1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 49
Текст из файла (страница 49)
перболоида хг у' г' — + — — — =-1, 16 9 4 проходящих через его точку (4, 3, 2) х г у х г у Осла. — + — =1+ —,, — — — — — 1 — — и 4'23'423 х г у — — — — О, ! — — — О 4 2 ' 3 3 Определить впд и расположение поверхности Зхз-) 4уг — 12х+г=о Огла Эллиптический параболоид, вершина (2, О, 12); ось параболоида имеет отрицательное направление осн Ог; каноническое уравнение .Хг у" — + — =-22 ! ' 1 6 3 4.
Сосгавнть уравнение зллипсопда, оси которого совпадают с осями координат, если известно, что ои проходит !срез окружность ха+уз+га=9, г=-х, и через точку (3,1,1). лг уг, г' Оша 12' 9 7,2 6 Локазать, что сумма чисел, обратных квадратам длин трех любых попарно перпендикулярных радиусов зллипсонда, постоянна. 6. Локазать, что плоскости, проходящие через концы трех попарно пери ндикулярных радиусов эллипсопда, касаются шара, вписанного в куб, который (куб) вписан в эллипсоид. 1 !37 ппимнгы !! злдл'!и К ГлАВк !х 7, Определить угол э!ежду прямо!ивонны;!и образуюпснми однополостио:о гиперболоида х'+У' — г'=1, проходящими !срез произвольную ега точку.
О!ла. Если х — г=-и(! — У), и(х+г)=!+у н х — г=о(1+у), о(г+г) = ' — 1 у — две образующие, то 8. Доказать, что проекции прямолинейных образующих поверхности хз ут — — — = 2г (р ) О, д > 0) Р Ч на плоскость хОг касаются параболы гз=2рг, У=О. й. На гипср(олическом пзрабалопде к' — у'=2г найтв геометричес!,ое место то !ек пересечения двух взаимно перпендикулярных образующих. Ота. Две прямые (образующие): 1) х — У=О, г=О в 2) х-(-У=-О, г=О. 1О. Доказать, что проекции на плоскость горлового эллипса линий, по ко!орым поверхность однополостного гиперболоида рассекается касательпыс!и плоскостями к его асимптатическому конусу, касаются этого эллипса. 11.
Доказать, !то проекция примани!!ейной образующей однополостного юшерболоида на плоскость горлового эллипса касается посл.диего. 12. Пусть С вЂ” сечение парабалонда вращения некоторой плоскостью. Доказать, по проекция С на плоскость, перпендикулярную оси параболоида, есть окрущпость. 13. Доказать, что если р' и д' — параметры парабол, получаемых в се шинн эллиптического параболонда хз уз — + — =2г (р ) О, д > 0) Р 9 двумя его взаимно перпендикулярными плоскостями, проходящими через ось Ог, то ! ! 1 ! + + Р Ч Р Ч 14.
Найти геометрическое место точек, равпоудаленных от двух данных скрещивающихся прямых в пространстве. Оп!в Гиперболический параболоид, 15. Доказать, !то любая плоскость, нроходящая через пряыолинейн)ю образую!цу!о одной из серии однополастного гиперболоида, проходит через прямолинейную образующу!о другой серии. 16. Доказать, что любви плоскость, проходящая через прямолинейную образуюш)ю гиперболи !ескага параболонда в слу !ае, если опа не параллельна осн этой поверхности, проходит еще через одну пряьюлинейную образующую этого гиперболического параболонда другой серна.
17. Прямая х= !+2(, у= — 8+81, вращается вокруг осн Ог. Составить уравнение поверхности вращения. Ожв. хе+уз=- !Згг — !4г+ !Π— одпополостный гиперболоид. 18. 1!айти гсометрнческос место центров сфер, касающихся плоскости хОУ и сферы хе+уз+ге=.аз.
Ощв. ха+ у'=а' ~ 2аг — дпа параболовда вращения. 313 . Г з а в а /Х. КЛИО!!ИЧГСКНЕ МРХВ~!ПНИЯ ИОВПРХНОСТСН 19. Найти позеры, ость, образованную прямои, козорая пересекает па Га толы уа=2х, г=О и гз= — 2х, у=0, оставаясь параллельной плоскости у — г=О. Оглв. уг — гз=2х — гиперболический параболоид. 20. Составить уравнение геометрического «саста прямых, касающихся с)сры х'+уз-!.г'=! и пересекающих две прямые х=!, у=О п х= — 1, г=О Оша.
х' р 2уг=) — однополостные гиперболоиды. 21. Найти прямолинейные образующие одпополостпого гиперболоида хг+ уз= 2 (гам-1) проходящие через точку (1, 1, 0). Отв, х — 1 у — 1 х — 1 у — 1 г 1 — 1 — 1 1 — 1 Т 22, Определить угол прямолинейной образующей одиополостного гиперболоида х'+ у' †г 1 с касательной к окружносги горлового сечения в той то~не, и которой ата окружность пересекается с рассматриваемой обрааующей. Отв. 43'.
23. Найти проекции прямолинейных образующих гиперболич««кого парзболоида ха уз — — — =2г (Р > О, д > 0) Р Ч в плоскость хОу. Отв. Два семейства параллельных прямых х Р о х у = — +==С, =О хз у' , г' — + + — =!. аа Ьа са Оглв. х у г о о о — + — + — <!.
