1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 40
Текст из файла (страница 40)
а ' Обратно, если некоторая плоская линия проектируется в окружность, то эта линия является эллипсом. Отсюда следует, что плоскость, пересекающая все образу1ощие какого-нибудь прямого круглого цилиндра, рассекает его по эллипсу, так как если это сечение спроектиро- Рис.
163 вать в плоскость, пересекающую все образующие цилиндра под прямым углом, то в проекции получится окружность. $ 1!О. Касательная к эллипсу Уравнение касательной в пеособой точке (х„уо) к линии, заданной неявным уравнением * Р (х, у) = О, пишется в виде Р. (х уо) ( — хо)+Р (х уо) (у — уо) =(), (1) где Р (х„у,) и Р„(х„у,) — значения частных производных от функции Р(х, У) в точке (х„у,). Для эллипса, заданного каноническим уравнением о «о уо аз Ьо — + — =1, уравнение касательной в точке (х„у,), лежащей на этом эллипсе, имеет вид — о (Х вЂ” Хо)+ ьо (У Уо) =Оо 2«о 2Уо хо Уо или (так как — '+ — о= 1) ао Ьо «'о«УоУ вЂ” + — =1.
а' Ьо ' Сьь Г. М, Ф н х те н гол ь ц. Курс дифференциального н интегрального исчисления, т. 1, М., Фнзматгнз, 1958, гл. ЧП, 5 2, стр. 5ЭЗ. 246 Гхеее ГЫ1 КЛНОНИЧЕСКИГ. КЭЛВПЕНИя ЛИНИИ $111. Оптическое свойство эллипса Теорема. Касательная к эллипсу в произвольной его точке М, является биссектрисой внешнего угла М, треугольника Р,Р2М„ имеющего своилш вершинами чэокусье Р и Р, эллипса и дойную точку М,. Доказательство. Рассмотрим уравнение касательной к эл- липсу х' уе — + — =1 а' Ье в данной на нем точке М,(х„у,): Отношение расстояний Ь1 и Ье от фокусов Р,( — с, О) и Р,(с, О) эллипса до касатсльной в точке М,(х„у,) равно отношению модулей результатов подстановки координат фокусов Р, и Р, в левую часть уравнения касательной: й,:й,=~ — ф — 11:!' —;.; — 1!=!1+""):~1 '"!= =! а+ех,!:!а — ех,! =г1. 2. Отметим, что результаты подстановок — —,,' — 1 и —,' — 1 координат фокусов Р,( — с, О) и Р,(с, О) в левую часть уравнения касательной в числа одного знака: сха 1 ехе а' елл ра а ' ч.0, а "<О, а — ех а сх, ае ехе поэтому ,~ Р,М,Р,=,~ Р,МР„ следовательно, угол Р,М,Р, равен углу Р1МД, где точка 2ч' лежит на продолжении отрезка Р,М, за точку М,.
Из этой теоремы непосредственйо вытекает способ построения касательной к эллипсу в произвольной его точке. поэтому оба фокуса Р, и Р, расположены по одну сторону от касательной к эллипсу в произвольной его точке. Обозначим через Р, и Р, основания перпендикуляров, опущенных из фокусов эллипса на касательную к нему, проведенную в точке М, (рис.
164). Тогда,'~ Р,Р,М, 2~2 Р,Р,М,, так как оба опи прямоугольные, и по доказанному Рееве Р2Р2 Е2В12 1 4!!2 ГИПЕРБОЛА И ЕЕ КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 247 Доказанной теореме можно дать следующую физическую интерпретацию: если поместить в один из фокусов эллипса источник света, то лучи после отражения от эллипса собсрутся в другом Рис !65 Рис. !64 фокусе, так как световой луч отражается от эллипса, как от касательной, проведенной к эллипсу, в точке падения луча (рис. !бб). Слово «фокус» по латыни означает «очаг». э !!2. Гипербола и ее каноническое уравнение Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, длл каждой из которь2х абсол!Отнал величина разности расстолний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть Рве.
