1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 53
Текст из файла (страница 53)
2а',у = О, а'„мь О, а', ~ О, (11) а,',х' -!- Р:= О, а'„~ О. (П1) " Здесь через х и у мы обозначаем координаты точек в той системе ьзордииат, в которой уравнение линни является иростетииии. Доказательство. Перейдем от общей декартовой системы координат к декартовон прямоугольной. Как было доказано в й 139, п, 1, порядок линии при атом пе изменится и данная линия в декартовой прямоугольной системе координат будет определяться уравнением того же вида (9) (но уже с другими значениями коэффициентов а, а; и а).
Но в предыдущей теореме доказано, что если общее уравнение линии второго порядка задано относительно декартовои прямоугольной системы координат, то оно при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прялюугольную может быть приведено к однозиу из следующих простейших видов*: 344 Г1222 Х1 ЛНННН. ЗХДХННЫВ ОГППГЧ УГХВНЕННЕ12 Рассмотрим, какой вид могут принять простейшие уравнения (1), (1!) и (11!) линии второго порядка в зависимости от знаков коэффициентов этих уравнений 1. !. Если а„ и а„ одного знака, а !Э имеет иротивополо>кш,1й знак, то, деля обс части уравнения (1) иа — 0 и полагая Р .
Р— — = а2, — —,=.Ь'-, приведем уравнение (!) к виду а11 22 х' ух ° — + — =1 а2 Ь2 это капоянческое уравнение эллипса. 2. Если а„, а„и 0 одного знака, то уравнение (1) приводится к виду х' у' —,+ — = — 1 Ух и определяет мнимый эллипс (на мнимом эллипсе нет, очевидно, ни одной точки (действнтельиой), так как если к и у — действихх у' тельные числа, то —, + —, Э О) ° Э.
Если В=О, а а„и а22 одного знака, то уравнение (!) приводится к виду К2 у' — + — = О. ах Ь2 Это уравнение удовлетворяется только при х = У=О. Но так как то говорят, что это уравнение распадается на пару мнимых пря- мых — -4. ! — =О У 0 а пересекающихся в действительной точке О (О, О). 4. Если а„и а„разных знаков, а Р~О, то уравнение (1) приводится к гиду х2 у2 — — — =!. Р Р 11 22 Считая, что — — )О, —,)О, Р Р а11 а22 и полагая — —.
=п2, —,= Ь', получим каноническое уравнение 2 Р 2 а11 а22 4 ыа теогия инвьаиьнтов 345 гиперболы х' е2 — — — =1 а ь ( 0 0 ,2 „Е если — —, ( О, —, ( О, то получим — — + — = 1 и, производя а~ ' Ьа 11 22 поворот осей на угол 90', т. е. полагая х= — д', д=х', будем х" д" г меть — — — = 1) . Ь' а' б. Если а„и а„разных знаков, а !) =О, то уравнение (1) при- водится к виду и определяет две пересекающиеся прямые; а+Ь ' а Ь !1. Уравнение (!1) можно привести к виду х' = 2рд, а где р= — —,чеО.
Число р можно считать положительным, так ы как в противном случае достаточно изменить положительное направление оси Од на противоположное. П!. Уравнение (111) приводится к виду 0 х'= — —,, нли х'=а', х'= — а', х'=0 ы в зависимости от того, будет 0 0 — — ) О, — —, <0 или же 0=0. а„ 2 142. Теория инвариантов ~р = а „х' + 2а„хд+ а„д' линейное однородное преобразование х=с„х +с„д, д = с„х'+ саад' ! (2) В настоящем параграфе понадобятся следующие теоремы. Теорема !. Произведем над переменными х и д квадратичной формы 346 в в в в в хв линии. злпвиныь овтим гьввнвнивм квадратичная форма ф примет чид ф' а,,х'+йа,вх'у'+а„у'. Тогда вежду мавпричами (3) а„ а„ кяадравичных форм (1) и (3) и маврицей Свв Сва преобразования (2) имеет место соотношение В=С'АС, еде (б) (7) матрица, полученная транспонироеанием матрицы С.
Теорема 2. Произведем над перелвенными х, ~ и г «яадравичной формы аы аз~ авв а„авв а)в А = а„а„а.„и и = а„а„а„ авв а„авв а а : а.а (11) и матрицей с„ с„ с„ С = свв сза саз Свв Сзз Сва (12) преобразования (9) имеет место то же самое соотношение (6)в л=С'АС, (13) еде С' — матрица, в олученноя транспонироеанием матрицы С. ф а„ха+ а„уз+ а. згв+ 2аввху+ 2а,зуг+ авзгх (б) линейное однородное преобразование в а к с„х +с„у +с,зг' ° У СВВХ + СВЗУ + Саве в (9) в=свах'+ се,У'+с„г"1 квадратичная Форма ф примев еид ф' = а„х" + а„у'"+ а„г" + 2а„х'у'+ 2а„у'г'+2а,„г'х'.
