1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 50
Текст из файла (страница 50)
к д, На комплексной плоскости существуют два линейно пезависпьпех вектора (папример, (1, О) и (О, 1)), но всякие три вектора линейно зависимы. Базисом иа комплексной плоскости называется упорядоченная пара псколлинеарпых векторов е, и е,. Всякий вектор а можно и притом единственным способом разложить по базчсу е„е„т.
е. существует и притом только Одна пара чисел х и д, таких, что а=хе,+уе,. Числа х и у пазыва~отся координатами вектора а в базисе ,~,, еа (то, что выше названо координатами вектора, это его коор;инаты в базисе е, =(1, О) еа=(0, Ц). Декартовой системой координат на комплексной плоскости называется совокупность точки 0 (начало координат) и базиса ем е, Направленный отрезок ОМ, где М вЂ” любая точка комплексной плОскости, а 0 — фиксированная точка (в частности, начало координат), называется радиусом-вектором точки М.
Координаты л. и д радиуса.вектора ОМ точки М в декартовой системе координат (О, е„е,) ОМ=хе,+уе, называются координатами точки М в этой системе (то, что пазвано координатамп точки,— это ее координаты, если за начало Координат принята точка 0(0, 0), а за базис — векторы е, = = (1,0), е,=(0,1)). Если на комплексной плоскости введены две системы координат (О, и„ е,) и (О', е„ е,), то координаты х и д точки М В системе (О, е„ е,) через координаты х' и у' той же точки в системе (О', е„е,) выражаются соотношениями х= амх'+ + а„у' ~ х,, д = а„х' + а„ц' + у„ где х„ у, †координа точки 0' е системе (О, е„е.), а (аао а,т ) и (агп а„) — кооРдинаты векторов е„е, в базисе е„е,.
В самом деле, разложим векторы е, и е, по векторам е, и е,: е, = а„е, + а„е„е, = а„е, + а„е,. (4) Тогда ОМ =00'+О'М=х,е,+у,е, +х'е, + у'е, = х,е, + у,е, + х' (а же, + а„е,) + у' (а,ее, + а„е,) (а„х'+ а„у' + х„) е + (а„х' + а,у'+ у,) е,. о мо кОмплекснАЕ плоскгсть и кОмплекснОе пРОсГРАнство звз С другой стороны, ОМ =хе,+уео. Значит, в силу единственности разложения вектора по базису имеем к=а„х'+а„у'+хо, у а„х'+а„у'+у. (61 Введем на комплексной плоскости систему координат (О, е„ео). Пусть а= (1, т ) — какой-нибудь ненулевой вектор; фиксируем еще точку М,(хо, уо), Пусть ОМ,=г, — ее радиус-вектор. Множество концов М радиусов-векторов ОМ=г, определяемых соотношением г= го+(а, (6) где Г принимает все комплексные значения, называется прямой, лежащей на комплексной плоскости.
Вектор а называется направляющим вектором прямой (6). Координаты х и у точки М прямой (6) через координаты 1, т направляющего вектора а и через координаты х„ у, точки М, выражаются соотношениями "=хо+11 У Уо+т1~ (7) 'это параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки А(х,, у ) и В (к,, у,), можно записать в виде г=г,— г(го — г,), (6) где г,=ОА, г,=ОВ, а г — радиус-вектор ОМ произвольной точки прямой АВ. В параметрической форме к = х + 1 (х, — хо), у = у, +1 (у,— у,). (9) Из уравнений (7) следует, что урааненле прямой, лежащей на комплексной плоскости, можно записать в виде~ ко у Уо (10) или тх — 1У+1у — тх =О, или Ак+Ву+С = О, (1 1) т. е. уравнение любой прямой, лежащей на комплексной плоскости в любой системе координат (е), ем е ),— уравнение первой степени Обратно, пусть на комплексной плоскости введена система координат (О, е,, ео) и задано уравнение первой степени Ах+Ву+С = О.
