1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В частности, уравнение поверхности в декартовой системе координат может быть задано в виде, разрешенном относительно одной из координат, например в виде г=с(х, у). Наконец, поверхность может быть задана параметрическими уравнениями. Параметрическими уравнениями поверхности П в декартовой системе координат называются уравнения вида х=-х(и, В), у=у(и, В), г=г(и, О), где функции х(и, о), у(и, В) и г(и, О) имеют одну н ту же область определения 0 (которая представляет собой множество упорядоченных пар чисел и, о); каждой паре чисел и, о из этой области О соответсгнусг ~очка М(х(и, о), у(и, о), г(и, о)) поверхности П, н для любой точки М поверхности П найдется пара чисел и, о из области Р, такая, что х(сс, о), у(и, о), г(и, о) будут координатами точки М.
Числа и н В называются криволинейными (или внутренними) координатами точки М. Аналогично определяются параметрические уравнения линии в цилиндрических и сферических координатах. й 24. Примеры составления уравнений поверхностей Пример !. Введем в пространстве декартову прямоугольную систему коордннат.
Рассчотрнм сферу 5 радиуса а с цен~ром в тачке С(х„уо, г,). Точка М (х, у, г) лежат ва сфере 5 тогда в только тогда, когда длина отрезка СМ равна а (рнс бв) нлн тогда н только тогда, когда СМ'=а' нля (см, 4 !2) (х — хо)о+ (у — уо)'+(г — го)о=аз. В частности, уравнение сферы радиуса а с центром в начале координат нмеет в яд х'+у'+г'=ао. Пример Я.
Введем в пространстве декартову прямоугольную свстему координат Охуг, а кроме того, — полярнусо, принимая положительную полуось Ох 4 24 ПРИ.'!СР1! СОСТЛВЛВНИЯ УРЛВНВНИЯ ПОВСРХНОСТВй 71 за полярную ось, за экваториальну!о плоскость — плоскость кОВ, причем ориентнруем ес треугольником ЕгЕ,О(Е, и Ег — масштабные точки осей Ох и Оу), а за зенитную ось — ось Ог. Рассмотрим сферу 5 радиуса и с центром в начале координат. Возьмем на втой сфере произвольную точку М (х, у, г), обозначим (Х„,у„, гу,в) Рис. 56 Рнс. 55 ее долготу и широ~у соответственно через и В о (рис.
56). Тогда (см б 19, форчулы (1)) х=исозосози, д=исоэаз!Ви, г=иыпо; таковы параметрические уравнения рассматриваемой сферы Е..Криволинейные координаты точки М вЂ” это ее долгота и и широта о. Область О изменения параметров и, о такова: и и О~и с 2п,— — =-а~ — ' 2 2 ' Заметим, что сферу 5 в сферических координатах чожпо записать уравне- ниемм г = и. Пример 3. Составим уравнение прямой круговой конической поверх- ности К, вершина которой находится в начале декартовой прямоугольной системы координат, а острый угол между образующими ваверхности и осью Ог (положительное направление па оси Ог пе у ппываетсп) равен а. Пусть М (х, д, г) — произвольная точка поверхности К; тогда рассто- яние МО от этой точки М до оси Ог равно расс~оянию М'О от про- екции М'(х, у, 0) то!кн М (х, д, г) в плоскость хОу до начала координат (рис.
57), т. е. МО =М'О= )к кг+дг. С другой стороны, МО=ОО !Яи, Рис 57 а так как ОЦ=) г), то из последних соотношений находим )/хг к уг )г(!йа, откуда х'+у' — гэ !бе а=0. 72 Г гизи Од ЛНННН. ПОВирХНООтн И НХ уРЛВНВННя Обратно, если координаты нскоторой точка М (х, у, г) удовлетворяют последнему уравнению, то хх+ф=г 1йза, откуда У~'+уз=) г(18 а пли й(О =ОО 18 а, а значит, точка М лежит иа прямой, проходяшей через начало координат и наклоненной к оси Ог под углом а, т. е. точка М лежит иа поверхности К.
