1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Если, наконец, уравнение (3) относительно ! имеет степень й, такую, что 1()о~п, то прямая (2) пересекает поверхность (1) в )г точках (средн которых могут быть и совпадающие). Примеры. !. Прямая г=!. у=!. г=! ие имеет ви одной общей точки с поверхностью второго порядка гг уг 2г О 2. Прямая х=), у=!, г=-О целиком лежит на поверхности к' — уг — 2г = О. ' Для этого достаточно, чащобы равенство (3) выполнялось при л+! различных эначепиях !.
г г сея х комплсксчгчя плоскость и компликсцог. 3. Прямая х=О, н поверхность агпорого порядка х' — уг — 2г=О имеют только одну обгдую точку ГО, О, О). 4. Прямая х=т, у=о, г=! пересекаег поверхность второго порядка хг — у' — зг = 0 в двух точках ()' 2, О, 1) и ( — уг 2, О, )). 3. Првмая х=-г, у=-О, г=О пересекает поверхность хе — уе — 2г=О в одной двойной точке: (О, О, 0) (сравннть с примером 3). Теорема 2. Плоскость или совсем не илгеет с алгебраической поверхностью общих пгочск, или г(сликолг входит в ее состав, или пересекает ее по плоской алгебраической линии, порядок которой не больше порядка данной поверхности Доказательство. Пусть Р(х, у, г)=0 (4) уравнение алгебраической поверхности и-го порядка (Р†цел рациональная функция от х, у, г степени и). рассмотрим произвольную плоскость П, проходящую чсрез точку М,(х„, у„ г,) компланарно двум пеколлинеарным векторам а=(!г, т,, п) и Ь=().„те, ггг).
Параметрические уравнения этой плоскости х=ха+гти+(яо, у=-уе+т,и-';тр, г=г,+п,и+и о, (5) где и и о — координаты точки М этой плоскости в системе коорди- нат с началом в точке М, и базисными векторами и и Ь. Уравне- ние, связывагогцее координаты и, о точки М плоскости П, которая (точка М) лежит и на поверхности (4), имеет вид с(хе+(ги+(го, у,+гп,и+тео, г,+п,и+ар)=0. (6) Если это уравнение относительно и и о це имеет ни одного решения, то поверхность (4) и плоскость (5) не имеют ни одной обшей точки, Если соотношение (6) является тождеством относительно и и о, то все точки плоскости (5) лежат на поверхности (4), иначе плос- кость П входит в состав данной алгебраической поверхности.
зз- 4 140 алгебраические поверхпОстгг Если, наконец, соотношение (6) является уравнением относительно и и а степени 1(й(п, то оно является в указанной выше системе координат (гИо, а, Ь) уравнением алгебраической линии порядка й. Примеры. 1, Пюскость х=и, у=и, г=а не имеет с поверхностью (также плоскость!): к †у+1 нн одной общей тонки. 2. Плоскость к=.и, у=и, г=-о входит в состав поверхности ка — уа =- О, 3. Плоскость х=и, у:и, г==а пересекает поверхность второго порядка хе — у' — 2г=о по прямой (т е, по линии первого порядка).
4. Плоскость х —.— и, у=п, г=-О пересекает поверхность епгорага порядка к'+ ух+ ге =-.1 по линни второго порядка и'+ах=1. 3. Распадение алгебраических поверхностей Если левая часть уравнения г(х, у, г)=О алгебраической поверхности разлагается в произведение двух целых рациональных функций, степень каждой из которых больше нли равна 1 г" (х, у, г) = гр (А, у, г) тр(х, у, г), то говорят, что данная алгебраическая поверхность рпсппдпетсл на алгебраические поверхности, определяемые уравнениями ~р (х, у, г) = 0 и тр (х, у, г) = О, Например, поверхность второго порядка, заданная уравнением х'+ 2ху —, уа — г' = О, 333 слава х, коиплекснхл и косность и комп ~сапное пеостелистзо нли (х+у)е — г'=О, (х+ д+ г) (х + у — г) = О или распадается на две поверхности первого порядка (плоскости), урав- нения которых х+у+г=О, х — , 'у — г=О, Теорема 3.
