1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Уравнения аснмптот равносторонней гиперболы таковы: ц= -~х, это биссектрисы углов между ее осями симметрии. Асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны. Обратно, если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то ее полуоси равны между собой и, значит, гипербола равносторонняя, гееее юы. клноничгскив г лвнгния линии 254 Рис !69 Доказательство необходимости.
Рассмотрим, например, фокус ре(с, О) и соответствующую ему директрису а х= —, е Расстояние г, от точки М (х, й) гиперболы х' Ее — — — =1 ае Ве до фокуса ре(с, 0) равно ге=)ех — а(, а расстояние от той же точки И (х, ц) до директрисы равно а х=— е а ~ (ех — а( 3 ) е ~ е е Отсюда ге — =е. Аналогично доказывается, что — =е ! где г, есть расстояние от точки М(х, д) гиперболы до ее фокуса г!(-с, 0), а й! — расстояние от той же точки М до директрисы х = — —, соответствующей фокусу г"!.
!еорема. Для того чгпобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расспгояния от этой точки до фокуса гиперболь! к расс!пояни!о от той же точки до дирекн!риса!, ооон!ветен!ви!ощей рассматриваемому фокусу, было равно экс!(ентриси!нету гиперболы. $1!4. ЭКСЦСИТРИСИТВТ И ДИРЕКТРИСЫ ГИПЕРБОЛЫ Доказательство достаточности такое же, как и в теореме 5 104. Расстояние от фокуса Ее до директрисы х= — гиперболы равно де т=с —— и а эксцентриситет С с=в и те же' а= —, с=— ее — 1 ' е' — 1 ' Если задана произвольная точка Р, прямая 41, не проходящая через точку Р, и число еР 1, то существует, и притом только одна, гипербола, эксцептриситет которой равен е, Р— фокус, а 41 — соответствующая директриса. Центр О этой гиперболы отстоит от точки г' иа расстоянии атее с=— ее — 1 ' причем точки О и Р расположены по разные стороны от прямой 41 (рис.
170), а большая полуось этой гиперболы равна а=— ее — ! ' Рис. 170 Доказанная теорема и последнее утверждение позволяют дать гиперболе другое определение, эквивалентное принятому выше; гипербола есть геометрическое место точек, для каждой из которых отношение расстояния от данной точки Г к расстоянию до данной прямой 41, не проходящей через точку Р, равно данному числу е> 1. Г.вава ШЫ. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ 5 115.
Параметрические уравнения гиперболы Перепишем уравнение гиперболы хг уг ав в виде Отсюда видно, что х у х у — — ~О -+-~О. и Ь а Ь Положим — + — =1; х у и Ь тогда 1-~ О и х у и Ь г следовательно, х= — (1+ — ), д= — ~1 1). Мы доказали, что координаты любой точки гиперболы могут быть представлены в виде (1), где 1ФО. Обратно, при любом 1-~ЬО точка с координатами (1) лежит на гиперболе х' у' — — — =1 аг Ьг в чем можно убедиться, подставляя в уравнение хг уг — — — =1 аг Ьг вместо х и у их выражения из формул (1). Следовательно, урав. пения (1) являются параметрическими уравнениями гиперболы хг уг — — — =1 аг Ьг Если точка М(х, у) лежит на той ветви гиперболы, для точек которой х=-=а, то и/ 1т а Ег+1 — ~1+ — ~ -"- О или — — '- О 2 (, 2 следовательно, 1) О. Обратно, если г') О, то х~а, т.
е. точка М(х, у) лежит иа указанной ветви гиперболы. При изменении г в полуинтервале (О, 1) значение х убывает от +си до а, а значение д возрастает от — аи до О; при изменении 1 в полуиитервале (1, +Си) значение х возрастает от и до + аа, а значение у воз- 5!16. СОПРЯЖЕННЬ1Е ГИПГРБОЛЫ раСтаЕт От О дО+ос(рИС. 171). Прн 1=1 ПОЛуЧаЕЛ1 ПраВу1О ВЕРШИ- ну (а, 0) гиперболы. При отрицательных значениях ! получаем левуго ветвь. При этом если ! изменяется в полуинтервале( — аа, — 11, то значение х возрастает от — аа до — п, а значение у возраста- Рис !т! ет от — ао до О, а если ! изменяется в полуинтервале 1 — 1, О), то значение х убывает от — а до — аа, а значение д возрастает от 0 до +аа.
