1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Теорема 2. Если относительно общей декартовой системы координат задана линия второго порядка обгцим уравнением а„х'+ 2а„ху+ и„д'+ 2а,х+ 2а,у -1-а=О, то координаты х„у, ее центра определяются из системы уравнений а„х+а, д+а,=О, а„х+а„у+а =О, (3) причем в случае несовместности этой системы линия не имеет центра (т. е. является параболой).
Дока за тел ь ство. Произведем перенос дашюй декартовой 'системы координат так, чтобы новым началом координат стала точка О'(х„у,). Обозначая координаты произвольной точки М(х, у) в новой системе х'О'у' через х' и у', будем иметь х=х'+ х„у=у'+у„ и уравнение (1) примет вид а„х" + 2 ах,хд' + а„д'" + 2 (а„хь + амдь + ад) х' + 2 (амхь + + а„д, + а,) у' + а„х,'+ 2а„х„у, + аыд„'+ 2а,х„+ 2а,уь+ а = О. На основании предыдущей теоремы точка О'(х, у,) является центром данной линии тогда и только тогда, когда а„х,+ аму„+ а, = О, а„х,+а,.у +аз =О.
Если то система (3) имеет единственное решение, т. е. линия (1) имеет единственный центр. Если система (3) неопределенная, т. е. имеет бесконечное множество решений, то линия (1) имеет бесконечное множество центров — прямую центров, так как в случае неопределенности системы множество всех ее решений есть множество всех решений одного уравнения первой степени относительно х и у. 3 а м е ч а н и е. Данное в этом параграфе определение центра линии второго порядка носит геометрический характер лишь по отношению к тем действительныл| линиям второго порядка, которые имеют хотя бы одну точку; для мнимого эллипса и двух мнимых параллельных прямых это определение носит уже аналитический характер, так как приходится привлекать понятие мнимых точек. Кроме того, при доказательстве необходимости в теореме 1 мы снова обращались к понятию мнимых точек. Поэтому надо показать, что система уравнений (3), из которой находятся 360 Г за за ХЬ ЛИНШЬ ЗЛДЛ ННЫЕ ОВИ1ИМ КРЛННЕНИЕМ координаты центра, определяет всегда одну и ту же точку, нева.
внсимо от выбора системы координат*, или остается несовместной прн любом выборе системы координат. Можно изменить опредслешзс центра линии, чтобы оно стало геометрическим на евклидовой плоскости, пе зависящим от выбора коордипатпой системы. Это будет сделано ниже и по отно. шепию к понятию центра, и по отношению к асимптотическим на. правлениям, и по отношению к направлениям, сопряженным отяосителыю линии второго порядка, Только после этого можно утверждать, что данная в 5 143 классификация линий второго порядка по группам 1, !1, !!1 является классификацией этих линий по характеру нх места центров: линии группы! имеют единстве~ ный центр (начало координат в нх простейшем уравнении); линни группы!! не имеют центра (парабола); липин группы!11 имеют прямук~ центров (ось О'У в простейшем уравнении).
В этом можно убедиться, составляя систему (3) для каждого из уравнений: а„'Ха+ аез'Уз+В =О, а„'=Я О, а„'~ О, (!) атт'Лз+2аз'У=О, атт'ььО, аз'~О, (1! ) ать'Хз+ 0 О, атт'Ф О. (1П) 5 145. Пересечение линии второго порядка с прямой.. Асимптотическне направления. Классификация линий по числу и действительности асимптотических направлений 11редположим, что относительно общей декартовой системы координат задана линия второго порядка общим уравнением а„х'+ 2атзхй + а„у'+ 2а,х+ 2а,у + а = О.
(1) Будем исследовать пересечение этой линии с прямой, уравнения которой возьмем в параметрической форме: ха + 11' у уз + гп1' (2) Здесь (х„у,) — некоторая точка прямой, а (1, т) — ее направляющий вектор. Для нахождения координат точек пересечения прямой (2) с линией (1) надо найти значения параметра 1, при которых точка прямой (2) лежит нв линии (1). Подставляя в уравнение (1) вместо т и у их выражения нз формул (2), получим: (а„1'+ 2а„1т + азат')1'+ 2(1(аыхс + атзуе + ат) + т(аа,ха + а„у, -»- +аз)11+ а„хр'+ 2а„х у, + а„у„'+ 2а,х, +2а,у, +а =О.
(3) ччитателм предлагается проверить, что понятие середины С(х, у) отрезка АВ с концами А!хм чт) и В(хь у,) как точки с координатами к 2 ч +» к= — '. * не зависит от выбора системы координат, даже если точки А и  — мни. мые Для доказательства надо воспользоваться формулами преобразования об отей декартовой системы координат (см, $138, и. 1, формулы (6)). % 445 ПЕРЕСЕЧЕПИЕ ЯПН!и! С ПРЯМОЙ Если в этом уравнении коэффициент прн ге отличен от нуля, то уравнение (3) имеет два корня (действительных различных, лпшмых различных, пли действительных совпадающих), н, зна нлт, прямая (2) пересекает линию (1) в двух точках (соответственно действительных различных, комплексных сопряженных, нли действительных совпадающих). Если же а!!14 + 2але(т+ алмт' = О, то прямая с направляющим вектором 11, т) либо пересекает линию второго порядка только в одной точке (это будет тогда н только тогда, когда коэффиппент при 14 в уравнении (3) равен нулю, а коэффипнепт при У не равен пулю), либо не пересекает ее (это будет тогда н только тогда, когда коэффиппенты при (л и ! в уравнении (3) равны нул4о, а свободный член не равен нулю), либо входлп в состав данной линии (это будет тогда и только тогда, когда соотношение (3) является тождеством относительно !).
