Главная » Просмотр файлов » 1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04

1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 52

Файл №824985 1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu) 52 страница1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985) страница 522021-01-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

Если, наконец, уравнение (3) относительно ! имеет степень й, такую, что 1()о~п, то прямая (2) пересекает поверхность (1) в )г точках (средн которых могут быть и совпадающие). Примеры. !. Прямая г=!. у=!. г=! ие имеет ви одной общей точки с поверхностью второго порядка гг уг 2г О 2. Прямая х=), у=!, г=-О целиком лежит на поверхности к' — уг — 2г = О. ' Для этого достаточно, чащобы равенство (3) выполнялось при л+! различных эначепиях !.

г г сея х комплсксчгчя плоскость и компликсцог. 3. Прямая х=О, н поверхность агпорого порядка х' — уг — 2г=О имеют только одну обгдую точку ГО, О, О). 4. Прямая х=т, у=о, г=! пересекаег поверхность второго порядка хг — у' — зг = 0 в двух точках ()' 2, О, 1) и ( — уг 2, О, )). 3. Првмая х=-г, у=-О, г=О пересекает поверхность хе — уе — 2г=О в одной двойной точке: (О, О, 0) (сравннть с примером 3). Теорема 2. Плоскость или совсем не илгеет с алгебраической поверхностью общих пгочск, или г(сликолг входит в ее состав, или пересекает ее по плоской алгебраической линии, порядок которой не больше порядка данной поверхности Доказательство. Пусть Р(х, у, г)=0 (4) уравнение алгебраической поверхности и-го порядка (Р†цел рациональная функция от х, у, г степени и). рассмотрим произвольную плоскость П, проходящую чсрез точку М,(х„, у„ г,) компланарно двум пеколлинеарным векторам а=(!г, т,, п) и Ь=().„те, ггг).

Параметрические уравнения этой плоскости х=ха+гти+(яо, у=-уе+т,и-';тр, г=г,+п,и+и о, (5) где и и о — координаты точки М этой плоскости в системе коорди- нат с началом в точке М, и базисными векторами и и Ь. Уравне- ние, связывагогцее координаты и, о точки М плоскости П, которая (точка М) лежит и на поверхности (4), имеет вид с(хе+(ги+(го, у,+гп,и+тео, г,+п,и+ар)=0. (6) Если это уравнение относительно и и о це имеет ни одного решения, то поверхность (4) и плоскость (5) не имеют ни одной обшей точки, Если соотношение (6) является тождеством относительно и и о, то все точки плоскости (5) лежат на поверхности (4), иначе плос- кость П входит в состав данной алгебраической поверхности.

зз- 4 140 алгебраические поверхпОстгг Если, наконец, соотношение (6) является уравнением относительно и и а степени 1(й(п, то оно является в указанной выше системе координат (гИо, а, Ь) уравнением алгебраической линии порядка й. Примеры. 1, Пюскость х=и, у=и, г=а не имеет с поверхностью (также плоскость!): к †у+1 нн одной общей тонки. 2. Плоскость к=.и, у=и, г=-о входит в состав поверхности ка — уа =- О, 3. Плоскость х=и, у:и, г==а пересекает поверхность второго порядка хе — у' — 2г=о по прямой (т е, по линии первого порядка).

4. Плоскость х —.— и, у=п, г=-О пересекает поверхность епгорага порядка к'+ ух+ ге =-.1 по линни второго порядка и'+ах=1. 3. Распадение алгебраических поверхностей Если левая часть уравнения г(х, у, г)=О алгебраической поверхности разлагается в произведение двух целых рациональных функций, степень каждой из которых больше нли равна 1 г" (х, у, г) = гр (А, у, г) тр(х, у, г), то говорят, что данная алгебраическая поверхность рпсппдпетсл на алгебраические поверхности, определяемые уравнениями ~р (х, у, г) = 0 и тр (х, у, г) = О, Например, поверхность второго порядка, заданная уравнением х'+ 2ху —, уа — г' = О, 333 слава х, коиплекснхл и косность и комп ~сапное пеостелистзо нли (х+у)е — г'=О, (х+ д+ г) (х + у — г) = О или распадается на две поверхности первого порядка (плоскости), урав- нения которых х+у+г=О, х — , 'у — г=О, Теорема 3.