6 116. Сопряженные гиперболы Две гиперболы, заданные уравнениями х' уй хй ой — — 1 и — — —.,= — 1 ай ой ай ой в одной и той же декартовой прямоугольной системе координат с одними и теми же значениями полуосей а и Ь, называйотся сопр я ж е н н ы м и (рис. 172). Выше доказано, что всякая гипербола Хй в,й — — — =! ай ай может быть выражена параметрическими уравнениями .=-'('+й --'('--')' параметрические уравнения гиперболы, соп ряженной сданной, будут х= х (! — -7-), У= — ~!+ — ).
9 и. о. медовой 25З Г за вс Уг!!. КХИОНИЧГСКИС РРДВНПННЯ ЛИНИЙ 8 11!. Уравнение гиперболы, отнесенной к асимптотам Перепишем урагпения асимптот гиперболы в виде Ьх-Ь ау=О. Введем новую систему координат, принимая за начало координат по-прежнему пентр О гиперболы, а за масштабные векторы осей Ох' и Огг'-.-!гниичные направляющие векторы асимптот' е, =~ —,",— —,~, е,= ~ —;, —,~ Рг!с. 172 Тогда Формулы преобразования координат будут иметь внд а а, Ь, Ь х= — х + — и, у= — х'+ — 17 с с ' с с следовательно, х' ра $х'у' .— а-Ю"-т т и, значит, уравнение гиперболы, отнесенной к асимптотам, имеет вид Р са хф ю~ —.
а Обратно, при любом С~сб уравнение х'у'=С определяет гиперболу; осями координат служат ее асимптоты и если ввести ио- ' Из атих выра,иеиий иаходим коеииус того угла !р между асимптотами Гиперболы, в котором лежит сама гипербола: аа — Ьа 2 — еа соа р е',е, са е 111о.
клсьтелънля к ГипеРБОле вую декартову прямоугольну1о систему координат, принимая за новые оси ориентированные прямые, являющиеся биссектрисами углов между асимптотами Ох' и Оу', то получим каноническое травиение гиперболы, Сопряженные гиперболы определя1отся уравнениями х'у'=С и х'д'= — С (С-йб).
9 118. Касательная к гиперболе Уравнение касательной к гиперболе, заданной каноническим уравнением $ — $ - 1 в точке М,(х„у,), лежащей на втой гиперболе, можно записать а виде (см. 9 110) 2хо 2у гог уоу — „, (х — х,) + ьое(д — д,)=О, или —,— гк — 1. 9 119. Оптическое свойство гипербола Теорема. Касательн я к гиперболе в произвольной ее точке является биссектрисой внутреннего угла М, треугольника Р,М,Р„ имеющего своилои вершинами фокусы гиперболы и данну1о точку М . Рис. 173 Доказательство.
Опустим из фокусов Р1 и Ро перпендикуляра Р,Р, и РоРо на касательную. Так же как для элли са (2 111) доказывается, что (рис. 173) доро Рогто ' Г в а в а УЫ! КЛНОНИЧССКИС УРЛВНЕНИЯ ЛИНИЙ 260 поэтому ЬР1МВР1-~~,Р2МОР„И, следовательно, ~ Р1МО~ 1=.~Р2МО~ 2. Результаты подстановок координат фокусов Р1( — с,1)) и Р2(с,1)) в выражение — — — — 1 — числа разных знаков, откуда следует, 20" аау аа 0' что фокусы гиперболы лежат по разные стороны от любой касательной к ней, Рвс. 174 Указаппое геометрическое свойство позволяет построить касательную к гиперболе в произвольной точке М,: точку М, соединяем с фокусами Р, и Р, гиперболы и угол Р,МОР, делим пополам; биссектриса этого угла и япляется касатедьной к гиперболе в точке М .
Доказайной теореме можно дать оптическое истолкование, аналогичное тому, какое было дано для эллипса (рис. 174). 2 МО ПАРАГОЛА Н ЕЕ КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 26г $120. Парабола и ее каноническое уравнение Параболой называется геоя2етрическое место точек, для каокдой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус, и называемой директрисой Ряс. 175 расстояние от фокуса параболы до ее директрисы назьмается параметром параболы.
Зксцентриситет параболы принимается равным единице. Из определения параболы вытекает способ ее построения. Закрепим вдоль директрисы линейку, К линейке приставим меньшим катетом угольник, и в у к вершине противолежащего острого угла прикрепим нить, равную по длине другому катету.
