1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Так как векторы а„а„а, линейно зависимы, то существуют числа й„Х„Х„среди которых есть хотя бы одно, не равное нулю, такие, что "лаз+ ) заз + нзаз = О. Пусть, например„Хатыб; тогда лз а,= — а,— — а,. хз Хз Хз Векторы — а и — -аз коллинеарпы соответственно вектоХз аз рам а, и а,; очевидно, сумма таких векторов, т. е. вектор а, будет компланарен с векторами а, и а,.
Доказательство достаточности. Дано: векторы а„ а„а, компланарны. Требуется доказать, что эти векторы линей- но зависимы. Если векторы а, и а, коллннеарпы, то они линейно зависимы (теорема 1 настоящего параграфа), т. е. найдутся числа й, и Х„ из которых по крайней мере одно не равно пулю н такие, что Х,а,+лзаз=-О, по тогда и й.,а,+л,аз+О аз=О, т. е, векторы а„, а„а, линейно зависимы. Пусть векторы а, и а, неколли- неарны. Отложим векторы а>, а, н а, от одной и той же точки О: ОА,=а„ОА,=а„ОА,=а,. Так как векторы а„а„а, компланарны, то точки О, А„А„ А, лежат в одной плоскости, Спроектируем точку А, на прямую ОА, параллельно прямой ОА,; пусть Р— зта проекция. Тогда ОА,=ОР+РАз и так как ОР ~~ а, и а, чн О, РА.з () а, и а, эь О, З зэ.
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ 101 получим 00 =Х,а„ЯР= Усзаю н, следовательно, РА4 = азиз а, = Ахат+ Азаз + лза„ т. е. векторы а„ав, а„а, линейно зависимы. Теорема 4. Для того чтобы два ненулевых вектора а, н а, были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты бы- ли пропорциональны". Докажем теорему для случая, когда векторы заданы своими координатами относительно обшей декартовой системы координат в пространстве.
Доказательство не об ходя мост н. Дано. векторы а,= =Гхю ую гт1 н аз=1х„у„гД коллннеарны; требуется доказать, что нх координаты пропорциональны. Так как азчь О, то, полагая — =Х, получим аз =Ха„ т. е. из ит 1'хз, У, г Д = 11хы У, гД, нлн ~тю уз у44 гз " Упорядоченная совокупность чисел называется ненулевой, если среди чисел этой совокупности есть по крайней мере одно, не равное нулю.
Будем гово- рить, что упорядоченные ненулевые пары чисел хт, дт и х„дз пропорцио- нальны, если сУществУет такое число А ~ О, что хз=Ххт, д,=хдь Аналогично определяется пропорпиопальность двух ненулевых упорядоченных троек чисел. Пропорциональность двух упорядочеапых пар чисел хт, д, и хе, д, мы будем писать и в форме — = —, првчем условимся, что если какой-либо знамена. хт д, хз дз' тель в этой пропорции равен нулю, то это означает, что равен нулю соотеет- ству|ощий числитель. Аналогично будем понимать пропорцию хт д, з, х, д„ 24 При указанном соглашении относительно пропорции это определение пропор« циональиости совпадает с тем, которое дано в начале сноски.
Доказательство. Предположим, что векторы а„а„а, некомпланарны, Отложим все векторы а„ав, а„аа от одной й той же точки О: ОА4 — — 414 ОАз — — ае 0,4з = аз ОА4 = а ° Пусть Р†проекц точки А4 на плоскость ОА,А, параллельно прямой ОА„ а О в проекция точки Р на прямую ОА, параллель- но прямой ОА,. Тогда а, = ОА, = Огч'+ ОР+ РА4, Векторы ОО, ОР, РА, соответственно коллинеарны векторам а„а, н а,. Полагая о~ 11Р— — =Ха, ат ' а, ш2 г!«в~ !к основы ввктогноя «лгавгы Доказательство достаточности.
Дано! координаты векторов а, = (х„у„г!) и а, = (х„у„г!) пропорциональны. Требуется доказать, что эти векторы коллинеар ны. Пусть х« — — Ххт! у« — — ) у!, г! = )!г!', тогда а,=«а, я, значит, векторы а, и а, коллинеарны. Теорема 5. Для пгого чтобы два векп!ори а и а„заданные своими координатами относительно общей декартовой системы координат ни плоскости а! = (Х„у!), а, =(х„у,) или относительно общей декартовой системы координат в пространстве а,=(х,, у„г!), а,=(х„у„г,), были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы х,у! ' =О (в случае плоскости), хз уз ! !) =О (в случае пространства).
(2) у! г! г! х! «!у«) Докажем теорему для случая, когда векторы а! и а, заданы своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве. Доказательство необходимости. Дано; векторы а,= =(х„, у„г!) и а«=(х„у„гз) коллинеарны. Требуется доказать, что выполнены соотношения (2). Если векторы а, и а, ненулевые и коллинеарпы, то их координаты пропорциональны, а потому равенства (2) выполнены (определитель, в котором две строки пропорциональны, равен нулю).