!66 данное положительное число 2а, меньшее, чел! расстояние 2с между фокусами. Пусть М вЂ” произвольная точка гиперболы, а Р! и Р« — ее фокусы. Отрезки Р»М и г»М так же, как и их длины, называются 248 Гл а а а УЫА КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ получим уравнение (а' - с') х'+ а'у' = а' (а' — сад Однако теперь а(с.
Обозначая разность а'-с' через — ()а: а' — с' = — Ьд, илн с' = а'+ ()', (2) имеем — Ь'ха+ адуа = — дЬа, или ха у' — — — =1 аа Ьа (3) Итак, координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (3). Докажем обратное: если координаты некоторой фокальными радиусами гиперболы. Поэтому )РдМ вЂ” Р М (=2а. (1) Из определения гиперболы вытекает следующий способ ее вы- черчивания (рис.
166). Берем линейку, длина которой больше 2а, и к одному ее концу прикрепляем нить такой длины, чтобы раз- ность между длиной линейки и длиной нити была равна 2а. Второй конец линейки закрепляем в одном фокусе так, чтобы линейка могла свободно вращаться вокруг него, а второй конец нити закрепляем в другом фокусе. Если удерживать острием ка- рандаша нить в натянутом вдоль линейки положении, как ука- зано на рис. 166, то при врадценни линейки карандаш перемеща- ется и его острие описывает ветвь гиперболы, внутри которой лежит тот фокус, в котором закреплена нить. Введем на плоскости прямоугольную систему координат, при- нимая середину отрезка Едг" за начало координат, а за ось Ох— прямую дч Р„ориентированную от точки гд к точке г",.
В выбран- ной системе координат фокус Г имеет координаты — с, О, а фо- кус г — координаты с, О. Обозначая координаты точки М гиперболы через х и у, будем иметь Мр,=~(х+с)'+у', МЕ,=~'( — с)'+уд, и соотношение (1) принимает вид (УР~) >'-)-и' — УТ: )')-а )=а.. Преобразуя это уравнение так же, как и для эллипса $102) 1 ((*-)- )') а' — 1 (* — ) ) а' - а да У( )- ')'-)-а'-ад .(-1'(* — )')-а' . л., 2 112. ГНПЕРЗОЛА И Ее КЛПОПНЧЕСКОЕ УРАВН1.НР1Е 249 точки М(х, у) удовлетворяют уравнению (3), то )МР2 — МР,) =2а. Для этого найдем расстояния г, = МР, н г, = МР, от этой точки до точек Р, и Р,: г,=МР,=)г(х+с)2+у2 = )/ (х+с)2+62('— — 1) = = ~/ х'+2сх — 'сз+ — — Ь2= '~; — 'х'+2сх+с' — 62 г 22 а2 = ф/ — ", -1-2сх+аз= 1/(а~- —,) =~ — '-1- а~ и аналогично г,=-МР =~ — — а~.
Из равенства х2 у! — — — =1 а2 Ь' следует, что ~х~)а, Если х.= а, то в силу соотношения с > а > 0 будем иметь СХ СХ вЂ”,+а>0, — „— а>0, а потому СХ г,= — +а а если х~а. СХ г,= — — а а Если же х < — а, то — +а<0, — — а<0, сх сх а а а потому г,= — ( — „+ а) — (. если х( — а.
СХ г = — — — а 2 (Б) Итак, мы доказали, что координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению х2 у' — — — =1 а Ь 2 2= 2 Таким образом, если х > а, то г, — г, = 2а, а если х ( — а, то г,— гх= — 2а; в обоих случаях (г,— г 1=2а. ззо Г а а а а Г/М КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ и обратно: если координаты точки удовлетворяют этому уравнению, то эта точка лежит иа рассматриваемой гиперболе. Следовательно, уравнение к' Ка —,— — ', =1 р ь является уравнением гиперболы; оно называется каноническим урав- нением гиперболы. й !13.
