Главные векторы л,= !Ао Вм С,Д, п,, = (А„вм СД данных плоскостей колли~еарны, по л, О, — Ф вЂ”. л~ О~' /А1 В1 С1~ !'Л1 Вз с. Р.' Необходимое и достаточное условие совпадения двух плоскостей заключается в выполнении одного из условий. В„С,' С„А,~ ~А, В, В, С,( С2 Л~! !Аг Вз А,Р„~В,Р„С,Р, Ал Рг ~В Рз Са Ря 2.
Главные векторы п,= (Ло Во С!! и и, = !А„В„, СД данных плоскостей коллпнеариы и я1 О, и, О,' А, В, С, 0 Все это лишь другие формулировки уже доказанной теоремы. г и уячвнвппя пвямон й 77. Уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Параметрические уравнения прямой В общей декартовой системе координат уравнения прямой, проходящей через точку М,(х„у„г,) и имеющей наорав яющий вектор а=((, и, п), будут х — ха у — уг г — гг ()) 1 т и (эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой), или в парал~етрической форме х=хютП у=уо+тг г=гюзспс> (2) или в векторно-параметрической фарлафе г=г, уга. Действительно, пусть М (х, у, г) †произвольн точка; она лежит на прямой, проходящей через точку М,(х,, у„ г,), коллинеарпой вектору а = (г, и, и) тогда и только тогда, когда век— + торы М„М =-(л — х„у — у„г — г,) и а=-((, т, и) коллипеарпы, т.
е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны: х — хо у — уг г — г„ и п Так как а ~ О, то необходимое и достаточное условие коллинеар- ности векторов М,М и а можно записать еще и так~ М,М=га, (х — х„у — у, г — г,)=г((, и, п), или откуда сразу получаются уравнения (2). Соотношение М,М = га эквивалентно такому~ г — г„= (а, где г,— радиус-вектор точки М„г' — радиус-вектор точки М. Из последнего уравнения находим г'=-г,+га. Параметр г есть координата точки М дашюй прямой в следующей системе координат па этой прямой: М,— начало координат, а — масштабный вектор.
!ЗО Глава РА ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАПСТВЕ з 78. Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой, проходящей через две различные точки М,(х, у„ 2,) и М,(х,, у.„ г,), заданные относительно обшей декартовой системы координат, можно записат, в виде х — ха У У1 2 гт хг — хт Уг Уг гв — гх или в параметрической форме х = х, + ! (х, — х,), У = У, + ! (У, — У„), г = гт + ! (гг — 21). Док азате.тьство.
За направляющий вектор прямой можно взять вектор М М,=(хг — х,, у,— у„г,— гт), после чего остается применить результаты предыдущего параграфа. ф 79. Взаимное расположение двух прямых х — хт У вЂ” Ут 2 — гт У вЂ” Уа г — гг тг п1 относительно общей декартовой системы координат. ! хг хг Уг У! Хг гт ) а= !! и, и, тео гг 'лг лг Пряные скрещиваются, т. е. не ле- жат на одной плоскости о=о, во векторы а=(!Р щ„п,) и Ь=(1„тв, и,) неколлинеарпы (иначе нх координаты ненропорннопальны) Пряные пересекаются векторы а=(!ы т„п,» н Ь (Хг, лгв, пг) — + коллннеарпы, но вектор Мыиг= =(ха — хь уг — уь гг — гх) иы пе кол- линеарен Г!Рямые параллельны Все три вектора: а=(гь щь пг) Ь=(гг, лт„пг), ИХЬ!2=(хг — хп Ув — Уь гв — гт) — коллинеарны Пря.
ые совпадают Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем достаточность указанных признаков. Следующие утверждения выражают необходимые и достаточные признаки взаимного расположения двух прямых в пространстве, заданных каноническими уравнениями $ ОО. ВЗЛИМНОГ РЛСПОЛОЖГНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 181 1. Рассмотрим вектор М, М, = 1хо — х,, у, — у,, г, — гт) и направляющие векторы данных прямых а=(1и т„пт) и Ь =11,, т,, по). Если хо — хт Уо — Ут го — го тд по то по 5 80. Взаимное расположение прямой и плоскости Следующие утверждения дают необходимые и достаточные признаки взаимного расположения прямой, заданной каноническими уравнениями хо У вЂ” Уо г — го 1 т Л (1) и плоскости, заданной общим уравнением Ах+ Ву+ Сг+Р = 0 относительно общей декартовой системы координат. Плоскость н прямая пересекаются: А1+ Вт+ Сп ~ О.
Плоскость и прямая параллельны: А1+Вт+СИ=О, Ах,+ВУ,-~-Сг,-,'-Р ~0. Прямая лежит на плоскости: А1+Вт+СП=О, Ахо+ Вуо+ Сг~+Р = О. (2) то эти векторы пекомпланарны, следовательно, данные прямыс не лежат па одной плоскости. 2. Если Ь=О, то векторы а, Ь, М,М, компланарпы, следовательно, данные прямь~е лежат в одной плоскости, а так как в случае 2 направляющие векторы а и Ь этих прямых предполагаются неколлинеарными, то прямые пересекгпотся. 3.
