1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Заметим, что старые и новые координаты х, у и х', у' вектора прн общем преобразовании декартовой прямоугольной системы координат связаны соотношениями х=х'сова — у' з(па, у=х'Б1па-1-у'сова в случае, если системы хОу и х'О'у' имеют одинаковую ориентацшо, и соотношениями х=х' сова+у' ейп а, у=х' з1п а — у'сова в случае, если эти системы имеют противоположную ориентацию, или же с виде Х=С11Х +С11У, У=С01Х -ГС10У, (11) где ортогональная матрица. Преобразование (1О) и (11) будем называть ортогональным. ф 100. Переход от одной декартовой прямоугольной системы коор- динат к другой прямоугольной системе в пространстве Введем в п)1остранстве две прямоугольные системы координат Оху и Ох'у'г с общим началом координат.
Обозначим через 1, 1, Ф единичные векторы осей Ох, Оу, Ог, а через 1', у", й' — единичиыс векторы осей Ох', Оу', Ое' (рис. 147). Координаты единичного вектора в ортонормированном базисе 1, 1, Ф, т. е. в базисе, векторы которого единичные и попарно ортогональпые, явля1отся косинусами углов между этим единичным вектором и векторами з,,т', й. Обозначая углы между вектором л" и векторами 1, у, й через а„рл, у,, углы между вектором 224 Г. в в в т» ПВСОБГХЗОВВИИЕ ЛвхлптОВОИ СИСтСМЫ Кооеднихт 3' и векторами в, ~, Ф через ав, р„ув и утлы между вектором Ф' и векторами 4, г', Ф через а„~„у„будем иметь (Б 98) х=х созав+У с05ав+г сов ав, У = х' сов Р, -1- У' соз () в + г' соз Р „ (1) г=Х СОБУв У СОБУв+г СОБУв где х, у, г †координа произвольной точки ~И в системе Охуг, а х', у', г' †координа той же точки М в системе Ох'у'г'.
Матрица перехода имеет вид В СОБ а, СОБ ав СОБ а, А= соз(), соз()в сов Рв 1,005 Ув С05 Ув СОБ Ув Она ортогональная, т. е. сумма квадратов элементов, расположен- ных в каждом столбце, равна 1, так как векторы в", у', Ф' едияичные, а сумма произведений соответствуюцгих элементов двух любых различных столбцов равна нулю (так как векторы г', /', й' попарно ! х ортогональныс). т ° рв. вавв ° в,— м Ц соэ а, соэ а соэ а, С05~в СОБ Рв С05 Рв = — г/ й, СОБ г г СОБ У СОБ Ув а векторы 1', у', й' — единичные и попарно ортогопальные, то этот опРис.
14 ределитель равен ~1; он равен +1, если упорядоченная тройка векто- ро„Г, у', Ф' имеет ту же ориентацию, что и упорядоченная трой- ка 1„)', К и — 1, если эти упорядоченные тройки векторов име- гот противоположную ориентацию. Можно сказать и так: детерминант матрицы Л равен ~1 в зависимости от того, имеют ли системы Охуг и Ох'у'г' одинаковую пли противоположную ориентацию.
Отметим частный случай преобразования декартовой прямо- угольной системы координат в декартову прямоугольную той же ориентации при условии, что осп Ог н Ог' совпадают. В этом случае формулы (1) принимают внд х = х' соз ~р — у' 510 р, у =- х' 5(п гр+ у' соэ гр, г = г', (2) /' где гр — угол от осп Ох до оси Ох' в плоскости хОу, причем ориентацию этой плоскости задаем системой координат хОу. В этом З 100 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ частном случае будем говорить, что система Ох'у'г' получается из системы Охуг поворотом вокруг оси Ог на угол 1р.
Обратно, пусть задана ортогональная матрица третьего порядка: иы а131, А=!и21 азз азз) 'аз1 изз азз' т. е, а' + а' + а', =! 11 21 31 ° а' +а' +и' =1 1з 22 зз а' +а' +из =1, 13 23 33 а„азз-га„а„, а„а„=б, а,а„+ а,зазз+ иззазз =() иззи11+ изз12ю+ иззиз1 (4) г =(а11 а21 аз1),./ =(и12* изз азз), те'=(азз, азз, азз) (5) в силу соотношений (4) единичные и попарно ортогональпые. Рассмотрим систему Ох'у'г' с единичными векторами г', Х, й'.
