1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Опустим из точки М, перпендикуляр МоР па ось Оу, перпендикулярную к оси Ох; разделим отрезок ОР па и равных между собой частей и отрезок РМо — па такое же число и равных между собой частей. Перенумеруемточки деления так, как указано па рис. 182. Точка пересечения прямой О! с прямой, параллельной ося Ох и проходящей через точку того же н на параболе. Аналогично строятся точки параболы, четверти. Рнс !З2 амера ! оси Оу, лежит лежащие в четвертой 9 123. Касательная к параболе В курсах математического анализа доказывается ', что если функция у=) (х) в точке х=х, имеет производную, то уравнение касательной к линии, выражаемой уравнением у= — ) (х) в точке (хо уо) где ус=((хо) имеет вид У Уо=( (хо)(х хо).
Если парабола задана уравнением у=ах', а~О, то уравнение касательной к ней в точке (х„ у,) имеет вид У вЂ” Уо = 2ахо (х — х,), или у+ у, = 2ах,х, так как ус= ахо. (2) ' См. В. А. Ил ь ин, Э. Г. По он як. Основы математического анализа М., „Наука", !966, гл. !. $2. 266 г л а о а У111 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 1 спи парабола задана уравнением у'= 2рх (3) то уравнение касательной к ней в точке (х,, у,) имеет вид уоу= р(х+«о) Полагая в уравнении (2) «=0, находиь! точку В(0,— у,), пересечения касательной к параболе (3) с ее осью симметрии. Отсюда вытекает следу!оший способ построения касательной к параболе в данной на пей точке М,. Опускаем из точки М, Рис !83 Рис.
!84 5 124. Оптическое свойство параболы Теорема. Касательная к параболе являгтся биссектрисой угла с"М0 между фокальным радиусом Мс точки касания и перпендикуляром М0, опуи(гнным из нее на директрису. Доказательство. Имеем (рис. 184) М0=рм, М0=МО+00=у,+00. Но у,=ов, О0-ОР, М0 ОВ+ ОР ЕВ следовательно, перпендикуляр М,Р на ось симметрии параболы и откладываем на оси симметрии параболы отрезок ОВ=ОР (рис. 183).
Прямая М, — касателы!ая к параболе в точке М,. см5. пояягноп уРлзнвния Поэгомз треугольник Врй! Ра.,но 1едренпь|й и, значит, ~~РМВ= ~~ ВВМ; по ~ВВМ= ~ ВМ0, следовательно, ~РМВ= ~ВМ0. Эта теорема имеет следующее оптическое истолкование! если в фокусе В параболического зеркала поместить источник света, то лучи, отразившись от зеркала, образуют пучок параллельных лучей.
Указанное свойство параболического зеркала применяется при устройстве зеркальных прожекторов (рис, 185). $ 125. Поливное уравнение зллипса, гиперболы и параболы Пусть Ь вЂ” какая-пиоудь из изученных нами линий второго порядка зллипс, гипербола или парабола (в случае, если Ь вЂ гипербола, мы имеем в виду лишь одну ее ветвь). Рис 185 Рис. 188 Будем называть фокальной осью линии Ь ту из ее осей еим метрии, которая проходит через фокус линии Ь. Введем полярную систему координат, совмещая полюс с фокусом Р линии Ь (в случае гиперболы мы берем фокус, ближайший к вершине рассматриваемой ветви); пусть 0 †основан перпенди. куляра, опушенного из фокуса В на директрису, соответствующую атому фокусу (в случае параболы — просто па директрису) (рис, 186), Полярнучо ось расположим на прямой 0Е, причем ее положнтель.
пое направление примем от 0 к Р, Обозначая через г расстояние от произвольной точки М линии Ь до фокуса В, а через с( — расстояние от той же точка М до директрисы, соответствующей атому й68 Г да аа Угг! КАНОНИЧГСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ й!окусу, будем иметь и — =е, Ы где е — эксцентриситет линии Е.
Находим е(= (;1М =РР+ Рй) =0Р+гсоз гр. Проведем через фокус Р перпендикуля, кфокальной оси линии !., и пусть Р— одна из точек пересечения этого перпендикуляра с ли- нией Е. Так как соотношение (!) верно для всех точек линии (, в частности и для точки Р, то РР— =е, БР откуда РР ЯР=в е Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром е.
Таким образом, и, следовательно, с( = — + г соз !р. Р е Отсюда и из равенства (!) находим полярное уравнение линии в виде г= 1 — есовгр (2) Уравнение (2) используется в механике и астрономии. 5 !26. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения Рассмотрим поверхность прямого кругового конуса, неограниченно простирающуюся по обе стороны от его вершины. Плоскость, проходящая через вершину конуса, может занимать относительно этого конуса следующие три положения: !) иметь с конусом только одну общую точку (вершину конуса, рис (87); ' В том случае, когда линия Š— парабола, РР=РЗ, следовательно, фокаль.