Если направлгиощие векторы а и Ь данных прямых коллинеарны, то прямые или параллельны, или совпадают. В случае 3 прямые параллельны, так как по условию вектор М,Моо начало которого находится в точке М, первой прямой, а копен в в точке М, второй прямой, пе коллинеарен этим векторам а и Ь. 4. Если все векторы а, Ь и М,М, коллипеарпы, то, очевидно, прямые совпадают.
Необходимость признаков доказывается методом от противного. !82 г. яви и плоскость и паямхя в пяостгхнстве Локажсм сначала достаточность указанных признаков. Запи. шем уравнения данной прямой в параметрическом виде: х=хотсВ У=Уь+т( г=-гол-п( (3) Подставляя в уравнение (2) координаты произвольной точки данной прямой, взятые из формул (3), будем иметь А (х, + В) + В (у, + тГ) —; С (г, + и() +Р = О, или (А) +Вт+ Сп) ~+ Ах„+ Ву, + Сг +Р =- О. (4) 1. Если А)+ Вт+СпФО, то уравнение (4) имеет относительно г единственное решение; А хо+ Вуо+ Сго+ 0 А1+Вт+ Си а, значит, данная прямая и данная плоскость имеют только одну общую точку, т.
е. пересекаются. 2. Если А(+ Вт+ Сп = О, Аха Вуо+ Сго+Р Ф О то уравнение (4) не удовлетворяется ни при каком значении г, т. е. на данной прямой нет ни одной точки, лежащей на данной плоскости, следовательно, данные прямая и плоскость параллельны. 3. Если А1+Вт+Сп==О, Ах,+Ву,+Сг„+Р=О, то уравнение (4) удовлетворяется при любом значении г, т. е. все точки данной прямой лежат на данной плоскости, значит, данная прямая лежит на данной плоскости. Выведенные наин достаточные условия взаимного расположения прямой и плоскости являются и необходимыми и доказываются сразу методом от противного. Из доказанного следует необходимое и достаточное условие А(+Вт+Сп= О того, что вектор а=(1, т, п) компланареп пло- скости, заданной общим уравнением Ах+ Ву+Сг+Р = О относи- тельно общей декартовой системы координат.
4 81. Прямая как линия пересечения двух плоскостей В общем случае прямую р в общей декартовой системе координат можно задать уравнениями двух плоскостей: А,х+.В,у+С г+Р,=О, А,х+В,у+С г-(-Р,=О, (1) пересекающихся по этой прямой. Для приведения прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями (1), к каноническому виду надо найти какое-нибудь решение х„у„г, системы (1), Точка М,(х„у„г,) лежит на пря- фз2. пучок !!лоскостгя мой, по которой пересекаются плоскости (1). Далее, вектор а с координатами является направляющих! вектором данной прямой, так как он ненулевой и компланареп каждой пз данных плоскостей.
В самом деле, применяя необходимое и достаточное условие компланарпости вектора и плоскости, получим С,А А, В,' с,А ~ '~А,В,~ в, с!~ А,(+В,п!+С, =А, В (+В, ' в, с,~ А, В, С, = А, В„ С, А, В, С, и аналогично А,1+ Взгп+ С,п = 0„ так что вектор а=-(1, т, и) коллинеарен прямой, по которой пересекаются плоскости (!). Канонические уравнения прямой (1) можно записать в виде х — хо У вЂ” Ию ?=го (В, С!~ )Сь А!) ~А! Вь~ ф 82. Пучок плоскостей относительно обшей декартовой системы координагп, принадлежали одному пучу, собственному или несобственному, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы 'А, В,С О„ М= А, В,С,0, был равен или двум, или единице, Собственным пучком плоскостей называется множество всех плоскоппей, про«одзи)их через одну прямую. г(есобственным пучком плоскостей называется множество всех параллельных между собой плоскостей, Теорема 1.
Для того чтобы три плоскости, заданньм общими уравнениями А,х+ В,у+ С,а+П, = б, Аз«+ В!у+С,г-)-0 = б «+в у+с «+о О 184 г, ааа ги плоскость и пеямля в пеостелпствв Доказательство необходимости, Пусть три плоскости (1) принадлежат одному пучку. Требуется доказать, что КдМ<2. Предположим сначала, что три данные плоскости принадлежат собственному пучку. Тогда система (1) нмест бесконечное множество решений; это будет тогда и только тогда, когда КаМ(2, так как если КцМ=-З, то система (1) или имеет единственное решение, или несовместна, смотря по тому, будет лн определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля или равен нулю. Если три данные плоскости принадлежат несобственному пучку, то ранг матрицы т= А,В,С, равен 1, а значит, ранг матрицы М равен или двум, или едншше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