Если в состав алгебраической поверхности Р(х, у, г) =О являются пелыми рациональными функциямп от у и г степеней соответственно не больше 1, 2, ..., и (а,— число). порядка и > 1 входит плоскость Ах-,'-Ву+Сг -0=0, (8) то целая рациональная функция Р(х, д, г) может быть представлгна в виде Р(х, у, г) =(Ах+ Ву+Сг+0)Р,(х, у, г), где Р,(х, у, г) — целая рациональная функция от х, у, г, степень которой на единицу,поныне степени Р(х, д, г). Эта теорема доказывается так же, как и теорема 2 9 139, только здесь коэффициенты а„а,... п„в выражении Р (х, у, г) = а„х'+ а,х" '+... + а„ Ряб ил х! ДИНИП ВТОРОТО ПОРЯ)1,!!Л, 11Л'!А1!!!ЫР ОВ!ИИй! УРА!! И И И !1кл! й 141.

Теорема о том, что всякое уравнение второй степени с двумя неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые Общее уравнение линии второго порядка будем писать в виде а„х'+ 2а „ху + а„у'+ 2а,х + 2а,у -1- а = О. Все коэффициенты обозначены одной буквой а с индексами, указывающими, какая координата и в какой степени умножается на этот коэффициент (аы — коэффициент при х'=х х и т.

д.). Через а,, а, и аг обозначены соответственно половины коэффициентов при ху, х и у для симметрии последующих формул. Все этн коэффициенты можно предполагать и комплексными„ так же как и значения х и у. Однако мы ограничимся рассмотрением того случая, когда а„, амь а„, а„ а„ а — действительные числа. Комплексные прямые и комнлексйые точки будем вводить лишь в связи с рассмотрением точек пересечения линни второго порядка с прямой н в связи с распадением линии второго порядка на две прямые. Систему координат можно предполагать общей декартовой, однако в 4 14! †!43 предполагаем, что система координат прямоугольная. Теорема 1. Оби!ее уравнение амх'-)- 2а„ху+ а„у'+ 2а,х -!-2а,у+ а =.

О линии второго порядка, заданной относительно прямоугольной системы координат, при помои!и поворота и переноса осей коорди- Эти уравнения будем называть простейшими уравнениями Липни второго порядка. Л о к а з а т е л ь с т в о. >(окажем сначала, что можно повернуть оси хОу на такой угол а, что в преобразованном уравнении коэф. фипиент при произведении х'у' новых координат обратится в нуль *", Итак, предполагая, что атзчь О, повернем оси хОу пока на произвольный угол а.

Тогда координаты х и у точки М в системе хОу через координаты х' и у' той же точки М в системе х'Оу' будут выражаться соотношениями х=х'сози — у'япа, у=х'я!псе+у'сова, а уравнение (1) примет вид а„(х' соя а — у' з)па)'+2а (х' соя а — у' в!п а) (х' з(па-1-у' сова)+ + а.„(х' з!и а+ у' соя а)з —,'-2а, (х'соз а — у' з1п а)+ +2а,(х' з!па+у'сова)+а=О, или где а', = а, соз и+ а, з!п а, а', = — а, я!п а+ а, соз и. Условие а' =О 11 * Здесь по с>ществу речь идет о том, и зто будет доказано, что при по- моши ортогонального преобразования целую рациональную функцию (а не Уравпеииеб пмх ! 2а„хУ+амрз+2п,к-1-2п у-1-и можно преобразовать к одному из следующих простейших видов: о„Хз+п, у'+ Р, п„Х +2п у, и хХ +Р, где пш зе О, и зюо, и аео, "' Если в данном уравнении !1) па=о, то зту часть рассуждений, относящихся к доказательству теоремы, сяедует опустить.

