1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 36
Текст из файла (страница 36)
142 Ох' и Оу'. Рассмотрим теперь на плоскости две общие декартовы системы координат хОу и х'О'у' (рис. 142); обозначим масштабные векторы осей Ох и Оу в системе хОу соответственно через е, и е,, а в системе х'О'у' масштабные векторы осей О'х' н О'у' обозначим соответственно через е, и е,. Введем промежуточную систему координат х"О'у" с началом координат в точке О', полученную переносом системы хОу. Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системах хОу, х"О'у" и х'О'у' соответственно через х, у; х", у"; х', у'. Тогда Р Р Р х"=а„х'-';а„у, у' =а„х +а„у, (5) где а„и а„— координаты вектора е, в базисе е„е.„а а„и а„— 'координаты вектора е, в базисе е,, е,.
Далее, на основании 9 96 х = х" + а„у =- у" +а„ (6) где а, н а,— координаты начала координат О' системы х'О'у' относительно системы хОу. Из формул (5) и (6) находим х = а„х'+ а„у'+ а„у=а„х'+ а,,у'+ а,. (7) Так как координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала, то старые координаты х, у вектора 21В и з з за им пгаовгхзовхнив двкхятовон системы коовдинхт через его новые координаты х', у' при общем преобразовании общей декартовой системы координат имеют вид Р Р х= а„х'+ а„у, у = а„х' — , 'а,зу .
(8) $ 98. Преобразование обгпей декартовой системы координат в пространстве Аналогично доказывается, что если в пространстве введены две общие декартовы системы координат Охуг и О'х'у'г' с общим началом О и если масштабные векторы осей Ох, Оу, Ог соответственно е„е„е„а масштабные векторы осей Ох', Оу', Ог' соответственно е„е„в„то, обозначая через х, у, г координаты произвольной точки М пространства в системе Охуг, а через хг Рас, 144 гзис. 143 причем е, = (апо ам, азг) В, = (агз азг, аз ), ез = (а,г, агг азз) (2) (координаты векторов в„в„е,„даны в базисе еп ем и,) и, далее, матрица перехода а„а„агз А = ам азз азз ггзг азз зз (3) х, у, г, а через х', у', г' — координаты той же точки М в системе О'х1у'г', будем иметь (рпс.
143) х = а„х'+ а„у'+ агзг', у=азгх'+а гу'+агзг' (1) г = амх'+ а„у'+ а„г', 1ЗЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВОЙ СИСТГ11Ы КООРДИНАТ 219 невырождепная, т. е. оп а 11 а1з аз азз азз ~ О. а 11 а, а„ Обратно, если Л вЂ” любая невырождениая матрица и в пространстве введена общая декартова система координат, то соотношения (1) связывают координаты х, у, г и х', у', г' одной и той же точки М пространства в системе Охуг и в системе Ох'у'г' с началом координат в точке О и масштабными векторами осей Ох', Оу'.
Ог', заданными равенствами (2) относительно системы Охуг. Если в пространстве введены две общие декартовы системы координат Охуг н О'х'у'г' (рис. 144), то координаты х, у, г любой точки М пространства в системс Охуг через координаты х', у', г той же точки М в системе О'х'у'г' выражаются соотношениями х = а их'+ о „у'+ а,зг'+ а,, у = а„х' + а,зу' + а„г'+ аз г= аззх +аму'+аз,г +аз, (4) где ам имеют прежний геометрический смысл, а а,, а,, аз — координатй начала координат О' системы О'х'у'г' в системе Охуг. При этом общем преобразовании обшей декартовой системы координат старые координаты х, у, г вектора а через его новые координаты х', у', г' выражаются соотношениями Х = а11Х + а12у + а1зг у а.„х'+ а,зу'+ а„г', г = а„х'+ а,зу'+ а„г . 9 99. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости 1. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат па плоскости к другой декартовой прямоугольной системе с той же ориентацией и с тем же началом координат Предположим, что на плоскости введены две декартовы прямоугольные системы координат хОу и х'Оу' с общим началом координат О, имеющие одинаковую ориентацию (рис.
145). Обозначим единичные векторы осей Ох и Оу соответственно через 1 и 11, а едшшчные векторы осей Ох' и Оу' чере 1' и у'. Наконец, пусть сс — угол от оси Ох до оси Ох'. Пусть х п у — координаты произвольной точки М в системе хОу, а х' и у' — координаты той же точки М в системе х'Оу'. авв Г в а в а РЛ. ПРЕОВРЛЗОВЛНИЕ ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНЛЕ Так как угол от оси Ох до вектора ю равен О, то координаты вектора 8' соз сс, з!и и. Угол от оси Ох до вектора у' равен О+ — '; поэтому координаты вектора /': соз (а-)- — '" 1 = — з!п сс, з!п ( и+ ~ ~ = сова. Формулы (3) Э 97 принимают вид х = х' соз гь — у' з1п сс, у = х' з!п и+ у' соз а. Матрица перехода от одной декартовой прямоугольной системы координат хОу к другой прямоугольной системе х'Оу' с той же ориентацией имеет вид '~,5!п я соз гг / Матрица А и ы (3) соз м — з)п сс ! !=-1.