Тогда формулы 1 2 2 2 х=аззх +из,у +а„г, у = амх'+ а„у'+ аз,г', (6) у аз1х + аз2у + аззг ,т связывают координаты х, у, г и х', у', г' одной и той же точки М в системах Охуг и Ох'у'г'. Если в пространстве введены две декартовы прямоугольные системы коорди~х нат Охуг и О'х'у'г', то координаты х, у, Рис, 148 г любой точки М пространства в системе Охуг через координаты х', у', г' той же точки в системе О'х'у'г' выражаются соотношениями (рис.
148): х = х' соз а, + у' соз а, + г' соз аз + х„ у = х' соз р1+ у' соз Рз+ г' соз 113+ у„ г=х'сову,+у'сову,+г'сову,+ г„ В П, О. Молевое Введем в пространстве прямоугольную систему координат Охуг. Векторы РВЕ Г вала )')1. ПРЕОЕРАЗОВЛПИЕ ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Где а„()„уи а„()„у„аа, ЦА, уа — углы между осями Ох, Оу, Оу Ох О'х' ОУ О'г' аа а х, у, г — координаты точки О' в системе Охуг. Старые и новые координаты х, у, г и х', у', г' вектора а прн общем преобразовании декартовой прямоугольной системы координат в декартову прямоугольную имеют вид х=х'сова, +у сова, +г'созаз, у=х'соей)+у'сов ~)+г'сов~в, г = х' соз у) + у' соз у, + г' соз у,.
й(атрнцей А', транспоннрованной к матрице А, называется матрица, полученная из матрицы А заменой строк матрицы А столбпами. Нетрудно видеть, что матрица А будет ортогональной тогда н только тогда, когда АА'= Е, где Е= 0 1 0 единичная матрица. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей' сомножителей, то Ре((АА')= Ре! А Ре1 А'=(Ре1 А)'= Ре1 Е=1 и, следовательно, Ре1 А = +-1, т. е.
ортогональная матрица А — невырожденная и ее детерминант равен или +1, нли — 1. !.')з соотношения АА'=Е следует, что А'=А ' (и обратно), т, е. ортогональная матрица может быть определена как такая, для которой сопряженная равна обратной. ")'ак как определитель ортогональной матрицы А равен )-1, то для ортогональной матрицы алгебраическое дополнение каж- 993 г л аале т11 пгсовгхзовлниг двкартовоп системы коопдинлт Так как плоскости хОу и х'Оу' имеют общую точку, то они имеют и общую прямую.
Ориентируем зту прямую, получим ось 0$ (рис. 149), Рассмотрим еще ось ОП, перпендш<улярную осям Ог и 05 и направленную так, что системы Охуг и 0511г имеют одинаковую ориентацшо; эти системы имеют об1цую ось Ог, поэтому вторая система получается из первой поворотом вокруг оси Ог на некоторый угол 19, значит (9 100, формулы (2)) у х = ь со5 19 т1 31п тр~ У = $51 и 1Р+ 11 соз 1Р.
ф Перейдем теперь от системы 0$11г к прямоугольной системе Окт1'г' (ось Ог' Рас. 149 перпендикулярна осн 09, так как ось 09 лежит в плоскости х'Оу'; ось От)' перпендикулярна осям 0$ и Ог и направлена так, чтобы обе системы 091)г и 091)'г' имели одина- ковую ориентацию). Система 09П'г' из системы 0$т)г получается поворотом вокруг оси 0$ на некоторый угол О; значит, т) = т1' соз Π— г' 51п О, г= т1 5!и О+ а сов О. Система 0511'г' имеет ту же ориентацию, что и система Охуг, а значит ту же ориентацию, что и система Ох'у'г', Позтому система Ох'у'г' получается из системы 091)'г' поворотом вокруг оси Ог' на некоторый угол тр, следовательно, 5 =х со55Р— у 51п т(1ф т1'=х' 31П тР~у'соз тР.