Исследование формы гиперболы Так как в каноническое уравнение гиперболы координаты х и у входят во второй степени, то оси Ох и Оу являются осями симметрии гиперболы, заданной уравнением ха аа — — — =1, рй ьа (1) а начало координат — центром симметрии. Ниже мы покажем, что каждая гипербола имеет единственный центр симметрии и только две (взаимно перпендикулярные) оси симметрии, 1!з уравнения (1) следует, что ~х(>а, т. е. или х~ а, илн х~~ — а.
Геометрически это означает, что между прямыми ха а и х= — а нет ни одной точки гиперболы (1). Ось симметрии Оу пе пересекает гиперболу, заданную уравнением (1), и называется мнимой осью; ось Ох пересекает гиперболу (1) в двух точках: Ае( — ц, О) н А (ц, О). Эта ось называется действительной осью гиперболы.
Точки, в которых действительная ось пересекает гиперболу, называются вершинами гиперболы. Числа а и 6 в каноническом уравнении (1) гиперболы называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Решая уравнение (1) относительно у, беря для д лишь положительное значение: (2) Ь Р вЂ” „)У х' — пз и считая х) а, мы получим точки гиперболы (1), лежащие в первой четверти.
Из уравнения (2) следует, что у в полуинтервале а~х(+ ро есть возрастающая функция; при этом Йп у = + оо. а ~ар ь ыа исслидоидпин еонмы ггтпиоиолы 251 Всякая прямая пересекает гиперболу не более чем в двух точках, так как прямая определяется уравнением первой степени, а гипербола — второй. Рассмотрим уравнение прямой ь у= — х. и (3) определяемая уравнением Ь у= — х, а называется асимпготой гиперболы ха уй — — = 1.
аа Ьа В силу того что гипербола, заданная каноническим уравнением, снм- Рис. 16? метрична относительно начала координат, расстояние от точки М(х, у), лежащей па дуге гиперболы, Ь ь заданной уравнением у= ††)/ ха †, до прямой у = — х стреа а мится к нулю при х — — сю. Так как гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична и относительно оси Оу, то она имеет вторую асимптоту Ь у= — — х, а которая обладает свойством, аналогичным свойству первой асимптоты по отношению к дугам гиперболы, расположенным во второй и четвертой четвертях. Асимптоты гиперболы являются диагоналями * прямоугольника с вершинами Р(а, 6), Я(а, — 6), )г( — а, 6), 5( — а, — 6).
" Здесь под диагональю прямоугольника мы понимаем есю прямую, соединяющую протнеоположпые першины прямоугольника. Найдем расстояние д от точки М (х, у), лежащей иа дуге ги- перболы, определяемой уравнением (2), до прямой (3); переписывая уравнение (3) в виде 6х — ау=О, находим ) Ьх — ар ) ! Ьх — Ь ргхе — ае ~ )г ах-~-Ьа с Ьах --,(х — )г'ха — оа~ = ~ + -, Отсюда следует, что на полуиптервале (а, + со) расстояние г( от точки М(х, у) рассматриваемой части гиперболы до прямой (3) есть убывающая функция от х и 1пп г1=0 (рис.
167). Прямая, х -ь+м 252 г. ава г(п клноничсскнв юлвнгння линни При одной н той же абсциссе х ордипаты точки ветви гиперболы, лежащей в первой четверти, с ординатой точки асимптоты ь р = — х связаны неравенством а ь ь — х > — ~' х' — а'. а а Отсюда и из того, что гипербола симметрична относительно осей координат, следует, что она имеет две ветви, заключенные в Рис. 188 двух областях: одна из них ограничена отрезком РЯ и продолжениями отрезков ОР и ОЯ за точки Р и Я, другая симметрична этой области относительно мнимой оси гиперболы (рис. 168)г Гипербола, у которой полуоси равны, называется равносторонней. Каноническое уравнение равносторонней гиперболы имеет вид х' — у' = а'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