Наряду с декартовой прямоугольной системой координат введем полярную, как зто сделано в ) 19 (и в предыдугцсм примере). Обозначим через и расстояние от точки М до начала координат, в через и — долготу точки М. Т огда я= и соз г з)п а, у=и з(пи з)п а, г=и сова О.шако этими параметрическими уравнениями не задается вся поверхность К (так как г=и сов и > О).
Для задания параметрическими ураннениями всей повсрх ности К следует считать, что и прин нмаст все действительные значения. Таким образом, область О изменения параметров и и и такова: 0<и<2п, — ю<и<+со, При таком выборе области О изменения параметров и и о предыдушие уравнения являются параметрическими уравнениями поверхности К. Заметим, что часть поверхности К, соотве~сшуюпгая неотрицательным зпачениял~ и (т. е. одна полость кони ческой поверхности К), в сферических координатах может быть записана уравнением вида л 0= — — а, 2 а обе полости, т. е. вся поверхность К, — двумя уравнениями; 0=8- ( —,— а) (знак + соответствует „верхней" части поверхности К, знак — „нижней"). Пример 4.
Локажем, что уравнение х'+уз=аз, где а > О, ж У з декартовой прямоугольной системе координат является уравнением прямой круговой цилиндрической поверхности П с образующими, параллельными оси Ог, причем плоскость хОу пересекает Рнс. 58 зту поверхность по окружности С ра- диуса а с центром и начале координат. В самом деле, координаты точки М (х, у, г) удовлетворяют уравнению х'+уз=за' тогда н только тогда, когда координаты М' (х, у, О) проекции точки М на плоскость хОу удовлетворяют атому уравнению, а это значит, что гочка М лежит на поверхности, заданной ураваением хв+ уз=а' тогда и только тогда, когда ее проекция М' на плоскость хОу ленсиг на окружности С (р хз+уз=ОМ'), Значит, х'+у'=а' есть уравнение цилиндрической поверхности 11, овисанной выше (рис.
58). зяб пРимРРы сост лВлепия ХРАВпений пОВерхпогтей 73 Пример 5. Введем в пространстве декартову прямоуго.!ьпую систему координат. Предпо.!о кнч, что плоскость !г, оставаясь параллельной плоскости лОу, движется равномерно со скоростью а в положитсльпоч направлении осн Ог, а в плоскости а равномерно вращается нонруг то !кн пересе !ения се с осью Ог прямая 1 с угловой скоростью ол.
Тогда поверхность, описывает!ая прямой 1 в указаннол! сложно!! движении, называется гсликоидом (рнс. 59). Гоставпм параметр!Рческне уравнения геликоида, считая, что в начальный чочент времени о =-0 плоскость и совпадает с плоскостью хОу, а прямая 1 совпадает с осью Ох. Возьмем на гелнкоиле произ. вольную точку М (х, у, г).
Ориентир>ем прямую 1 и ноложич ДМ = и, где !т' †точ пересечения прямои 1 с осью Ог (рис. 60). Г!усть и — промежуток времени, за которыи прямая 1 из своего начальногп положения перейдет в положю!ие прямой Мтр. Обозначим через )1 проекцию точки Рис. 60 Рис. 59 М аа плоскость хОу, а через Р н Π— проекции точки Р соответственно на оси Ох и Оу. Тогда Ол(=-и, а угол от оси Ок до О)1 равен ею, Поэтому к=ОР =ОВ сов (ыо) =и соз (ыв), у = О() = О(( в|н (ыо) = и юп (ью), а=ЯМ = ио. Итак.