Если в состав алгебраической поверхности Р(х, у, г) =О являются пелыми рациональными функциямп от у и г степеней соответственно не больше 1, 2, ..., и (а,— число). порядка и > 1 входит плоскость Ах-,'-Ву+Сг -0=0, (8) то целая рациональная функция Р(х, д, г) может быть представлгна в виде Р(х, у, г) =(Ах+ Ву+Сг+0)Р,(х, у, г), где Р,(х, у, г) — целая рациональная функция от х, у, г, степень которой на единицу,поныне степени Р(х, д, г). Эта теорема доказывается так же, как и теорема 2 9 139, только здесь коэффициенты а„а,... п„в выражении Р (х, у, г) = а„х'+ а,х" '+... + а„ Ряб ил х! ДИНИП ВТОРОТО ПОРЯ)1,!!Л, 11Л'!А1!!!ЫР ОВ!ИИй! УРА!! И И И !1кл! й 141.
Теорема о том, что всякое уравнение второй степени с двумя неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые Общее уравнение линии второго порядка будем писать в виде а„х'+ 2а „ху + а„у'+ 2а,х + 2а,у -1- а = О. Все коэффициенты обозначены одной буквой а с индексами, указывающими, какая координата и в какой степени умножается на этот коэффициент (аы — коэффициент при х'=х х и т.
д.). Через а,, а, и аг обозначены соответственно половины коэффициентов при ху, х и у для симметрии последующих формул. Все этн коэффициенты можно предполагать и комплексными„ так же как и значения х и у. Однако мы ограничимся рассмотрением того случая, когда а„, амь а„, а„ а„ а — действительные числа. Комплексные прямые и комнлексйые точки будем вводить лишь в связи с рассмотрением точек пересечения линни второго порядка с прямой н в связи с распадением линии второго порядка на две прямые. Систему координат можно предполагать общей декартовой, однако в 4 14! †!43 предполагаем, что система координат прямоугольная. Теорема 1. Оби!ее уравнение амх'-)- 2а„ху+ а„у'+ 2а,х -!-2а,у+ а =.
О линии второго порядка, заданной относительно прямоугольной системы координат, при помои!и поворота и переноса осей коорди- Эти уравнения будем называть простейшими уравнениями Липни второго порядка. Л о к а з а т е л ь с т в о. >(окажем сначала, что можно повернуть оси хОу на такой угол а, что в преобразованном уравнении коэф. фипиент при произведении х'у' новых координат обратится в нуль *", Итак, предполагая, что атзчь О, повернем оси хОу пока на произвольный угол а.
Тогда координаты х и у точки М в системе хОу через координаты х' и у' той же точки М в системе х'Оу' будут выражаться соотношениями х=х'сози — у'япа, у=х'я!псе+у'сова, а уравнение (1) примет вид а„(х' соя а — у' з)па)'+2а (х' соя а — у' в!п а) (х' з(па-1-у' сова)+ + а.„(х' з!и а+ у' соя а)з —,'-2а, (х'соз а — у' з1п а)+ +2а,(х' з!па+у'сова)+а=О, или где а', = а, соз и+ а, з!п а, а', = — а, я!п а+ а, соз и. Условие а' =О 11 * Здесь по с>ществу речь идет о том, и зто будет доказано, что при по- моши ортогонального преобразования целую рациональную функцию (а не Уравпеииеб пмх ! 2а„хУ+амрз+2п,к-1-2п у-1-и можно преобразовать к одному из следующих простейших видов: о„Хз+п, у'+ Р, п„Х +2п у, и хХ +Р, где пш зе О, и зюо, и аео, "' Если в данном уравнении !1) па=о, то зту часть рассуждений, относящихся к доказательству теоремы, сяедует опустить.