Зтч г л о во х комплексная плосютсть и комплексное пгостгхнстзо !1усть х„у,— какое-нибудь решение этого уравнения, м е. имеет место следующее числовое равенства Ах, + Вд, +С=О. Уравнение (12) эквивалентно уравнению А(х — х,)+В(у — р,) О, или ! хо р ро — В А (13) Уравнение (13), следов|тельно и эквивалентное ему уравнение (12), является уравнением прямой линни, проходящей через точку (х„д,), направляющий вектор которой а=( — В, А). Теорема. Для того чтобы то~ки А, В и С комплекс ой плоскости лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы АС и СВ были коллинеарны. Локазательство необходимости.
Пусть гочки А, В, С лежат на прямой г=г„+га. Обозначая через г,, г, и г, их радиусы-векторы, будем иметь г,=г,+1,а, г,=г,+1,а, г,=г,+г,а. Отсюда или г,— г„=1(г,— г,), или г1 — — гэ+1(г8 — гэ), т. е. точка А лежит на прямой г = г, + г (г, — г,), проходящси через точки В и С. АС=г,— г,=(Г,— 1,)а, СВ =г,— г, =(1,— 1,) а, значит, векторы АС и СВ коллинеарны. Локазательство достаточности. Пусть векторы АС и СВ коллинеарны.
Если точки В и С совпадают, то существует, очевидно, прямая, на которой лежат точки А, В и С. Если точки В и С различны (но векторы АС и СВ коллииеарны), то существует такое число 1, что АС=1СВ, д ГЗЭ, КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОГТЬ и КОМПЛЕКСГГОЭ ПРОСГРЛНСГЭО ЗЭ5 Если точки А, В, С принадлежат одной прямон, а гочки В и С Различны, то как Указывалось выше, сУществУет такое число ), что АС= АВС. Это число А называется отношением направленного Отрезка АС к направленному отрезку ВС; Л= —. АС вс Если точки А(хд, Уд) и В(х, Уд) Различны, а точка С(х, У) лежит на прямой АВ, не совпадает с точкой В и если АС св го говорят, что точка С делит направленный отрезок АВ в отношении А. Координаты точки С через координаты точек А и В выражаются соотношениями (14) Д,+ХДд !+Х Обратно, каково бы ни было комплексное число ), Ф вЂ” 1, фор- мулами (14) определяются координаты точки, делящей невырож- денный направленный отрезок АВ в отношении ), В частности, (15) координаты середины отрезка с концами А(хм уд) и В(х„у,).
2. Комплексное пространство Комплексным пространством будем называть множество всех упорядоченных троек (х, у, г) комплексных чисел, а лгобуго такую тройку чисел (х, у, г) — точкой комплексного пространства. Числа х, у, г будем называть координатами этой точки. Определение направленного отрезка, вектора, его координат, определение суммы векторов и произведения числа на вектор даются аналогично соответствующим определениям этих понятий для комплексной плоскости. При этом имеют место все соотношения (3), т. е. множество всех векторов комплексного пространства является линейным пространством.
Определение линейной зависимости векторов комплексного пространства такое же, как и для комплексной плоскости (см. также 3 36). Два линейно зависимых вектора называются колли- зеа Г л а а а Х КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСГЬ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО пеарными. Трн линейяо зависпмык вектора комплексного пространства называются компланарпыми. В комплексном пространстве имеются три линейно независимых вектора, например (1, О, О), (О, 1, О), (О, О, ! ), но всякие четыре вектора линейно зависимы. Базисом комплексного пространства называется упорядоченная тройка е,, е,, е, некомпланарных координат.
Всякий вектор а может быть и притом единственным образом разложен по базису е„е„е,: а = хе, + уе, + ге,. (16) Числа х, у, г называются координатами вектора а в базисе е,, е„еэ. Вместо соотношения (16) мы часто будем писать а=(х, у, г). Векторы а=(х„у„г1), Ь=(х„у„г,), заданные относительно базиса е„ е„ е„ линейно зависимы тогда и только тогда, когда ранг матрицы ~х,у,г,) меньше 2.
Три вектора а=(х„у„г„), Ь=(х„у,, г,), с=(хв уг гз) компланарны тогда и только тогда, когда х, у, г, х уа г, хе уг гз (17) Декартовой системой координат в комплексном пространстве называется совокупность точки О и базиса е,, е„е . Направленный отрезок ОМ называется радиусом-вектором точки М комплексного пространства. Координаты ОМ, т. е. числа х, у, г такие, что ОМ = хе, + уе, + ге,, называются коордипатамп точки М в системе (О, е„е,, е,) (таким образом, то, что мы называли координатами точки М в начале этого пункта,— это координаты точки М в системе О (О, О, 0), (1, О, О), (О, 1, О), (О, О, 1)). Если в комплексном пространстве введены две системы координат (О, е,, е„ е,) и (О', е„ е„ е ), то координаты х, у, г точки М в системе (О, е,, е,.