(10) Тогда между матрицами з ма ГГори55 55иваРихнтов (16) с матрнцеи ,т а,„ а,, а, В= а„а„а, Ф а, а, а (18) причем В =С'АС, (19) где , а„а„а, А =~ а„а.„а, та, аа а ('стт стс с, С=~сетса с, хО 61 (2! ) а С' — матрица, полученная транспоинрованием матрицы С. В самом деле, целая рациональная функция 1 может быть получена из квадратичной формы ( = а„,х'-1- 2а„ху+а„уа-!- 2а„хг+ 2а,уг+ аг' (16') при г = 1, а неоднородное преобразование (16) получается из однородного: х =- с„х'+ сму' т с,г', у=с„х'+ с„у'+с,г', г г' (16') при г'=!. См, д Г К у рост Курс аысп5ей алгебры М., «Наука», !966, тп 6, й 26, стр !6ь Обе теоремы имеют место для квадратичных форм от любого числа переменных "'.
Отметим некоторые следствия из этих теорем. Следствие 1. Так как определитель произведении матриц равен произведению определителей сомножителей и так как определитель ие меняется при транспонировании, то из соотношения (6) или (13) следует, что Ре1В = Ре( А (Ре1С)'. (14) Следствие 2. Если над переменными х и у целой рациональной функции второй степени !'=а„х'-';2а„ху+ааауа+ 2а,х+2а,у+а (16) производится линейное неоднородное преобразование х=с, х'+с, у'+с„ у = с„х'-'- с„у'+с., то функция ( преобразуется в функцию (" =а„х' т2а„х у'+а„у" +2а,х'+2а,у'+а' (!7) 348 с!а ° 2 Х!.
ЛИНИИ ЗЛДЬНИЫЕ ОЫПИМ ЕЬЬВНЕНИЕМ Так как 'С11 С12 Г! С11 С!21 Ое1С= Ое1 се, сь, с, )О О) т (221 то из соотношения (19) следует а„а„а, а„а„а, Р а, а, а а„а,ь а, а„а„а, а, а, а (23) Следствие 3. Так как при преобразовании (16) квадратичная форма а„х'+ 2а„ху-1- а„у', (24) входящая в состав функции ), перейдет в квадратичную форму а„х" + 2а„х'у'+ а„у'", (25) входящую в состав функции 7"', если над переменными х и у произвести однородное преобразование Х=С„Х +С„У', У С„Х +С„У, (26) то (27) В самом деле, подставляя в выражение (15) вместо х и у их значения из формул (16), мы увидим, что коэффициенты при х', х'у' и у" не зависят от с, н с, (а„=а„с'„+2а1,с,хс„+а„с22 и т.
д.). Иэ соотношения (27) следует, что ! аы а„~ а„а12 ~С„С12~' а„а„~ а„аь, ~с„с22~ ' (28) Определение. Целая рациональная функция 1 (аыо а1„аьм а„а„а) (29) от коэффициентов целой рациональной функции 7 = а11хь+ 2а„ху + а22у2+ 2а,х + 2а,у+ а (30) 7 (а1„аы, амп а1, а„а) = У (а„, а„, амы а„а„а'), (31) Еде а„, аым амн а,, а„а' — коэффициенты целой рациональной называется ортогональным инвариантом, если имеет место равен- ство Э ыт тнооия иинхрихиточ 349 функции /'=а„х'*+ 2а„ху'+ йа„у'"+ 2а,х'+ 2а,у'+ а', (32) которую мы г1олучим, производя ортогональное лреобразованиеа х= с„х + с,у'+ с, (33) и =. с„х'+ с„у+ с.
над переменными х и у целой рациональной функции /. Теорема 3. Три функции "'* ахх аха~ 1,= аат ахх ~ (34) аы ахх ах а„а„аа а, аа а (35) (38) /,=а„+аа, являются ортогональньини инварианта.ии целой рациональной функ- ции /=ад х'+2а„ху+а,д'+2а,х+2а,у+а.
Д о к а з а тел ь от в о. Так как определитель ортогонального преобразования равен и!, то его квадрат равен ! и инвариант- ность 1, и Ка следует из соотношений (28) и (23). Для доказательства того, что 1, = а„+а„также является ортогональным инвариантом, заметим прежде всего, что коэффициенты при х', ху и д' не меняются при преобразовании переноса х=х'+с,, у=у'+с,. (31) В самом деле, при этом преобразовании функция / преобразуется в функцию /'=а„(х'+ох)а+2а (х'+ох)(д'+с,)+а (у'+са)а+ + 2а, (х'+ с,) + 2а, (у'+ с,) + а, и коэффициентамн при х', х'у' и д' будут соответственно аты 2а„и а„. Поэтому достаточно доказать, что 1,=а„+а„— ий- вариант однородного ортогонального преобразования Р Р х=с,хх +с,у, у = с„х' + с„д'.