Если а,=О нли а, =О (илн а = =а,=О), то равенства (2), очевидно, также выполнены. 1(о к аз а тельство достаточности. Дано, что соотношения (2) выполнены. Требуется доказать, что векторы а, и а, коллинеарны. Если х, =у, = г, = О (т. е. а, =О), то векторы а, и а, коллинеарны. Пусть хотя бы одно из чисел х„у„г, не равно нулю, например х«~О.
Положим «'=). Тогда х,=)х„и из соотноше«! ния ! х!у!) О =О, илн х у,— хзуг=О, хзуз~ З 36. ЛИИЕНПАЯ ЗЛВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ гоз находим х„(у,— Лу,) =О, х,у,— Лх,у,=О, и так как х,~О, то у,— Лу! ==О, т. е. Уз =-Лу,, Аналогично из соотношения гх ' !~=О, илн гзх! г,х, — г,.т„= О, находим г,Лк,— х,г„=О, к,(Лг,— г,)=0, и так как х,ФО, то Лг,— г,=0, т. е. г,=Лг,. Итак, х,=Лх„у,=ЛУ,, г,=Лг, или аз — Ла„ к!у!а! х,у,г, х8 уз г8 Доказательство.
На основании предыдушей теоремы векторы а„, а„а, будут компланарны тогда и только тогда„когда найдутся три числа Л„Л„Л„не равные пулю одновременно, такие, что Л,а,+Л,а, +Л,а,=О, или Лг (х!» У!» гг)+ Лз (кз» Ум гз)+ Лз (кз» Уз» гз) или Л„х,+Л,х,+Л,х,=О, Л,у,+Л,у,+Л,У,=О, Л,г,+Л,г,+Л,г,=О. Эта система соотношений относительно Л, Л„Л линейная и однородная. Но для того чтобы линейная однородйая система и уравнений с и неизвестными имела ненулевое решение (т. е. решение, в котором хотя бы одно из неизвестных не равно нулю), необходимо н достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю. Из доказанных теорем вытекают такие следствия.
Три попарно различные точки М,(к,,у,), М,(х„у,), М (хз,уз), заданные своими координатами отггосйтельно общей декартовой т. е. векторы и, и аз коллннеарны. Теорема 6. Йеобкогдимым и досгпатонным условием колгпланарности трек векпгоров а,=(х,, у„г!), аз=(х„у„гз), аз=(кз уз гз) заданньгк своими координатами относипгельно оби(ей декартовой системы координат, является равенство Г 2 а в и и. ОСНОВЫ ВГ К«ОРИОН АЛГЕБРЫ 104 системы координат на плоскости, лежат ва одной прямой тогда и только тогда, когда векторы М,М, и М,М, коллинеарны, т.
е. тогда и только тогда, когда координаты их пропорциональны: Хз Хз Ут Уз ) Хг — Хз Уг — Уз ~ — или хз — хз Уз — Уз х, х, у, у, Три попарно различные точки М,(х„у,, гт), М,(хю у„х,), Мз(х„у„гз), заданные своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве, принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда векторы МзМ, и МзМ, коллипеарны, т. е. тогда и только тогда, когда выполнены соотнощения х,— хз у,— уз 2,— 22 «2 хз У2 уз 22 22 (см.
сноску на стр, 101), или ! — — 0 )х,— хз Хз —;~ 0 Х,—, У,— уз 0 Уз — Уз 22 — ез ~ ез — ез хз — хз ~ хз — хз Уз — Уз Точки Мт("2 Уы ет) Мз(хю Уз ез) Мз(«22 Уз ез)~ Мз(хз У42 ез) заданные своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы М,М„М М„М4Мз компланарны, т, е.
тогда и только тогда, когда хд «4 Уд — Уз ед хз хз хз Уз У4 ез хз ха †уз Уз ез хз й 37. Базис и координаты вектора Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов е, и е„лежащих в втой плоскости. Базисом в пространспие называется упорядоченнал тройка некомпланарных векторов ез, е„е,. * Вта форма записи необходимого и достаточного условия принадлежности точек Мт, Мз, Мз одной прямой не требует оговорки, сделанной в начале формулировки следствия; иначе говоря, среди точек Мт, Мз, Мз могут быть совпадающие (и даже все три точки М„М„Мз могут сливаться в одну).. З ЭУ.
БАЗИС И КООРЛИНЛТЫ БВКТОРА .оз Теорема 1. Всякий вектор а, компланарный с двумя неколлинеарными векторами е, и е„может быгпь и пригпом единственньм образом разложен* по этим векторам. Доказательство сущест вова пня разложен и я, Отложим все векторы е„е, и а от одной н той же точки О: ОЕ, = е„ОЕ, = е„ОА = а. Тогда в силу компланарности векторов е„егм а точки О, Ца Е„А лежат в одной плоскости. Пусть Р— проекция точки А на прямую ОЕ, параллельно прямой ОЕ, (рис. 86). Тогда ОА =ОР+ РА, а так как векторы ОР и РА соответственно коллинеарны нену- левым векторам е, и еа, то, полагая ОР РА — =х, — =у, ег ' е, будем иметь ОР = хе„РА = уе„ так что а = хе, + уего и, Рпс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