еэ) через координаты х', у', г' О МВ КОМПЛЕКСНЛЯ ПЛОСКОСТЬ Н КОМПлеКСНОе пвоетРанбтво Зот нгй же точки М в системе (О', е,, е, е,) выражаются соотно. щепиямв Х аввх +аввУ +аввг +Хм у аввх, + Сэву + авве + уо (18) а=аввх +авву +авэе +хо* где х„у„е,— координаты точки О' в системе (О, ев, ев, еэ), а ьоэффипиенты а,в яме~от следУющий смыслв Е, =(агн а„, аэв), е, (анп а„, аэв», вв = (авв авэ пвэ) (19) (кооРдинаты вектоРов е,, ео, ев даны в системе О, ев е,, еэ).
Цоказательство такое же, как в случае комплексной плоскости, Прямой комплексного пространства, проходящей через точку М„(хо, у„го) коллипеарно вектору а=(1, и, п),-ь0, называется множество конпов всех радиусов-векторов ОМ, определяемых со- отношением (20) г=го+ га, (22) «=г,+((гв — г,), или в параметрической форме х х, +Г(хв-х,), У=У +((У Ув) (23) г= гв+! (Ео — г,). Теорема п. 1 этого параграфа имеет место и для комплексного пространства и доказывается так же.
Так же, как и на комплексной плоскости, определяется поня. тие отношения, в котором точка б делит направленныйотрезок АВ; имеют место формулы, аналогичные формулам (14) и (15) (добавляется еще по одному соотношению). Пусть а (йы гл„п,) и Ь=((„лв„пэ) — два неколлинеарных вектора, М,(х„уо, го) — произвольная точка комплексного пространства, а ОМ, = го ее радиус-вектор, Плоскостью П. проходя- где ( приннвь:л Все комплексные значения.
В параметрической форме уравнения прямой имеют еид х = хо + В, у = у, + пв(, = = + и(. (21) Уравнение прямой, проходящей через две различные точки А и В, определяемые радиусами-векторами ОА=г и ОВ=е„имеет вид зэи Г в а в в Х КОМПЛЕКСНАЯ ПЛ<>С< ОСТЬ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО щей через точку М, компланарно векторам а и Ь, называется множествоконцовОМ всех радиусов-векторон ОМ=г, определяе. мых соотношением к = к, + па+ ОЬ, (24) где параметры и и и принима<от все комплексные значения. Числа и и о — это координаты вектора М„М, где М вЂ” любая точка плоскости П в базисе а, Ь.
В параметрической <)>орл<е плоскость П определяется уравнениял<и х =х, + г>и+! О, У = Ук+ <П<П+ Л>ТО, г= г,+ л<и+п,ш Отсюда следует, что координаты х, у, г всех точек комплекс- ной плоскости П удовлетворяют уравнению (25) х — х,у — у,г — г, лт> и, =0 е., и, (26) и обратно". если координаты некоторой точки (х, у, г) удовлетво. ря<от этому уравиени>о, то в силу линейной независимости второй и третьей строк Определителя й первая его строка является линейной комбинацией второй и третьей: А(+ В<и+ Сп = 0 (доказательство такое же, как и в й 70).
х — х„= и)> л вг,, У вЂ” У,=игл>+Ол>з, г — г, =ил>+ Оп„ откуда следуют отношения (25), т. е. точка (х, у, г) принадлежит плоскости П. Из уравнения (26) сразу следует, что любая плоскость выра. жается ) равнением первой степени: Ах+ Ву+ Сг+ 0 = О. (27) Обратно, уравнение (27) первой степени всегда можно записать в виде (26) (см. $69); поэтому всякое уравнение первой степени является уравнением плоскости. Отложим вектор а = ((, и, и) от любой точки плоскости. Если его конец при этом также будет лежать на этой плоскости, то будем говорить, что вектор а компланареи плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