' См. формулы (10) э 99, и. 3, *' 1 называется днскрнмннантом квадратичной формы аиха+2а,аху+оыуа (входннхей в состав функции 1). зво Гас аа ХГ ЛИНИИ ЗАДА!1НЫЕ ОБП1ИМ УРАВНЕНИЕМ ((Ри преогразонанин (38) функпия г преобразуется в функцию ) = он (,,х' + с „у')'е-2Й1 (с сх'+сггу )(с11х'+сноу )+ + а,ь(с,,х'+ с„у')'+ 2Й, (с„х' цмсгку')+ 2а, (с„х'+с„у')+а, значит, а о й Й11 = Й11с11 + 2Й11с11С11 + Йахса1, х 2 а„=а„с„, + да„с„с„+ Й„с„, откуда 2 В Г 1 й а, +а„=а„( с„+с„)-)-2а„(с„с„+сгкс„)+а„(с11+с„). Но так как матрица 11 11 ОртОГОПЕЛЬНая тп С 1+С 1 — 1, С11+Са =) С11 21+ 11 11 потому а„+ а„= а„+ аха. Теорема 4.
Функция а„а а а, Кз= а,а а,а является инвариантом однородного ортогонального преобразования) если же функция ( = Й„ха -(- 2а„ху+ аяяуа+ 2агх+ 2аку+ Й однородн См оргпогонйльным ареобразованивл1 может бьипь приведена к виду ~' = а„х" + 2а,х'+ а', то Кз является и ортогональным инвариантом. доказательство.
рассмотрим функцию Г = а„х'+ 2а„ху+ а„у'+ 2а,х + 2а,у + а — )г (х'+ уя)) производя однородное ортогональное преобразование х=с„х'+с,ку', у=с„х'+с.„у', получим функцию в Г' = а, „х" + 2а„х'у'+ а„у' + 2а,х'+ 2а,у'-(-а' — )с (х" + у"). "ха+у' (сих'+схау')1+(с,гх'+саку')1=(са, +с' )х" +2(сис, +с с )х'у'-(- +(Сга ! С11) у =Х, у С1 +С 1 С11С11+Сяхсяа 0 С +С 1 так как мятрнца (С,А) ортогональная. т мз тгогня ннвлгихн1ов звт По доказанному К, является оргогональным ипвариантом. Используя это по отношению к функции г, получим ам т "м ат ' а,,— А а„а, а, а, а~ а, а, а' Приравнивая коэффпцпепты прп Х первой степени в левой и правой частях этого равенства, получим а, а а, а ~ ~ а, а' а, а' Предположим теперь, что сугцествует однородное ортогональное преобразование в,, при котором функция г принимает вид (' =а„х' + 2а,х'+а'.
Докажем, что тогда фупкпия К, является ортогональным инвариантом. В самом деле, пусть г1 — произвольное ортогональное преобразование. Рассмотрим ортогональное преобразование в'=вв, ', тогда в=в'в,. Далее, представим в' в виде произведения однородного ортогонального преобразования в, ца перенос в,; тогда втвтв1' После од народного ортогонального преобразования в функция Г" перейдет в функцию (т=а„х +2а,х +а и по доказанному К, не изменится. Произведем преобразование переноса в,: х' = х" + х„у' = у" + у, функция Гт перейдет в функцию г", = а|т(х" + х,1'+ 2а, (х" + х,) + а' = а т тх' " -~- 2 (а „х, + а,) х + +а„х,'+ 2а,х, + а', Подсчитывая функцию К„для функций (, и ~, будем иметь ' -~':"".'~" ~'й-~'.:". ~ а„а х+а, ~ ~0 0 в52 е !а !в х!.
пиний зхллнные овп!им яглвнснивм ! ! =а„х,'+2а, а„х„+а„о — а,,х" ,— 'а,а„х„— а, = а„а' — а"= а,, а, Гакиы образом, фупкпия К, пе меняется прп переносе. Паконеп, од пород пое ор(огопальное преобразование м, опять.' пе изменит К,. Значит, К! не изменится и в результате преобразо-. вания м гь,гв!, которое равно ьь ьч 143.
Определение канонического уравнения линии второго поряака при помощи инварйантов Распадение линии второго порядка на две прямые Уеорема (. Для того чтобы линия второго порядка, заданная оби(ил( дравнениел( относительно декартовой прял!одгольной системы координат, относилась к первой грдппе, необходиио и доста. точно, чтобы !,~0, ко вп1орой: !е=О, К,~О, к гпргипьей: (,=О, К =О, (,ФО. Доказательство необходимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
