1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Асимптоты всех пгпербол, получающихся при пересечении гиперболического параболоида (1) плоскостями г=й, 300 гас еа гж клноннчвскиг авхвняния поввякностви Ь -О, Ф О, параллельны прямым, по которым этот парабопоид пересекается с плоскостью г = О. Плоскость хОг пересекает гиперболический параболоид (!) по параболе С,: х'= 2рг, у=О, а плсскость уОг — по параболе С: 4' ус = — 2дг, х = О. Мы видим, что числа р и д являются параметрами парабол, полу.а.ошнкся в сечении гипероолического параболоида (1) его ~лавными плоскостями.
Рассмотрим сечения гиперболического параболоида (1) плоскостями, параллельными плоскости хОг, т. е. плоскосд тами, выражаемыми уравнением у=С Уравнения линии сечения имеют вид Рсс 200 х~ ус — — — =2г, у=г, или 7 7 хг = 2р (г+ й — ), у = У. Эти уравнения выражают параболу С, с вершиной в точке ось которой выражается урав= пениями Ряс Я!О х=О, у=1, а направление оси совпадает с положительным направлением оси Ог.
Параметр параболы !2 ~ х'= 2р ( г+ — ), у =Г равен р, т. е. параметру главного сечения гиперболического параболонда плоскостью хОг. Аналопгчная картина получается и для сечений гиперболи- 'еского параболонда плоскостями, параллельными плоскости уОг Э 535 5ХИЛИ55ДИЬ! и 5ОИО! О ПОИ!!Д5КЛ ЗО1 й 13О. Цнлнндры второго порядка Существует тг:! тяпа ш5лнпдров второго порядка: э л л н и т ичес к н й (р! с. 2111 Е хс 152 с! + Эс (11 г н и е р б о л и ч с с к н й (рно.
212) !с Эс Ьи (2) Рис. 212 Рис. 211 па р а боля чески й (рнс. 213) ус= 2рх. (3) Эллиптический, гиперболический н параболнческпй цилиндры суть поверхности, образованные прямымн лнннямн, проходящими через точки эллипса, гнперболы н параболы перпендикулярно плоскости каждой нз этнх линий. Этн линии †элли, гипербола, парабола— называютоя направляющими, а прямые, лежащие на поверхности цилиндра,— его образующими. Для цилиндров, заданных уравпеннямп (1), (2) н (3), направляю5цнмн лнпиямн 5!ВЛ5потся соотв«тственно эл" липс Хс Уа — + — =! а=0 ии дз э Рис. 213 Таким образом, гнперболпческнй параболонд может быть обри зоиап параллельным переносом параболы С„прн котором вершина параболы С, перемспгается по параболе С.„; 5!лос5сость параболы Си.
перпенднкулярна плоскости параболы С„а осн этих парабол параллельны н противоположно направлены (рнс. 210). З02 Г о (о (Х, КЛ(ИГПИЧГСКПН Ю КВПГПИя ((ОВЫ ',ПОГтГИ гипербола —,— ф=..= 1, г= — О, парабола у'=2рх, г=О, а образующие параллельны оси Ог. й 136.
Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида 1. П р я моли пейн ы е о бр аз у ю щ не одно полостного гипсрболоида Определение. Прямая, все точки которой лежат на поверхности второго порядка, называется прямолинейной образуюи(ей этой поверхности. Мы знаем, что коннчсскпе и цилиндрические поверхности в(орого порядка нме(от прямолинейные образующие, причем каждая из этих поверхностей может быть образована движением прямой а пространстве. Оказывается, что среди всех поверхностей второго порядка, кроме цилиндра, конуса и пар плоскостей, прямолинсйиыми образующими обладают еще одпополостпый гиперболоид и гиперболический параболоид, причем, так жс как в случае цилиндра и конуса, обе этн поверхности могут быть образованы движением прямой в пространстве. В этом пункте мы рассмотрим прямолинейные образующие одпополостного гиперболоида. Теорема 1.
Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две и только две его прямолинейные образуюи(ие. Д о к а з а т с л ь с т в о. Пусть (х„у„г,) — произвольная точка однополостпого гиперболоида ля у( 2( — + —. — — = 1 (1) и х=-хо+О у=ус+ т( г=.го+а( (2) параметрические уравнения проходящей через нее прямой.
Чтобы найти точки, общие поверхности (1) н прямой (2), подставим в уравнение (1) вместо х, у, г их выражения из формул ('). (х, + и)о (у — ' пи)о (го -(- пс)( + ',. илп ( ао Ь( со,) + (, с' Ьо с' ! о( 0' с' З азе. а!Рва!О,цацпгамыв ОЬРАЗУЮЩИЬ Так как точка (хч, уч* ее) лежит на поверхности (1), то зоз а а а О ч О а' с ах Ь' с' и последнее уравнение принимает внд (3) Дчя того цтобы прямая (2) целиком лежала на поверхности ()Л необходимо и достаточно, чтобы все ее точки лежали иа этой поверхности, т. е, !тобы уравнение (3) удовлетворялось прп всех значениях а, а это возможно тогда и только тогда, когда оба коэффициента при аз и а' равны нулю: Н лаа ла ах+ Ьа са = — + — — —.=О.
хч! У ап хе!а а' Ь' с' (5) (4) Мы получили два уравнения относительно координат 1, т, и направляющего вектора прямой (2). Из уравнения (4) следует, что и Ф О, так как в противном случае (и= — О) мы имели бы 1=их=О. Так как для определения направления прямой (2) играют роль лищь отношения (:я;и и по доказанному и — -О, то можно положить аа=-с, Тогда система уравнений (4) и (5) примет вид Н ааз а + а' Ь' хоа уолл хо — + — =— (5 ) (4') Эта система имеет два действительных и пазличпых решения. В самом деле, присоединяя к системе (4'), (5 ) тождество* в силу уравнений (4'), (5') и (1') находим ( Уч! хчт аа а 1 акч! хааа .— — — ~ = 1, нлн — — — = ~ 1.
аь аь х' ' аь аЬ * Тождество (а,'+а') ( Ь',+Ь,') — (а,Ь,-;'а,Ь,)'=(а,Ь,— ачьа!з иззывзетсв тождеством Лвгрвпжв и проверяется раскрытием скобок в левов части. Товсдество (б) получзется из тождества Лвгрзижз, если полоакить хо Уч а,— —, и,= —,", ь,= —, ь,= —. а' а ' а' Ь ЗО4 ! «и о ОЛ КАНОНИЧЬЬЮЫ УРЛВНЬНИЯ НОВВРХНОстен «о«о Уо — +'- ас Ь ( =а «' уо о о — +— ао Ьо Чосо «о Ьс а т =Ь, —,и =с.
о о о «,', Уо — '+— а' Ьо (9,) Если же в правой части уравнения (8) взять — 1, то получим "ооо Уо ас Ь (о=а... по«=Ь «о Уо — +— а' Ьо Уо«о «о — +— Ьс а , п,=с. «о Уо —. +— ао Ьо (9о) Таким образом, найдены направляющие векторы !!ы гпы пД и ((о, сп„по) прямолинейных образующих однополостпого гиперболоида (!), проходящие через его точку (х,, У„г,). Теорема доказана. Каждая из образующих пересекает плоскость «Оу в точке, лежащей на горловом эллипсе «' уо —, + — '., =1, 2=0.
а' Ьо ПоэтомУ за точкУ (хо, У, 2о) обРазУющей всегДа можно взЯть точку (хо, У„О), Лля такой точки «' У„' — + —.=1, 2 =О ао Ьо и формулы (92) и (9,) принимают вид — т,= — —, п,=с; а ус Ь«о (101) «=Ь о а ауо Ь" о ь ' и с' Разобьем множество образующих на два семейства! к первому семейству отнесем образующие «о У Уо (1) ауо Ь«„а ' Ь а 2) Итак, для определения координат ( и сп направляющего вектора (1, т, с) прямолинейных образующих одпополостпого гиперболоида (1), проходящих через точку (х„у„2,), мы имеем систему — + — ' «ос Уоса «о (7) Уо~ «о"' — — — = н- 1, (8) аЬ аЬ эквивалентную системс (ч'), (5'). беря в правой части уравнения (8)+1, получим 3 13ь 1и'ямоли! яииые ОГРАзующив зпа ко второму х — хх у — уд х аух Ьхь с Ь а гдс х„у„Π— координаты точки горлового эллипса.