5!п О созгх! (5) Обратно, если задана ортогональная матрица (3) с определителем, равным +1, и па плоскости введена декартова прямоугольная система координат хОу, то в силу соотяошепий (4) векторы 1'= = (п„, а,г) и/'= (агм а.„) единичные и взаимно перпендикулярные, следовательно, координаты вектора 1' в системе хОу равны созгв И вйПО, ГДЕ и — УГОЛ От ВЕКтОРа 1 ДО ВЕКтОРа Г', а таК КаК ВЕКТОР Рис.
145 называется ортогональной, если сумма квадратов элементов, расположенных в каждом столбце, равна 1„а сумма произведений соответствующих элементов разных столбцов равна нулю, т. е. если а 2 и„-,' пвв =-1, а'„ + пав = 1, (4) амаыР ае,а, = О. Таким образом, матрица (2) перехода от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе с той же ориентацией ортогональная. Отметим еще, пто определитель этой матрицы равен +1: 4 ЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВОЙ СИСЕЕМЫ КООРДИНАТ 22! у' единичный и получен из вектора у' поворотом на + — ', то либо у' = ( — з!п а, сова), либо у' = (5!п а, — соз я).
Вторая возможность исключается, так как если бы мы имели у'=(5!па, сова), то Ое1А — 1, а нам дано, что 1)е1 А=1, Значит, ам-— — 5!Па, а„= созсс и матРица А имеет вид < соз я — 51П а4) 5!П Я СОЗ Я/ т. е. является матрицей перехода от одной прямоугольной системы координат ХОу к другой прямоугольной системе х'Оу', имеющей ту же ориентацию, причем (Ох, Ох') =а. 2. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой прямоугольной системе с противоположной ориентацией и с тем же началом координат Пусть на плоскости введены две декартовы прямоугольные системы координат ХОу и х'Од' с общим началом координат О, ио имеющие противоположную ориентацию.
Обозначим угол от оси Ох до оси Ох' через а (ориентацию плоскости зададим системой хОу). Так как угол от оси Ох до вектора у' равен сс, то координаты вектора!' соз а, 51п а. Теперь угол от вектора У' до вектора,у' равен — '" — (рис. 14б), поэто- О Рис. !46 му угол от оси Ох до векторау' равен (по теореме Шаля для углов) а+ ~ — ~ ) =а — — ' и потому коор- 27 2 динаты вектора у' соз(Я вЂ” — ) = 5!и с'., 5!и а — 2 = — сова. 2 ! Формулы (3) 2 97 принимают вид х =х с05а+у 5!па, ц = х 5!пя — у сова. (б) Матрица перехода Гсоз я 5!п а А=! !,5!п я — соза ортогональная, но сс определитель равен — 1! Ое1 А = — 1.
(7) 222 Г~аел ГП ПГВОВВЛЗОВЛННВ ДеивитОВОП СИСТЕМЫ КООГдННЛт Обратно, любая ортогональная матрица с определителем, рав- ным — 1, задает преобразование одной прямоугольной системы ко- ординат яа плоскости в другую прямоугольную с тем же началом, но противоположной ориентации. Итак, если две декартовы прямоугольные системы координат хОд и х'Од' имеют общее начало, то 1 л Ф х=сых +сыу, у=сл1Х +«,лу, где х, у — координаты любой точки в системе хОд; х' н у' — коор- динаты той же точки в системе х'Оу', а (с„с,) ортогональная матрица. Обратно, если (см с„) произвольная ортогональная матрица, то соотношениями х=сых з сад, У=сых +сллд выражается преобразование декартовой прямоугольной системы координат и декартову прямоугольную систему с тем же началом координат; сго с„— координаты в системе хОу единичного вектора 1, да~сщего йоложнтельное направление оси Ох'; с,, с„— координаты в системе хОу единичного вектора г', дающего положительное направление оси Оу'.
В случае ~сы с„,~ системы координат хОу и х'Оу' имеют одинаковую ориентацию, а в случае Л= — 1 — противоположную. 3. Общее преобразование одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости в другую прямоугольную систему На основании пунктов 1 и 2 этого параграфа, а также иа основании 2 9б заключаем, что если па плоскостк введены прямоугольные системы координат хОу и х'О'у', то координаты х и у п)~оизвольной точки М плоскости в системе хОу с координатами х и у' той же точки М в системе х'О'у' связаны соотношениями х= х'сова — у' з!и а, + х„у = х' з!п а+ у' сова+ у„(8) если системы хОу и х'О'у' имеют одинаковую ориентацию, и соотношениями х=х'сова+у'з1па-1-х„у=х'з)па--у'сова+де, 19) если системы хОу и х'О'у' имеют противоположную ориентацшо.
т 100. пРБОБРязовлние пРямОуГОльнОЙ системы 223 В формулах (8) и (9) х, н у,— координаты точки О' в системе хОу, а а=(Ох, О'х'), причем ориентация плоскости определяется системой хОу, Оощее преобразование декартовой прямоугольной системы координат в декартову прял1оугольную можно записать и в виде (10) Х = С11Х + Сл~у + См у = Слдх +Сллу + См ортогональная матрица, а с„с,— координаты начала О' системы координат х'О у' в системе хОу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