(3) В формулах (1) — (3) х, у, г — координаты произвольной точки М пространства в системе Охуг," 9, ть г — координаты той же точки в системе 0$т1г; 9, т1', г' — координаты той же точки в системе Окп'г' и х', у, г' — координаты той же точки в системе Ох'у'г'. Исключая из написанных соотношений $, Ч, П', получим х = х'(соз тр соз тр — 51П 1р 5 1П тр соз О) — у' (соз ~р 51п тр+ 51пту соз $ соз О)+ + г' 51П Тр 51П О, у= х (51п тр соз ф+ соз тр 51п тр соз О) — у (51п1р 51п тй— — соз ту сов трсоз О) — г'соз Тр 51п О, г=х'31П ту 51П О 1-у'созтрюп О+г'сов 0. (2) з 1О!. Ел лы эйлеРА 229 Углы Ч1, ~Р, О называются углами Эйлера. Матрица этого преобразования ортогональная, так как она является матрицей перехода от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой прямоуголы1ой сястеме (той же ориентации); это следует и из того, что она является произведением матриц с сов 1р — 51п гр ОА, у 1 0 0 51п 1р сов гр 0), ( 0 соз 0 — 5(п О ~, 0 0 1 0 5)пО созО~ с созф — 511п1р 0~ 51пф созф 0)~ 0 0 1 каждая из которых — ортогональная.
Если какая-нибудь из осей Ох, Оу, Ог совпадает с соответствующей осью Ох', Од', Ог', то формулы упрощаются (одну систему координат можно перевести в другую одним поворотом). Замечание. Углы ~, 0 и $ могут принимать значения от 0 до 2п (как углы от одного луча до другого на соответствующей координатной плоскости). Однако если положительное направление оси 0$ выбрать так, чтобы тройка лучей Ог, Ог', 0$ имела такую же ориентацию, как и тройка Ох, Оу, Ог, то угол О будет принимать значения от 0 до и. глава юп ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯ,'~КА, ЗАДАННЫЕ БАНОНИЧЕСКИНИ ЪРАВНЖИИЯИИ й 102. Эллипс и его каноническое уравнение Определение.
Эл гипсом называется геометрическое место точек, для каждой из которых сумлга расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное число 2а, болыиее, чем расстояние 2с между фокусами. Пусть М вЂ” произвольная точка эллипса, а Е, и Е,— его фокусы. Отрезки МЕ в МЕ, так жс, как и длины этих отрезков, называются фокальными радиусами точки М эллипса. В силу данного определения эллипса (рис, 150) М(х,у) МЕх+ МЕ, = 2а. (1) Из определения эллипса вытекает следующий способ его вычерчива- О х пия. Воткнем в чертежную доску Е,(-с,в) Ег(се) две булавки и накинем на них зам- кнутую пать, длина которой равна Рис. !50 2а,'-2с.
Натянем нить карандашом (рис. 151) и будем передвигать его, держа нить все время натянутой. Кара!!ваш опишет эллипс, так как сумма МЕ,+МЕ, расстояний от острия М карандаша до точек Е, и Е„в которые воткнуты булавки, во время движения острия карандаша по бумаге ве будет изменяться, оставаясь равной 2а. Введем па плоскости прямоугольную систему координат, принимая середину отрезка Е„Ее за начало координат, а за ось Ох— прямую Е,Е,, ориентирован!!у!о от точки Е, к точке Его В выбранной системе координат фокус Е, будет иметь координаты — с, О, а фокус Š— координаты с, О. Обозначая координаты точки М эллипса через х и у, будем иметь Лгяг= )~(х+с)г+-уг ги я, = )' (х — с)' - ггт !02 ЭЛЛИНС И СГО КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 231 и соотношение (1) принимает вид )' (х+ с)и+ у'+ )У (х — с)'+ у' = 2а, нли ) ~(х -1- с)' + у' = 2а — )l(х — с) и -1- у!и.
Возводя обе части уравнения (2) в квадрат, получим х'+ 2сх + с'-)- у' = 4и'+ хи — 2ск + с'+ у' — 4а ) (х — с)'+ уи, (2) или и ф' х' — 2сх+с'+у'= и'-сх. Рис. 15! Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получим а'х' — 2а'ск+ а'с'+ а'у' = а' — 2а'сх + с'х', нли (аз — с') ки -)- а'у' = и'(а' — с'). Так как по условию а> с, то а' — с'> О. Обозначая ак — сэ через ЬА а' — с'= Ь', получим Ь'х' + а'у' = азЬ', или ки у' а' Ь' — + — = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