Теорема 2. Две прямолинейнгяе образующие однополостного гиперболоида, принадлежащие к разнгям семействам, всегда лежат в одной плоскости и параллельны в том и только в том случае, когда они проходят через диаметрально противоположные точки горлового эллипса, Доказательство, Пусть (х„у„О) и (х, у, О) — произвольные точки горлового эллипса, а х — х, у-у, х ау, Ьх, с ' ь х — х, у — у, х ау, Ьхх с ь а Хе — Х1 ау1 Ь Уь У1 Ьх, а Ьх, а ау2 Ь Ьхг а (ха хг) ауг Ь ! (Уя У~) — — 1 ауе Ь = с ~ — (х', — х,') + — ' ( у~ — у,')1 = обе ( — ', + —,' — — ', — — ') =або(1 — 1) =!) Образующие параллельны в том и только в том случае, если ау, — Ьх1 ау, Ьхх откуда х = — х, у = — им Георема 3.
х7ве прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, принадлежаи(ие одному семейству, скрещиваются. проходящие через них образующие разных семейств. Применяя необходимое и достаточное условие компланарности двух прямых, будем иметь Доказательство. Пусть х — лг у — у, к — — и ау, Ьх, с а к — хк у — у, к ау, Ьк, с Ь а две различные образующие одного семейства. Имеем ха — х, ау, Ь а ух Ь Точно так же убедимся в том, что скрещиваются две любые образующие другого семейства. Из теорем 1 и 3 следует, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две образующие, принадлежащие разным семействам.
Рпс. 2!4 Отсюда следует, что однополостпый гигерболоид есть геометрическое место точек, принадлежащих всем прямолинейным образу1ощпм одного семейства (рис. 214). Одиополостный гиперболоид вращения можно получить вращением одной пз его пряуюлипсйиых образующих вокруг оси вращения. Теорема 4. Никакие три прямолинейные образуюцие однополостного гиперболоида, принадлеакацие одному семейству, не па. раллельны одной плоскости, у,— у, О Ьхк — — с а Ьхк с а =-с ~ — а (х,— х,)'+ — (уе — у,) 1-вО. за Го оса 1Х КАНОННо1ЕСКНЬ УРХВНГНИН НОВГРХ!ЮСТ1:П и другое, заданное уравнениями х 7 — + — =о (! а с г 1 у — — = — (! а с О ( (11') дополненное двумя прямыми —;+ — ',=0 ~ ! — =0 ~ у ь —.* —,'-о, ~ !+У вЂ” 0 ь- Из уравнений (1') и (11') следует, что х' , уг г' а' ' Ьо с т.
е, все эти прямые лежат на поверхности заданного однополостного гиперболоида. Лля нахождения уравнений образующих, проходящих через данную точку (хо уо ао) следует в уравнения (Г) и (1Г) подставить х„Уоо ао вместо х, У и а. Тогла бУДУт найДены и и о. Таким образом могут быть получены, например, уравнения (1о) (11о) х' уг — + —,=1, а=О ао Ьо однополостного гиперболоида х' у' г' — + — — — =1, а' Ьо с' Из уравнений (1") и (11") находим направляющие гекторы соот.
ветственно прямых (1") и (11"): 1аво Ьхо а образующих, проходящих через любую точку (хо, др, 0) горло- вого эллипса а !Зб. пРямолпп!'нные ОГРлз! ю!кис Таким образом, семейстго прямолинейных образующих ([') совпадает с тем семейством, которое выше было псзвапо селоейством (1), а семейство образующих (!!') совпадает с семейством (11). 2, Г1 ря мол и ней ные образующие гиперболического параболоида Теорема 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
