1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 54
Текст из файла (страница 54)
!. Предположим, что линия второго порядка принадлежит к первой группе, т. е. ее общее уравнение а„х" + 2а„хд + а, д~ + 2а,х+ 2а,д+ а = О, заданное относительно прямоугольной системы координат, преобразованием прямоугольной системы координат в прямоугольную (т. е. ортогональным преобразованием) может быть приведено к виду а„Х' -)- а„У '+ Г) = О, где а ! ! ~ О, а „~0.
В таком случае )а„О) (,= ", ~ =а!! аь! ФО. ~)0 а„~ 2. Предположим, что линия второго порядка принадлежит ко второй группе, т. е. ее общее уравнение при помощи преобразования прямоугольной системы координат может быть приведено к виду а„Хе+ 2а, У =О, где а„~О, а,~О. ! В таком случае (ь=О, Кь= — а„а, Ф.О. 3. Предположим, что линия второго порядка принадлежит к третьей группе, т. е. ее общее уравнение при помощи преобразо- з мм оп~ вделенив канонического у~ лвивния линии 353 павия прямоугольной системы координат может быть приведеио к виду а„Х'+ 0=0, где а,,:ФО.
В таком случае 1,=0, К,=О, 1,=а„~О. до к а з ательст во достаточ ности получается сразу ме- тодом от противного: !) предположим, что 1, чь О; требуется доказать, что линия вто- рого порядка принадлежит к ! группе. Предположим, что эта ли- ния прииадлежит ко Н или !Н группе; тогда (в силу необходи- мости) 1, = О, и мы приходим к противоречию. Аиалогичпо доказывается, что в случае 1, = О, К ~0 линия при- надлежит ко !! группе, а в случае 1,=О, К,=О к (Н. Теорема 2. Если линия второго порядка задана общим уравне- нием относительно декартовой прямоугольной системы координат, то ее простейшие уравнения имеют вид )„Х +)„)' +к"=~, ' (!) 1 Хе~2 у/ Кьу (П) ! 1,Х + — ',*=, (!П) 1 соответственно слому, является ли зта линия линией (, Н или П! группы, причем ), и ),— корни уравнения или ) — 1,) +1 =О, называемого характеристическим.
Доказательство. !. Пусть лииия второго порядка принадлежит к ! группе; тогда ее простейшее уравнение имеет вид а„Хе+а„Уз+1! = 0 а„--Л=О и а.„~О, Находим а„О 1,= ,,а„, 0 а„ 11= ам+а~к так что а„и а„— корпи ), и ) уравнения ),2 — 1,). +1~=0 12 и, с. модеьоа Г в а ва Х1 ЛИПИИ. БАДАИИЫЕ ОБШИМ УРАВИЕПИЕМ н, далее, а„о О Ка= О а„о =а„а220=1 О, О 0 0 откупа 0 = — "', 12' 2. Пусть линия второго порядка является линией 11 группы (т. е. является параболой).
Тогда ее простейшее уравнение имеет вид а „Ха+ 2а,!л = О. Находим вв К, = — 1,а„ 1,= ааю откуда 2/ Кз 3. Пусть, наконец, линия второго порялка является линией !11 группы, т. е. ее простейшее уравнение имеет вид а,1Х2+ 0 = О. Находим !2=О, К,=о, !1=а„! но так как для линий !1! группы и К, является ортогональным ипвариантом, то Ка О 0+ О0 — — а'„0=~,0, откуда Ке Теорема Зв В следу1ои!ей таблш!е даны необходил1Б1е и достаточные признаки каждого из девяти классов линии второго порядка: Таблица Нааванне линии 1 Прианан ! >о !к<о 1>О !К>О Нллнпс Мнимый еллипс 1!не нннчые пересекающиеся прямые Гипербола дпе пересена1ошнеся прямые Парабо 1а йпс параааельные прямые Дас ащнмые параллелывые прямые дае совпадающие прямые !2>О К =О ! <О К2~О 12<0 К =О 1~=0 КЗФ 0 1,=0 К,=о К,<о т,=о к,=о к,>о ! =о к =о к=о- 1 ИЗ ОПРГДЕЛЕНИЕ КАНОНИ'НСЬОГО Г!'АВНЕП!Ш .И1НИП ЗЗЗ Докажем сначала достаточность этих признаков.