параметрические уравнения геликоида: х=и соз (ыо), у=и з!п(ыо], г=ао. Параметры и н и принимают все действительные значения, 74 Г в а в а ыв липин, повея хпости и их уялвнения ь 25. Пилиидрические и конические поверхности Е Цилиндрические поверхности Цилиндрической поверхность о называется поверхность, образованная пасаллельнылси между собой прямыми Х, называемыми ее образующими. Если какая-нибудь плоскость, пересекающая все образующие цилиндрические поверхности, пересекает ее по линии С, то зта линия называется н а и р а и л я ю щ е й этой цилиндрической поверхности. Теорема 1.
Если в пространств. введена об!цая декартова систелса координат, и уравнение г(х, у)=0 в плоскости хОу являепвся уравнением некоторой линии С, то зто уравнение в пространстве есть уравнение цилиндрической поверх- о в"(упд"О ~(е,Ф) =О в(х,у)=О Рис 6! Рис. 63 Рис 62 ности П с направляющей линией С, а образующие параллельны оси Ог (рис. 01). Доказательство. Точка М(х, у, г) лежит на пнлиндрической поверхности П тогда н только тогда, когда проекция М'(х, у, 0) точки М на плоскость хОу параллельно оси Ог лежит на линии С, т.
с. тогда и только тогда, когда выполняется уравнение г (х, у) =О. Теорема 2 (обратная). Если П вЂ” цилиндрическая поверхность, направляющей которой является плоская линия С, а образующие поверхности П параллельны некоторой прямой (, не лежаи(ей в плоскости линии С, то существует система координат, в которой уравнение поверхности П имеет вид с" (х, у) =О. Д о к а з а т е л ь г т в о. Введем общую декартову систему коор- динат Охуе, совмещая плоскость хОу с плоскостью, в которой а зз, цилиндРичегкиг и кОнические повеРхности 75 расположена линия С, н принимая за ось Ог — ось, параллсльну!о прямой Е Пусть г'(х, у).=О уравнение линии С в плоскости хОу.
На основании предыдущей теоремы зто уравнение в пространстве во введенной системе координат является цилиндрической поверхностью Н. 3 а м е ч а н и е 1. Аналогичные заключения име!от место для уравнений вида Р(у, г) =О и Р(г, х) =О (рис. 62 и 63). 3 а м е ч а н и е 2. Если линия С на плоскости хОу задана параметрическими уравнениями х=х(и), у=у(и), то параметрические уравнения поверхности 11 с направляющей С, образующие которой параллельны осн Ог, можно записать в виде х=х(и), у= у(и), г=- о. Пример !. Уравнение (~-~Ы'+(у — у )'=а' в декартовой прямоугольной системе хоу вв Влоскоств является урзвнепвем окружности С с центром в точке (х,, ур в радиусом а.
Если ввести ось Ог, Ве лежащую в плоскости хоу, то в получсввой общей декартовой системе координат Охуг это жз урвю!сзвг в пространстве является урзвпсввем наклонного цилиндра, образующвс которого параллельны осн Ог, а направляющая — окружность С. Сечеввя этой цялвндрвчсской поверхноств плоскоствмв, параллельными плоскоств хоу, — окружности, полученные переносом окружности С вдоль оси Ог.
Пример 2, Уравнение у = ахз+ Ьх+ с, где аюо, в декартовой прямоугольвой системе координат хоу пв плоскости является уравнением параболы С. Присоединяя ось Ог, не ле:квщую в плоскости хоу, подучим пространственную снстему координат Охуг, относительно которой уравнение у=ахз+Ьх+с является уравнением цялввдрв, Ввпрввляющвя которого — парабола С, в образующие параллельны оси Ог (пзраболвческий ци лввдр).
2. Конические поверхности Определение 1. Конической поверхностью называется поверхность, образованная множеством прямых д, проходящих через одну точку 5, называемую вершиной втой поверхности. Прямые )ь называютсгг образующими конической поверхности. Если какая-нибудь плоскость, не проходящая через вершину коничсской поверхности и пересекающая все ее образующие, пересекает коническую поверхность по линии С, то эта линия называется направляющей конической поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