340 Раааа Х! ЛИНИИ ЗАДАН!!ЫЕ ОБШИМ УРАВНЕНИЕМ на г,кожно привести к одному из следующих аидова а„'Х'+ а„',)'а+О = О, где а'„+ О, а,а + О, а'„Х'+ 2а',1' = О, где а' ~ О, а', ~ьО, а' Ха+ 0 =О, где а'„~ О. а'„х" + 2а'„х'у' + а'„уха+ 2а,'х'+ 2а',у'+ а = О, а'„= а„соз' а+ 2а„соя а я)п а+ а„я1п'а, а'„=а„(соя'и — я)п'а)+(а„— а„) в)п асоза, а,', = а„я)п' а — 2о„соз а з)п а+ а„соз' а, (2) (3) (4) (5) (6) г !21. Овп!Ве уРяянет1ие ВТОРОЙ степени 341 принимает вид а„(соз'а — з!и' а)+ (а„— а„) з!и а соз 22 О, откуда С(а 222 — ' '22 2а12 (71 Х =х'+ —.', 11 у+ 22 так что уравнение (8) примет вид а'„Х'+ а'„)22+ О = О, где а1 а2 О=п — —,— —.
а а11 П случай: или а'„=О, а',—,60, или а„=О, а', +О. Предположим, что а'„=О, а',-60. Тогда уравнение (8) имеет вид а'„х' +2а',х'+2а',у'+а=О, (!") или (г 2 а, 1 а, а'„~ х + —,~ -(-2а',у'+а — —,' =О, а„,l а11 Прп повороте па угол 22, определяемый этим соотношением, в преобразованном уравнении коэффипиент о', обратится в нуль и опо примет вид а'„х22+ а'„у" + 2а'1х'+ 2а',у' ~-а =*О.
(8) ! случай! а'„~0, а' -йО. Преобразуем уравнение (8) к виду 1 а,2 а„а„ Производя перенос осей х'Оу' так, чтобы новым началом координат стала точка О' (координаты этой точки даны относительно системы х'Оу') и обозначая новую систему координат через ХО')2, будем иметь 342 Г а а и а Х1 ЛИ111И1, ЗЛДЛ11ПЫЕ ОЕ1ПИМ 1 РАВНЕНИЕМ пли / а а — —. з Производя перенос осей х'Ор' так, чтобы новым началом координат стала точка О'1 — —.', —, " / (координаты атой точки а!! ' 2а2 даны относительно системы х'Оу'), и обозначая новую систему через ХО'У, будем иметь Л а — —, Х=х'+ —,', У =р'+ а„2а, так что уравнение (1") примет вид а' Х'+2а'У=О 11 ' 1 (зто уравнение параболы), 111 случай; или а'„=а',=О, или а'„=а',=-О.
Предположим, что а,', =а', =.О. Тогда уравнение (8) имеет вид а'„х' +2а',х'-,'-а=О, или а Ла .1 а, а, (1 "') О' — —,', О и обозначая новую систему координат через ХО'У, будем иметь у а1 Х=х + —,, У=у', а1Н так что уравнение (1"') примет вид а,',Ха+0=0, где а В=а — —, ал1 Перенося оси х'Оу' так, чтобы новым началом координат стала точка ч !4!. ОБ!Ник ураВнения Втопо!! !.т!.пени Я43 Теорема 2. Общее уравнение линии второго порядка а„х'+ 2а,зхУ-,'- аз!Уз -1- 2а х -,'- 2а, У -'; а =-.
О. (9) заданное относительно сби(ей декартовой сиспзезвя координат„опрей)ваяет одну из следующих девяти изний (см. таблицу). Табл,!па 11азиание линни зла Урааиенне линни Группа хз у' аз ' Ьз хз, уз аз Ьз х и а' ' Ьз хе уз из Ь! эллипс чин'зый эллипс две чню!ые пересекаю пиеса пркчыс гипербола хз уз аз Ьз две нересекаюигиесв прямые хз — 2ру хз = аз (и и О) х'= — аз(а и О) две параллельные правые две мнимые параллелы!ые зримые две Совпада!ощпе прями а'„х'л-а,',У -';Р=-О, а'„чьО, а'„~О, (1) а,',х' -.'..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