1. Если !,) О, (,К,< О, то корни Х, и ),, характеристического уравнения Аь — (,А+У,=О имеют одинаковый знак[(э=К,Х,). Так как 1, = А, + Х, и 1,К,< О, то знак 1, одинаков со знаками А, и ),„ а К имеет знак, им противоположный. Отсюда следует, что прос- тейшее уравнение (1) приводится к виду: х г2 К, Х,~, Х,1, и так как — — ' ) О, — — )О, то это уравнение является каноничеКа 1.1!2 ' Х212 ским уравнением эллипса с полуосями а =- 1// — Ка, Ь = 1// Ка 2. Если У,> О, !ГКЕ) О, то ) „А, н К, имеют одинаковые зна- ки и, значит, простейшее уравйение, которое мы теперь перепи- шем в виде КА х112 является уравнением мнимого эллипса) — >О, — ') 0), /КА Кэ 3.
Если Уз> О, К,=О, то простейшее уравнение принимает вид причем А, и ), в силу условия 1, = А,),)0 имеют одинаковые знаки; последнее уравнение можно перейисать в виде ХŠ— + — =О, 1 1 Рй Р4 или Ха 1з — + — „,=о, а~ где а' = — Ь = —; оно является уравнением двух мнимых перез 1 э Рй' Р~! ' секающихся прямых.
4. Если 1,< О, К,~О, то А, и ), разных знаков. Обозначим через Х тот из корней характеристического уравнения, который имеет знак, противоположный знаку Кз, и перепишем простейшее уравнение (1) так: Ка Ка 1'11 2 12" г А а в а хь липин. злдхппшг 358 Здесь К, К, >о, —,>О. и, полагая — =а~, =Ь'>О, Ка Ка л,г, получаем каноническое уравнение гиперболы: х~ — — — =1, аа Ь' 5. Если 1,<0, К,=О, то простейшее уравнение имеет вид Л Х'+Л,1"=О. Здесь Л, и Л, разных знаков Р,Лт — — 1,<0); считая Л >О, Л,<0, перепишем это уравнение в виде =О, 1 1 лг л~ или ха ~'~ =о, аа Ьв 2 1 2 1 где а'=-, Р= — — Последнее уравнение является уравнением Ла двух пересекающихся прямых.
6. Если 1, О, К,~ьО, то простейшее уравнение 1Х ~2Уà — ' У=О Кз является уравнением параболы. 7. Если 1 =К =О, то простейшее уравнение имеет вид 1 Х'+ — '= О, или 1т'Х'+ Кз = О. К, Отсюда следует, что если К,<0, то это уравнение является уравнением двух параллельных прямых, если К,>0, то уравнением двух мнимых параллельных прямых, а если К,=О, то уравнением двух совпадаюгцих прямых 11остатвчность всех признаков доказана, Необходимость доказывается методом от противного. Пусть, например, общее уравнеане линии второго порядка, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат, является уравнением эллипса; требуется доказать, что 1,>О, 1,К'„<О.
Предполагая 1,<0, заключаем, что данное уравнение является уравнением однои из линий 4 — 9, указанных в таблице на стр. 554. 444. ПЕИТР ЛИНИ!! ВТОРОГО ПОРЯДКА 357 Итак, )е>!). ИРеДполагап !4КН)0, заключаем, что Данное УРавпение является либо уравнением ь4иимого эллипса, либо уравнением двух мнимых пересекающихся прямых. Значит, 1ТКИ<0. Аналогично л«етодом от противного с использованием доказанной достаточности признаков, указанных в таблипе на стр. 354, доказывается необходимость всех этих признаков. Следствие. Для того чтобы Линия второго порядка, заданная общим уравнением а„х'+2а„хд+ ад«44'+2а,х-,' 2аер+ а =-0 относительно аффинпой системы координат, распадалась па две прямые, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство 'ам а!«а,~ К»= а»! а»» а»1=0, а, а«а До к а з а тел ьс тв о. Из доказанной теоремы следует, что если для линии первой группы К,=. О, то соответствующее уравнение )с»Х'+)НУ'=-0 является уравнением двух прямых, а если К»ныл, то уравнение линии первой группы не является уравнением двух прямых, Для параболы (вторая группа) КдэьО, а для всех линий второго порядка третьей группы, каждая из которых распадается на две прямые, К,=О.
Следствие доказано для прямоугольной системы. Однако при переходе к общей декартовой системе координат в силу соотношения (23) ~ !42 условие К,=.О является необходимым и достаточным условием распадения линии второго,порядка на две прямые и в общей декартовой системе координат. В самом деле, формулы (16) 4 142 можно рассматривать как формулы преобразования декартовой прямоугольной системы координат в любую обшу4о декартову, а потому ~,"",'-')~0. й 144.
Центр линии второго порядка Определение. Центром линии во!враго порядка называется центр симметрии этой линии, т. е, точка 5, обладающая слгдуюи4им свойством; если на линии лежит точка" М, то на этой же линии лежит точка М', симмгтричнал точке М относительно 5. Теорема 1. Пусть оа!касательно общей Огкартовой системы координал! задана линия второго порядка Общим уравнением аг»хк+2а4«хд+ае,д'+2а,х+ 2а»У+а=О.
(1) Для того чтобы начало координагп являлось ее ценп4ром, необходимо и достаточно, чтобы в уравнении (1) отсутствовали члены с * В етом определе44ии мы имеем в виду и комплексные «точки», лежащие Нд НННИОЙ ЛИНИИ. 358 г, ° ле линии. злдлнные овшнм вехвненнем х и у в первой степени, т.
е. чгпобы а, = а, == О, иначе, чтобы уравнение линии имело вид амх'+ 2а„ху+ аму'+ а = О. (2) Доказательство достаточности. Если а,=а,=О, то уравнение линии имеет внд (2), и если ему удовлетворяют коор- динаты х н у точки М, то ему удовлетворяют н координаты — х, — у точки М', симметричной М относительно начала координат. Доказательство необходимости. Пусть начало коор- динат является центром линии (1), Предположим вопреки утвер- ждению теоремы, что по крайней мере одчо из чисел а, илн а, от- лично от нуля, Возьмем па линии (1) произвольную точку М (х, у).
Ее координаты удовлетворяют уравнению (1), а так как начало координат является центром симметрии линии (1), то урав- нению (1) удовлетворяют и координаты точки М'( — х, — у), симмет- ричной точке М относительно начала координат, т. е. аых'+ 2амху+ аееу' — 2агх — 2а,у+ а = О. Из этого соотношения и из соотношения (1) находим а,х+ а,у = О. Этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек линии (1).
На основании теоремы 2, п. 3, 9 139 функция ф = а х'+ 2а„ху+ а„у'+ 2а,х+ 2а,у+ а может быть представлена в виде произведения двух линейных функций от х и у, одной из которых является форма а,х+ а,у. Таким образом, данное уравнение распадается на два: а,х+ а,у = О, рх+ уу+ г =- О. Но так как координаты всех точек линии (1) удовлетворяют уравнению а,х+ а,у = О, то последние два уравнения являются уравнениями однои и той же прямой, значит, Р в — — г=о, ае ае ' а уравнение ~р = О или а„х'+ 2а„ху+ а„у'+ 2а,х+ 2а,у+ а = О приводится к виду й(а,х+а,у)'= О, ~ ыи Пинте линии в1огого погядкл т, е, не содержит членов с х и у в первой степени вопреки предположению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