Второй конец нити за- М крепим в фокусе. Если перемещать угольник вдоль линейки, удерживая нить натянутой карандашом, как указано на рис. 175, то карандаш опишет параболу. Опустим из фокуса г перпендикуляр на директрису й и точку пересечения х этого перпендикуляра с директрисой па- Ю и Г раболы обозначим буквой О. Введем на плоскости декартову прямоугольную сис- Рвс. 176 тему координат, поместив начало координат О в середине отрезка г0, принимая за ось Ох прямую РР, о положительным направлением от О к Р (рис. 176).
Расстояние РО от фокуса Г до директрисы й обозначим бук- ьой р (параметр параболы). В выбранной системс координат фо- 262 Г л а ва у!!!. клио!!ические 3РАаиенР!я линии кус р имеет координаты 01 Р 2 уравнение директрисы х= — — ° Р. 2 Пусть М (х, у) — произвольная точка плоскости. Обозначим через г расстояние Мг" от точки М до фокуса параболы, а чере. и!— расстояние МР от точки М до директрисы этой параболы.
Точка М (х, у) лежит на данной параболе тогда и только тог. да, когда Так как г- 1/(х — -) +у, 6 !( ~х+ то уравнение параболы имеет вид (2) Рго уравнение эквивалентно следуюшему! ~х — 2Р) +у =~х+ 2), или у'=2рх. Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы. :.': !21. Исследование формы параболы Так как ордината у в каноническое уравнение параболы входит во второй степени, то ось Ох является осью симметрии параболы: у'= 2рх. Ниже мы докажем, что это единственная ось симметрии параболы (и что парабола не имеет центра симметрии).
Точка пересечения параболы с се осью симметрии называется вершиной параболы, Парабола (1) имеет только одну вершину (О, О). Из уравнения (1) следует, что х)О (так как р) О, а х= — ). у2 2Р ' Разрешая уравнение у' = 2рх относительно у и беря для у лишь неотрицательное значение у= у! 2рх! видим, что в полуинтервале 10, + оо) у — возрастающая функция х, причем 1ипу + оо, Рис. 177 Рсс. 178 Всякая прямая пересекает параболу не более чем в двух точках (так как прямая определяется уравнением первой степени, а парабола — уравнением второй степени). Проведенное исследование дает представление о форме параболы (рис. 177). Рас.
180 Рос. 179 Замечание. Уравнение ус = — 2рх, (2) где р > О, сводится к уравнению у'= 2рх заменой х на — к, т.е. путем преобразования системы координат, которое соответствует изменению положительного направления оси Ох иа противополож- Гла а У111. КЛНОНИЧССКИЕ УГЛВНКНИЯ ЛИНИИ ное. Отсюда следует, что парабола у'= — 2рх симметрична с параболой у'=2рх относительно оси Ор (рис. 178).
Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что каждое из уравнений х'= 2Рр, (8) х = — 2РД, (4) где р) О, определяет параболу с вершиной в начале координат и осью симметрии Оу (рис. 179, 180). Уравнение (3) и (4) пишут часто в виде, разрешенном относительно ординаты у: р — пха где а~О (!а/= — ). 2 122. Построение параболы по точкам Пусть М, (х„уа) — какая. нибудь фиксированная точка параболы д'=2рх, а М(х, у) — произвольная точка той же параболы. Обозначим через Р(х', уа) точку пересечения прямой ОМ с прямой М,О, проходящей через точку М, параллельно оси параболы.
Пусть 3 и Т вЂ” проекции точек М и Р на ось параболы, а К вЂ” проекция точки М на прямую, проходящую через вершину параболы перпендикулярно ее оси (рис. 181). Докажем, что ВР ОК ом,= оо В самом деле, из подобия тре- угольников ОМЯ н ОРТ имеем Рис. 18! х и Ц~ Далее, у' = 2рх, уа = 2рха значит, откуда х тар КМ ПР О1( ' йМ,=ВР ВМ,=ОЭ' $ !ов клслгелы!ля к плглволе Отсюда вытекает следуюнгий способ построения параболы по точкам, если заданы ось симметрии параболы,ее вершина и какая- нибудь точка М,, лежащая на этой параболе: пусть Π— вершина, Ох — ось, направленная в сторону вогпутости параболы, и М,— какая-нибудь точка параболы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