Бу. дем говорить, что прямая имеет асимптотическое направление по отношению к данной линии второго порядка, если координаты 1, т ее направляющего вектора удовлетворяют уравнению (4). Мы будем говорить также, что вектор (1, гп) имеет асимптотическое направление. Г!о отношению к асимптотическим направлениям линии вто*,!ого порядка делятся па три группы. А. Линии эллиптического типа; это лии!!и второго порядка, не имеющие действительных асимптотнческих направлений (эллипс, мнимый эллипс, две мнимые пересекающиеся прямые). В. Линии гиперболического тяпа; это линии второго порядка, имеющие два действительных асимптотических направления (гипербола, две пересекающиеся прямые).
С. Линии параболического типа; это линии второго порядка, имеющие одно асимптотическое направление (парабола„две параллельные прямые), Теорема. Необходимым и достаточным условием того, что линия второго порядка, заданная об!зим уравнением (1) относительно общей декартовой система! координат, не имеет асихптотических направ,4ений (действительнь!х), и!. е. яв яется линией эллиптического типа, является условие Необходимым и достаточным условием того, что зта линия имеет два различньлх действительных асимптотических направления, т.
е. является линией гипсдбо 4ического типа, является условие !и<О, 362 Рва вв ХП ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМ УРАВНЕНИЕМ а необходимым и достаточным' условием того, что зта линия имеет только одно асилсптотическое направление, т. е. является линией параболического пгипо, является условие (,= О.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Координаты вектора ((, т), имеющего асимптотическое направление, определяются из уравнения а„Р + 2ам (т + а„т' = О. Так как вектор (!, т) ненулевой, то имеет смысл рассматривать по крайней мере одно из отношений вп или Ф'--.
! лв' Уравнение а„Р+ 2а,,!т+ а„т' = О, следовательно, эквивалентно одному из уравнений (или ам~О или а„~О): а„й'+2а„й+а„=О, или а„й"+2а1зй'+а„=О. Для того чтобы решения любого из этих уравнений были комплексными (сопряженными), действительными различными, или совпадающими, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соответственно условие (,> О, (, < О, (, О. В первом случае (1,> 0) линия не имеет действительных асимптотических направлений и является линией эллиптического типа; во втором случае ((,<0) линия имеет два различных действительных асимптотичсских направления и является линией гиперболического типа; в третьем случае (), = 0) линия имеет одно (действительное) асимптотическое направление и является линией параболического типа.
В последнем случае угловой коэффициент А= — единственного асимптотичсского направления определяется одним из соотношений ам ап й= — — = — —. аи авв ' если а„= а„= О, то асимптотическим направлением является направление оси Оу, так как уравнение, определяющее координаты векторов, имеющих асимптотические направления, принимает вид а„Р=-О, откуда ! =-О. Остается рассмотреть случай а„ = а = О. Уравнение линии принимает вид 2амху+ 2а,х+ 2азу+ а = О, $ г45 пегксггчгпис линии с пгямогг зев а уравнение, нз которого находятся коордгшаты векторов, имеюгцпх асимптотическое направление: 2аг,1т =- О, следовательно, либо 1=-0, либо пг=-О, т, е, линия имеет два различных действительных асимптотичсскнх направления — направле« ния осей координат (заметим, что 1,= — а„'(О, значит, линия гиперболического типа). Обратно, если оси координат имеют - асимптотичсские направления, то уравнение аггР+ 2аггйй+аыт' 0 должно удовлетворяться н при 1=0, и при т О, т.
е. а„=а„=О, Ф значит уравнигие линии имеет внд 2а,,ху+ 2агх+ 2а,у+ а = О. Для гиперболы хг д' —. — — =1 аг Ь' или для двух пересекающихся прямых хм 92 — — — =0 аг Ьг координаты 1, т векторов, имеющих асимптотическое направление, определяются из уравнения 1' пгг — — — =О, аг Ьг т. е. это соответственно или направления асимптот гиперболы, или направления рассматриваемых прямых.
Для параболы хг =- 2ру уравнение, определяющее координаты вектора (г, т) аеимптотического направления, имеет вид 1г = О, т. е. 1 =О, значит, асимптотическое направление параболы есть направление ее оси. Если, наконец, уравнение линии второго порядка определяет две параллельные (или совпадающие) прямые, то асимптотическим направлением является направление этих прямых. го о о о лл линии злдкнныв огщим лглвнвнивм $146. Диаметр, сопряженный данному неасимптотическому направлению 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
