1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 46
Текст из файла (страница 46)
уче зоз й 131. Конус второго порядка Конусом второго порядка называеп!ся поверхность, у равнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат имеет вид х', уг гг (1) (считаем, что в этом уравнении а.=. Ь). Начало координат, оси координат и координатные плоскости являются соответственно центром симметрии, осями симметрии и плоскостями симметрии и называются вершиной, главнымн осями и главными плоскостями. Осью кон уса (1) обычно называют ось Ог.
Основное свойство конуса: если на конусе (1) лежит точка Мь(х„у„гь) (не совпадающая с вершиной), то на пем лежат все 294 Г а а а а СХ. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПОИГРХНОСТЕЛ точки прямой ОМ„, проходящей через вершину О и эту точку М,. В самом деле, если М(х, у, г) — произвольная точка, лежащая на прямой ОМ„ то х=хха У=АУо г=йга и потому аа ' Ь' са ( а'+ Ь' са) Таким образом, поверхность (1) образована прямыми, проходящими через начало координат. Поэтому для представления вида этой поверхности достаточно расйг смотреть ее сечение какой-нибудь плоскостью г =Й, параллельной плоскости ХОу. В сечении получится эллипс, уравнения которого ('-.")' ~~-'" ' Центр этого эллипса С лежит на оси Ог в точке (О, О, сс), а значит, поверхность (1) образована прямыми, соединяющими начало координат со всеми точками эллипса С (рис.
204). Конус (1) может быть получен х в результате равномерного сжатия Рис. 204 ь Х= — х, )'=у, Я=г а к плоскости уОг конуса вращения Х' у' га ь + Ьа Ь' са полученного вращением вокруг оси Ог прямой х г — — — =О, г'=О Ь с или в результате сжатий к плоскостям уОг, гОх, хОд: хе аХ, у=И', г=сЛ из равностороннего конуса вращения Х' — , '1'--2'= О.
$132. Лсимптотический конус ~ иперболоидов Два гиперболоида (одни однополостиый, друтой двуполостиый) к' а'"' га + (1) называются сопряженными. ыза АсимптОтическии КОиуГ |'ипеииолоидов Конус второго порядка, выражаемый уравнением х' ус х' — + — — — =О, а' Ь сс (2) называется а с и м п т о т и ч е с к и и конусом для обоих гиперболоидов. Докажем, что любая плоскость, проходящая через ос. Ог, перес есекает поверхность (1) по сопряженным гиперболам, а асин,|тотический конус (2) — по двум прямым, которые для этих сопряженных гипербол являются асимптотами. В самом деле, повернем оси координат вокруг оси Ог па угол и. Уравнения (1) и (2) в новой системе координат Ох'у'г' будут иметь вид Рис. 200 Рис 205 (х' соса — у'и|о а)' (х'с)п а-1-у'соса)с гз (1') (х' соса — 'и|и а)' (х' иг а+у' сои а)' х' + — — О.
а ь с' (2') (2") Из уравнений видно, что сечениями являются две сопряженные аЬ гиперболы (!") с полуосями а'=, 6'=с, а пря3~с Ьс соис а+ а' нос а ' мые (2") — асимптотами этих гипербол (рис. 205). Сечения этих поверхностей плоскостью х'Ог выражаются уравнениями ,с Гсохс а с!о' а'1 и' х' ~ — + — ) — — =3-1 у'=О; а' Ь' ) с' ,и с соис а и1п' а) хс х' )т — + ' — ) — — = О, у' = О. ' ~ ас Ьа) си= 296 Г а а аа !Х, КАНОПИЧЕСКИЕ УРЛВНЕПИЯ ПОВЕРХПОСТЕН.
Заметим, что все гиперболоиды семейства х у х — + — — —,=С аа Ьа аа имс!от общий асимптотпческнй конус х' у' х' —, + —,, — —,=0 (рис 206). 3 !33. Эллиптический параболоид Эллиптическим параболоидол! называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координап! имеет вид х' уа — + — =2г, где р>0, в>0. (1) Р В у'=2рг вокруг оси Ог, являющейся осью параболы, Ось Ог является осью симметрии эллиптического параболоида (1) (опа называется осью параболоида), а плоскости хОг и уОг — плоскостями симметрии (главные плоскости) Начало координат для эллиптического параболоида (1) является точкой пересечения этой поверхности с ее осью и называется вершиной. Плоскость г = Ь пересекает эллиптический параболоид (1) по линии — + — "=2г в ха, у' г = Ь, или — + — = 2й, г = Ь.