ный параметр р=!УР, т е, параметр параболы равен расстоянию от фокуса этой параболы до ее директрисы. В этом случае величина Р совпадает с параметром параболы, с которым мы встречались ранее, обозначая его той же буквой. 69 б !2б КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 2) касаться конуса вдоль его образующей (рнс. 188)! 3) пересекать конус по двум Различным его образующим ,; ис 189). Рис.
!87 Рис. 188 Рис. !89 Поэтому плоскость, не проходящая через вершину конуса, может занимать относительно конуса следующие три возможных положения: 1) пересекать все образу!ощие конуса; 2) быть параллельной только одной образующей конуса; 3) быть параллельной двум различным образующим конуса. Теорема. Плоскость, не проходящая через вершину прямого кругового конуса, пересекает его по эллипсу, если она пересекает всв Рис !99 Рис 1Я! Рис.
!90 образу!Ощме конуса (рис. 190)! но параболе, если она параллельна только одной образующей конуса (рис, 191), и по гиперболе, если она параллельна двум образующим конуса (рис. 192). Ло к а зател ьство. Пусть плоскость и, не проходящая через вершину прямого кругового конуса (и не перпендикулярная ее оси), пересекает поверхность конуса по линии С (рис 193). Впишем в этот конус сферу, касающуюся плоскости и. Обозначим через р точку прикосновения сферы с плоскостью и, через 3 — окружность, по которой сфера касается конической поверхности, а через ив плоскость, в которой лежит окружность 3. Возьмем на линии О Гв а в в КМЬ КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЙ ЛИНИЙ вто пронзвольну1о точку М и проведем через нее образующую кону»,, точку пересечения втой образующей с плоскостью п' обозначим через А.
Пусть Р†ортогональн проекция точки М на плос- Рис 183 кость и', а  †ортогональн проекция точки Р на прямую 6, по которой пересекаются плоскости п н л' (тогда МВ ) 6). Имеем МР= МА (как отрезки касательных, проведенных из точки М к одной и той же сфере) и далее: МР = МА з1п сс МР з)п сс, МР = МВ з1п Р, где и — угол образующих конической поверхности е плоскостью н', а () — острый угол между плоскостями и и и' тз последних соотношений находим А1Н Б1П Р Л1В спи ' т. е.
Есе точки линия С принадлежат либо зллийсу Г, либо гиперболе Г, либо параболе Г; Р— фокус, 6 — соответствующая атому фокусу директриса, а —,„„= в — эксцентриснтет. 271 !!46 ко!" ические гг'!Рнии Если плоскость и пересекает гсс образу!ощие конической поверхности (рнс. 194), то и) б. Значит, ь1п а ) з1п р, эксцептриснтет е < 1; если х = К т. с. плоскость и параллельна толысо одной образующей, то эксцентрнситет е = 1, если, наконец, и < й, то плоскость и параллельна двум образующим и эксцептриснтет а) 1. Докажем, что и обратно: любая гочка линии Г прппадле'кпт линии С; тогда можно утверждать, что линия С сов !адает с линией Г, т.
е. что сечение С прямого кругового конуса плоскостью. не проходящего через ее вершину, есть или / эллипс, или гипербола, нли парабола. В самом деле, предположим, что па линии Г есть точка М, не лежа щая ца линии С. Проведем через точку М прямую, лежащую в плоскости и и пересекающую коническую поверхность в двух различных точках Р и 171 точки Р и 1,! лежат очевидно на линии С, а по доказанному, следовательно, и на К !"„ Рис. 195 Рнс. 194 линии Г. Мы пришли к противоречию, заключающемуся в том, что прямая линия МРЯ пересекает линию Г (эллипс, гиперболу или параболу) в трех различных точках М, Р и 17, 3 а м е ч а н и е. Второй фокус Р' эллипса нли гиперболы является точкой прикосновения к плоскости и второй сферы, вписанной в коническую поверхность и касающейся плоскости и.. Прн этом для любой точки линии С, плоскость которой переСЕКаат аС9 ОбраэуЮщив (рНС. 1951, ИМЕЕМ МР=МА, МРт=т1И 272 Р х э ха УЬМ КАНОНИЧЕСКИЕ УРЛВНГНИИ ЛИНИЙ и МРт+ МЕ= АВ=сопз1, а для любой точки линии С, плоскость которой параллельна двум образующим конической поверхпос1и, МР= МА, МГх= МВ н МГ, — МЕ= АВ = сопз1 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