340 Раааа Х! ЛИНИИ ЗАДАН!!ЫЕ ОБШИМ УРАВНЕНИЕМ на г,кожно привести к одному из следующих аидова а„'Х'+ а„',)'а+О = О, где а'„+ О, а,а + О, а'„Х'+ 2а',1' = О, где а' ~ О, а', ~ьО, а' Ха+ 0 =О, где а'„~ О. а'„х" + 2а'„х'у' + а'„уха+ 2а,'х'+ 2а',у'+ а = О, а'„= а„соз' а+ 2а„соя а я)п а+ а„я1п'а, а'„=а„(соя'и — я)п'а)+(а„— а„) в)п асоза, а,', = а„я)п' а — 2о„соз а з)п а+ а„соз' а, (2) (3) (4) (5) (6) г !21. Овп!Ве уРяянет1ие ВТОРОЙ степени 341 принимает вид а„(соз'а — з!и' а)+ (а„— а„) з!и а соз 22 О, откуда С(а 222 — ' '22 2а12 (71 Х =х'+ —.', 11 у+ 22 так что уравнение (8) примет вид а'„Х'+ а'„)22+ О = О, где а1 а2 О=п — —,— —.

а а11 П случай: или а'„=О, а',—,60, или а„=О, а', +О. Предположим, что а'„=О, а',-60. Тогда уравнение (8) имеет вид а'„х' +2а',х'+2а',у'+а=О, (!") или (г 2 а, 1 а, а'„~ х + —,~ -(-2а',у'+а — —,' =О, а„,l а11 Прп повороте па угол 22, определяемый этим соотношением, в преобразованном уравнении коэффипиент о', обратится в нуль и опо примет вид а'„х22+ а'„у" + 2а'1х'+ 2а',у' ~-а =*О.

(8) ! случай! а'„~0, а' -йО. Преобразуем уравнение (8) к виду 1 а,2 а„а„ Производя перенос осей х'Оу' так, чтобы новым началом координат стала точка О' (координаты этой точки даны относительно системы х'Оу') и обозначая новую систему координат через ХО')2, будем иметь 342 Г а а и а Х1 ЛИ111И1, ЗЛДЛ11ПЫЕ ОЕ1ПИМ 1 РАВНЕНИЕМ пли / а а — —. з Производя перенос осей х'Ор' так, чтобы новым началом координат стала точка О'1 — —.', —, " / (координаты атой точки а!! ' 2а2 даны относительно системы х'Оу'), и обозначая новую систему через ХО'У, будем иметь Л а — —, Х=х'+ —,', У =р'+ а„2а, так что уравнение (1") примет вид а' Х'+2а'У=О 11 ' 1 (зто уравнение параболы), 111 случай; или а'„=а',=О, или а'„=а',=-О.

Предположим, что а,', =а', =.О. Тогда уравнение (8) имеет вид а'„х' +2а',х'-,'-а=О, или а Ла .1 а, а, (1 "') О' — —,', О и обозначая новую систему координат через ХО'У, будем иметь у а1 Х=х + —,, У=у', а1Н так что уравнение (1"') примет вид а,',Ха+0=0, где а В=а — —, ал1 Перенося оси х'Оу' так, чтобы новым началом координат стала точка ч !4!. ОБ!Ник ураВнения Втопо!! !.т!.пени Я43 Теорема 2. Общее уравнение линии второго порядка а„х'+ 2а,зхУ-,'- аз!Уз -1- 2а х -,'- 2а, У -'; а =-.

О. (9) заданное относительно сби(ей декартовой сиспзезвя координат„опрей)ваяет одну из следующих девяти изний (см. таблицу). Табл,!па 11азиание линни зла Урааиенне линни Группа хз у' аз ' Ьз хз, уз аз Ьз х и а' ' Ьз хе уз из Ь! эллипс чин'зый эллипс две чню!ые пересекаю пиеса пркчыс гипербола хз уз аз Ьз две нересекаюигиесв прямые хз — 2ру хз = аз (и и О) х'= — аз(а и О) две параллельные правые две мнимые параллелы!ые зримые две Совпада!ощпе прями а'„х'л-а,',У -';Р=-О, а'„чьО, а'„~О, (1) а,',х' -.'..

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
10,26 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6458
Авторов
на СтудИзбе
304
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее