1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

(4) Мы доказали, что координаты любой точки М(х, у) эллипса удовлетворя!от уравнению (4). Однако уравнение (4) ешс нельзя назвать уравнением эллипса, так как не доказано обратное предложение, а именно; если числа х и у удовлетворяют уравнению (4), т. е. лежит на эллипсе.

Докажем это. Пусть координаты точки М(х, у) удовлетворяют уравнению (4). Тогда МР, = )~Г(х + с)' .+ у' = )/ (х+ с) с + Ь' ( ! — —,) = аа = 1/ —,+2сх+а' = 1/ ~а+ — ) =~ а+ — ~ и аналогично Так как ха Ра — + — =! а' Ь' то а+ — )О и а — — )О, сле- СХ СХ а а то 1х(е-.а, а так как 0(с(а, довательно, МГ',=а+ —, а ' МРак и — —, СХ а ' откуда МР,+МР,=2а, Таким образом, (4) есть уравнение эллипса, так как доказано, что координаты любой точки М эллипса, т. е.

любой точки, для которой МГ", + МР, = 2а, удовлетворяют уравнению (4), и, обратно, сели два числа х и д удовлетворяют уравнению (4), то точка М с этими координатами х и р удовлетворяет соотношению МЕ,+МЕ,=2а, т. е. лежит на эллипсе. Уравнение Х Ы' аа Ьа — + — =! называется каноническим уравнением эллипса. 232 Г а а в а Рсы. клнонические РРлвнения линий то точка М с координатами х и у удовлетворяет соотношению МГ, + М.Г', = 2а, з ма исслвдовлнив формы эллипса 233 5 103. Исследование формы эллипса Так как в каноническое уравнение эллипса координаты х и у входят в четной степени (именно во второй), то если на эллипсе хх у' — + — =1 (1) ах лежит точка М(х, у), т, е.

координаты этой точки удовлетворяют уравнению (1), то на том же эллипсе лежат точки М'(х, — у) и М" ( — х, у), симметричные с точкой М относительно осей Ох и Од, и точка М"' ( — х, — у), симметричная с точкой М относительно начала координат (рис. 152). Поэтому оси координат Ох и Оу для э эллипса, заданного каноническим уравнением хх а -Ь а ь — -)- — = 1 а Ь являются осями симметрии, аиаРис. 152 чало координат — центром симметрии. Ниже мы покажем, что всякий эллипс имеет единственный центр симметрии, а если он не является окружностью, то— только две оси симметрия. Из уравнения эллипса х' у' + з следует, что для координат любой его точки имеют место соотношения )х)(а, )у! Ь. Геометрически это значит, что эллипс расположен внутри прямоугольника, сторонами которого яв.тяются прямые х=а, х= — а, у=Ь, у= -Ь. Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса. Таким образом, эллипс х' у' — + — =! а2 имеет четыре вершины: А ( — а, О), А (а, О), В,(О,-Ь), В,(0, Ь).

Полуосью эллипса называется отрезок (а также длина этого отрезка), одним концом которого является центр симметрии эллипса, а другим-одна из его вершин; а называется ббльшей полуосью эллипса, а Ь-меньшей полуосью, 234 Г в а в а ГЛП. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВН ЕНИЯ Л!ЛНИЙ Отрезок А,АЛ, граничными точками которого являются вершины А, и А. эллипса, рассположепные па оси симметрии, содержащей фокусы (а также длина 2а этого отрезка), называется большей осью эллипса, а отрезок В,ВЯ и его длина 2Ь вЂ” меньшей осью эллипса, Разрешая уравнение эллипса относительно ордииаты у, беря для у лишь неотрицательное значение у — )~а х (2) и считая, что О~х(а, получим точки эллипса (1), лежащие в первой четверти.

Из уравнения (2) следует, что функция у на сегменте О(х(а — убывающая функу ция, причем х=-О при у=Ь их=апри у = О (рис. 153). График эллипса в целом мы получим, добавив к дуге, заданной уравнением (2), дуги, ей симметричные от- О поситсльно осей координат и начала координат. В результате получим замкнутую линию (см.

рис. 152). Рас. 153 Замкнутая линия является вы- пуклой, если любая прямая пересекает ее не более чем в двух точках. Эллипс есть выпуклая замкнутая линия, так как решая уравнение (!) эллипса совместно с уравнением прямой у = Ьх -г пл или х = р, получим уравнение второй степени относительно х или у, значит, любая прямая пересекает эллипс не более чем в двух точках. Итак, эллипс †замкнут выпуклая линия, имеющая центр симметрии и две (взаимно перпендикулярные) оси симметрии. Условимся уравнение ха уа а +Ь аа ьа называть каноническим уравнением эллипса и в том случае, когда а=Ь и когда а(Ь. В случае а=Ь уравнение принимает вид х'-1-у'=а', т.

е. является уравнением окружности радиуса а с центром в начале координат. Таким образом, мы рассматриваем окружность как частный случай эллипса. Этот частный случай соответствует совпадеишо фокусов Г", и Г", с центром окружности. В случае а < Ь большей полуосью будет Ь, меньшей а, фокусы расположены на оси Оу па расстоянии )ГЬ' — а' от центра эллипса. В дальнейшем, если пе будет специальной оговорки, мы будем предполагать, что в каноническом уравнении (!) эллипса а ) Ь, Э 104 ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА Отношение половины расстояния между фокусами эллипса (фокальное расстояние) к большей полуоси эллипса называется эксиентриситетом эллипса и обозначается буквой е: с е=— а Так как 0 = с < а, то 0 = е < 1, т.

е. эксцентриситет эллипса есть неотрицательное число, меньшее 1. Отметим, что ь =) 1 — ее. Следовательно, эксцентриситет определяется отношением полуосей эллипса, и, обратно, отношение полуосей эллипса определяет его эксцентриситет. Если эксцентриситет равен нулю е=О, то а=у и эллипс является окружностью. Чем ближе эксцентриситет е к 1, тем меньше )т 1 — е' и, значит, тем меньше отношение меньшей полуоси к большей.

Таким образом, эксцентриситет характеризует степснь «вытянутости» эллипса. Формулы (5) з 102 теперь можно записать: г, = а+ ех, г, = а — ех, (3) где ге = Ме' а гт = 'Ирт $ 104. Директрисы эллипса Две прямые, перпендикулярные оси эллипса, на которой расположены его фокусы, и отстояи(ие от центра эллипса на расстаяв нии —,, где а — большая полуось эллипса, а е — его эксиентриситет, называются директрисалш эллипса.

Окружность (для которой е= 0) пе имеет директрис; таким образом, понятие директрис дается собственно для эллипса, т. е. для эллипса с неравными голуосями. Если эллипс задан каноническим уравнением хе уе — + — =1 а' Ь' причем а) Ь (фокусы расположены на оси Ох), то уравнения директрис имеют вид а а х= — и х= — —. е е ' Так как собственно для эллипса 0<е<1, то а >а и, значит, директрисы эллипса отстоят от его центра дальше, чем вершины (рис. 154). Фокус и директриса эллипса, расположенные по 236 Г ! а а а Ргм КЛНОНИЧЕСКИВ ЗРЛВПСНПЙ ЛИНИЙ одну сторону от меньшей оси эллипса, называются соответствующими друг другу.

ТаКИМ ОбраЗОМ, фОКуСу Гг( — С, О) СООтВЕтетВуЕт дИрЕКтрИСа а а х = — —, а фокусу Г',(с, О) — директриса х= —,. Теорема. Для пгоео чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы опгногиение расстояния от втой точки до в фокуса зллипса к расстоянию от той же точки до дирекпгрисы, соответствуюи)ей рассматриваемому фокусу, было равно зксценпгризе ситету эллипса.

Доказательство иеобяг х о д и м о с т и. Рассмотрим, например, фокус Г"а(с, О) и соответст- а вугощую ему директрису х = — . Ряс. !54 Расстояние Г, от точки М(х, у) ЭЛЛИПСа дО фОКуСа Г"е(С, О) ВЫЧИСЛяЕтСя ПО фсрМуЛЕ Г,=а — ЕХ (~ 103, формулы (3)). Расстояние йа от той же точки М(х, у) эллипса до прямой а х=— е вычисляется по формуле йа (что следует из рис. 154, но может быть получено и по формуле расстояния от точки до прямой; см.

3 63, уравнение х — — =0 е — нормальное). Итак, а ~ ~ех — а) !ех — а( а — ех Га е) ~ е ) е е е Отсюда Г, ва Аналогично доказывается, что Гг — =е, где Г, есть расстояние от точки М эллипса до его фокуса Р„а йг — расстояние от той же точки до директрисы х= — — соответ- е ствующей фокусу с,.

з ю!. ди(>в к (Рисы эллипса 23! где а>Ь. Рассмотрим, например, фокус Ге(с, О) этого эллипса и соответствуюшую ему директрису х= — ° е Пусть М(х, у) — такая точка, что Ге — =е (! > где г,— расстояние от точки М до фокуса Ре, а с(е — расстояние от точки М до директрисы х = — . е Докажем, что точка М(х, у) лежит на эллипсе хе у> — + — =1 ае Ье В самом деле, так как г =~ (х — с)'+у', то из соотношения ге — =е, или г', =ее((е,, е находим (х-с)'+у =е (х — — ) . и е~ е) Упрощая это уравнение, получим > не — + — =! ае Ь а это и означает, что точка М(х, у) лежит на эллипсе.

Расстояние и! от фокуса эллипса до его директрисы равно а т= — — с, е а эксцентрйситет определяется формулой С е =-. Из этих соотношениИ находим ее>а =! ее е>е а= —,с 1 — ее Отсюда следует, что если на плоскости задана произвольно точка с', прямая, ие проходящая через эту точку с' (отстояшая Доказательство достаточности, Возьмем каноничео-' кое уравнение эллипса х> , уе а-т — = ! а> Ье > азз г е а ее ш» канонические ггхвиеиия линия от точки г" на расстоянии т) и задано произвольное положительное число е, меньшее 1, то существует эллипс, для которого точка Š†фок, заданная п рямая †директри, а е-эксцентриситет. Центр этого эллипса находится на расстоянии еет с=— 1 — е' от точки г" (по одну сторону с точкой г' от данной прямой), а большая полуось те а= —.

1 — е' Отсюда и из только что доказанной теоремы следует, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, для каж. дой из которых отношение расстояния от данной точки г к расстоянию до данной прямой е(, пе проходящей через точку Е, равно данному положительному числу, меньшему 1. Исключение составляет окружность, которая указанным свойством пе обладает. $1О5. Эллипс как образ окружности при равномерном сжатии к ее диаметру Фиксируем на плоскости прямую 1, а также число 1 ~О (положительное или отрицательное).

Характеристики

Список файлов книги