аз Ьз сз 23. Найти геометрическое место точек, для каждой из которых отношение расстояний до двух скрещивающихся прямых пространства Равно данному числу й. Отв. Однополостиый гиперболоид, если й Ю 1; гиперболический нараболоид, если й !. где Ст и Сз принимвют все действительные значении, 24.
Прн каком необходимом и достаточном условии точка (ха, у„гз) лежит внутри зллипсоида 4 1зт. пщ!мпгы и злу(д'~и к главк |к Э!9 2б, Составить параыетрнческис !равнения 1' эллнпсоида, 2' одаополостного гиперболоида я' ли!полостного гиперболоида, 4' гиперболического параболоида. Отв 1' х=асозисозо, у=-Ьсозияпо, г=сз(пи, ив+1 о — и ио — 1 2' х= а —, р=Ь вЂ”,, г=с —, и+о' ' и+о' и ро (коордянатпые линии — прямолиаейные образующие). с 3' х=-асов и1яо, р=Ьз|пи!йо, г=— соз о 4' х= р р (и+о), д= 'г' 7(и — о), г=-2ио (координатные линни — пряиолинейные образующие). 27, Доказать, что проекции иряыолннейныя образующих однополостного гиперболоида хз рз —.+ —,, — — =1 ая Ьу сз па плоскость хОг касаются гиперболы хз г' — — — =1, 2=9, аз с' являющейся сечевиеи данного одиополостпого гиперболоида плоскостью хОг.
ГЛАВА Х КО)П(ЛЕНСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НО31ПЛЕКСПОЕ ПРОСТРАНСТВО. АЛГЕЬРАИЧЕСНИЕ ЛЯПИН И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ й 138. Комплексная пло: кость и комплексное пространство 1. Ко мплекси а я плоскость Комплексной плоскостью назовем множество всех упорядоченных нар комплексных чисел, а кажду4о такую угн>рядочепную пару комплексных чисел — точкой комплексной плоскости. Направленным отрезком комплексной плоскости назовем упорядоченную пару точек этой плоскости. Если на комплексной плоскости заданы четыре точки: А (х, у,), В(хв, у,), С(хв, у,), 0(х„ув) (х„у,— комплексные числа), то два направленных отрезка АВ и Со условимся считать равными тогда и только тогда, когда выполнены равенства хв хв=лв Ав и Ув Ул=ув Ув.
Совокупность всех равных между собой направленных отрезков назовем вектором комплексной плоскости. Если направленный отрезок АВ задан свопм началом А (х„у,) и концом В(л„у,), то числа х,— х, и у,— у, будем называть координатами вектора а, являющегося классом всех направленных отрезков, равных направленному отрезку АВ. При этом будем писать а=(хв — х,, У,— Ув), , гзз компнгкснля плогжость и комплексное поостихпгтво Суммой а+Ь нектороь а и Ь и произведением >.а числа й на вектор а, где а=(х, у„), Ь=(х, у,), будем называть векторы' а+ Ь = ( х, + х,, у, -1-;, ), (1) ).а ( ах„Ху,), (2) Вектор а = ( Р, О ) будем называть нулевым нли нуль-векто- ром.
Если а — нулевой вектор, то будем писать а=О. Векторы а = ( х, у ) и Ь = ( — х. — у ) будем называть против- оположнымии друг другу н писать Ь= — а или а=---Ь. Сумма векторов и произведение числа на вектор обладают следующими свойствами: 1' а+(Ь-) с)=(а+Ь)+с, 2' а+О=а, 3' а+( — а)=О, 4' а+Ь=Ь+а, (3) 5' 1. а = а, 6' а (па) = (л)з) а, 7' (а + р) а = Ха -'; ца, 3' ~ (а + Ь) = ), и + И 3 а меча пне. Прп изучегнш опсраций ложения, вычитания векторов и умножения вектора на число в главе !Ч мы по су. шеству пользовались только этими свойствами векторов. Пусть в произвольном множестве М определены две операции над его элементами: 1) операция сложения, т.
е. двум любым элементам а и Ь, входящим в множество М, ставится в соответствие элемент того жс множества М, называемый их суммой: с = а+ Ь; 2) любому комплексному числу й и любому элементу а из множества М ставится в соответствие элемент Ь из множества М, называемый произведением числа л на этот элемент: Ь= на Если при этом выполнены все свойства (3), то множество М называется линейным пространством, а его элементы — векторами (свойство 2' при этом формулируется так: в множестве М суще- ствует элемент О, такой, что для любого элемента а из множе- ства М выполняется равенство а+О=а; свойство 3' — так: для любого элемента а из множества М найдется элемент Ь из мно- жества М, такой, что а+ Ь= О; этот элемент Ь обозначается — а).
Теория линейных пространств изучается в курсах линейной алгебры *. Определение линейной зависимости векторов комплексной плоскости такое же, как н в ч 36. Два линейно зависимых вектора называются также коллипеарпыми. Векторы а и Ь кол- лицеарпы тогда и только тогда, когда или Ь=йа, или а=)Ь. " СвоЙство 4* может быть доказано из остальных (даже без использования свойства б'). 11 и. с. молевое ДРЗ Г а а аа Х КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И КОМПЛЕКСПОЕ ПРОСТРАНСТВО 11собходимым н достаточным условием коллипеарности векторов а=(х„у,) и Ь=(ка у,) является равенство "' =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