(2) Р 9 Если Ь ( О, то первое уравнение не имеет действительных решш!ий, так как р> О, д> 0; это означает, что плоскость г=й прп г! ( 0 не пересекает эллиптический параболоид (1). Если г=О, то х == у = О, т. е плоскость ХОу имеет с эллиптическим параболопдом только одну общую точку — вершину (О, О, 0). Если !г> О, то переписав уравнения (2) в виде ха уа видим, что сечением является эллипс с центром в точке (О, О, й) н н«луосямн а =)х2рй и Ь = ~' ай.
11лоскость хОг пересекает эллиптический параболоид (!) по па(чболе хе=2рг, у=О, Будем счптат!ь что р~д. Если р=д, то эллиптический параболоид (1) — это параболоид вращения, так как получается вра. шепнем параболы $ !33 эллип!ичвский пхулволоид а плоскость уОг — по параболе у' = 2!7г, х = О. 'Таким образом, числа р и и параметры парабол, получаюшнтся в сечении параболоида его плоскостями симметрии !рис.
2071 Рассмотрим сечения эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости хОг, т. е. плоскостями, выражаемыми уравнением Уравнения линии сечения: х! у! — + — = 2г, Р Ч у=7, Рис 207 Рас или хЯ 19 — =2г — —, д' р=7, или 1! ! х' = 2р (г —,— 1! Р = 1. ау1 ' Эти уравнения выражают параболу вершиной 999 Г а а аа «Х КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ось которой Выражается уравнениями Х=О, у=с и одипакого направлена с осью Ог. Параметр параболы тэ -2р(г — — ) равен р, т.
е. параметру главного сечения эллиптического пара. !олопда плоскостью хОг. Аиалогичпая картипа получается и для сечений эллиптического параболоида (!) плоскостями, параллельными плоскости уОг, Таким образом, эллиптический параболоид может быть образоВап параллельным переносом параболы С„, при котором вершина параболы С, перемещается по параболе С,; плоскость параболы С, Перпендикулярна плоскости параболы Сеи а оси этих парабол параллельны и одппаково Направлены (рис. 208).
Эллиптический параболоид (1) является образом параболоида вращения Х'+ )" =-242 при рапномерпом сжатии пространства Х= ~à — х, 1'=.у Е=г — Р к плоскости уОг (коэффициент сжатия у Г Р '1 )Г «) й 134. Гиперболический параболоид Гиперболическим пораболоидом называетсл поверхность, уравнение которой в некоторой спеииально выбранной прямоугольной системе координат имеет вид х' у' — — =2г, где р Р О и ц) О.
(1) Р « Для гиперболического параболоида х' у' — — — =2г Р « плоскости хОг и уОг япляются плоскостями симметрии, а ось Ог — осью симметрии. Ось симметрии гиперболического параболоида называется просто его осью. Точка, В которой ось гиперболического параболоида пересекает эту поверхность, называется в е р ш и и о й. Гиперболический параболоид (1) имеет вершину В начале координат. Плоскости хОг и уОг, яэляющиеся для гиперболического параболоида (1) плоскостями симметрии, называются главными плоскостямп гиперболического параболоида.
Гиперболический параболоид ха уа — — — =. 2г Р « $ !34 гг!Пс!'яо;!и~!вский пхрхволоид в случае р Фд имеет только олпу ось симметрии (ось Ог), если же р = д, то параболоид имеет еще дсе оси симметрии; у=х, г=О и у= — х, г=О. В самом деле, если координаты точки М(х, у, г) удовлетворяют уравнению х! — уэ = 2рг, то этому же уравнению удовлетворяют координаты точки М' (у, х, — г), симметричной с точкой М (х, у, г) относительно прямой у=х, г=О.
Так же доказывается, что прямая у= — х, г=О является осью симметрии. Плоскость хОу пересекает гиперболический параболоид по двум прямым: — — х-=О, г=О, или =+ — =О, г=О, Р Ч "г'я = — —..=О, г=О. Х У Плоскость г=й, параллельная плоскости хОу, пересекает гиперболический параболоид по гиперболе С,: х' у! — — — =-2й, г=й. Р Ч Бели й) О, то эти уравнения можно переписать в виде х' у'- (1 2!!л) ($ 2ЧЬ) это гипербола, расположенная в плоскости г=й с центром в точке (О, О, й), действительная ось которой параллельна осн Ох, а мнимая — параллельна оси Оу. Если й <О, то уравнения линии сечения можно представить в виде ,=1, г=й, ()г — 2дй)! ( 1' — 2рп) это гипербола С„расположенная в плоскости г=й с центром в точке (О, О, й), действительная ось которой параллельна оси Оу, а мнимая — оси Ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
