1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 62
Текст из файла (страница 62)
а„сояиз-(-(а„— Х) соз рз+й„сов уз=О, (3) й„ сов Я, -т- й„ сов рз + (йз, — Х) сов у, = О. Так как вектор /г' должен быть единичным (соязиз+совзрз+ -4-сов'уз=-4) и так как система (3) линейная, однородная относительно сова„соврз, соя у,, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю: 103 Г 3 азу Х11, ПОВЕРХНОСТИ ЗЛДЛНИЫЕ ОБШНМ УРЛВИГИИЕМ случай, когда уравнение (4) имеет трехкратнь1й корень, можно утверждать, что уравнение (4) имеет простой действительный коречь, который обозна шм так: л = лз. Подставляя зто значение Х = ) 3 В систем) (3) п11,1) чим систему (а„— лз) сов аз+ а„соз ()3 (-аш соз у, = О, а, совхоз ',(азз — Лз) соз рз+а„соз уз — — О, (5) аззсоз аз+ аз.
соз 03 -5(азэ — Хз) соз Уз = О. Система (5) не может иметь относительно сова„соз ))„соз у, два линейно независимых решения. В самом деле, в противном случае матрица г ам )'3 "ы а13 а21 азз )" 3 азз аз1 азз азз — йз имела бы ранг, меньший 2, и, значит, производная от характе- ристического определителя а„— ) а а, а„а,з азз — й 2 а 3 й'=(сова„сов~3, созуз), располагая векторы 3' =- (соз ам соз ()„соз уз),,т' = (сов и„соз ()„соз уз) перпендикулярно вектору 33' и друг друту, получим, что форма (1') примет Вид 1р'= а„х" +аззу"-~-аз за'+2а„х'у'. Теперь произведем поворот осей Ох'р'г' вокруг оси Ог', атому которая равна а22 23 Ь (Х)=— а„— ). а13 ~ ~ а„— Х а„ азз азз а31 азз )~ а21 а22 й при )1=13 обращалась бы в нуль, т.
е. корень ).=лз характеристического уравнения имел бы кратность больше 1 вопреки предположению. Итак, существуют только два противоположных единичных вектора 23'=(сова,, соз)з„созУ3) и й"=( — соза„— созЦ, — созУ,), координаты которых удовлетворяют системе (5). Выбирая любой из них з тзз огонея тРзвнение повегхности повороту соответствует ортогональное преобразование ззз х'=х" сова — у" з(иа, у' = х" з 1и а -1- у" соз а, г'=г", (б) которое, как было показано в з 141, можно выбрать таким, что форма а„х' + 2а„х'у'+ а„у' преобразуется в форму а„х"'+ +аззу '.
При ортогональном преобразовании зз=йз1)з форма зр преобразуется в форму р"=аззх"*+аззу" +а зг"'. (1") Теорема доказана, Отметим (и зто очень важно для дальнейшего), что а„= а„= (а„соз а, + а„соз рз+ а„соз у,) соз а, + + (аз, соз а, + а,з соз рз+ а„соз у,) соз ()з+ + (а„соз аз + а„соз йз + азз соз у,) соз уз = = Х з соз' а, + Хз соз' () з + Хз соз' у, = ) з. Так как форма зр" не содержит произведений координат х"у' и х"г", то а„=) „где ).з — также керень того же характеристического уравнения (4) отличный от Хз, и аналогично а:, =Х„где ).з — корень характеристического уравнения (4).
Таким образом, канонический вид формы р имеет вид Чз = з.зх + Хзу + Хзг где ),з, Х„Хз — корни характеристического уравнения формы зр. Из доказанного следует также, что: 1) все корни характеристического уравнения действительны; 2) если все корни А„Хз, ) з престые, то, подставляя в систему (3) Хз вместо ) и заменяя а, ()„уз на а„р„уз, получим систему, из которой можно найтй только два (взаимно противоположных) единичных вектора новой оси Ох', а при Х = Хз только два (также взаимно противоположных) единичных вектора новой оси Оу'; 3) если Хз=Хз~Х„то форма ф" имеет вид зр" = Х,х"*+ Х,у"'+ Хзгга и при любом ортогональном преобразовании з)з она не будет менять зтогв вида, так как из з(зормул (б) следует, что х'+у"= =х" +у". Таким образом, уже при ортогональном преобразова.
нии Из форма ф перейдет в форму р' = Хзх" + хзу' (- Хзг' ° '100 Г х а за ХП ПОИС1. Х НОС! !! ЗЛЛЛП1! ! !С ОБЩИМ Ь РЛИ!!НПИГМ значит, форма !р с самого начала имеет канонический нид !р = Л, (х'+ уа+ г'). Теорема 2. Общее уравнение а„х' -1- а.„У'+ а„га + 2а „ХУ+ 2а,аУг+ 2аа,гх -'; + 2а,х-)- 2а,у+ 2ааг+ а = 0 (7) поверхности второго порядка, заданное относительно общей декаптовой система координат, при помощи преобразования систепь! координат в прямоугольнуго систему л!ажно преобразовать к одно. му из следу1ощик пяти простейших уравнений*: Л1Хг-';ЛгУг+Ла2'+Р=О, где Л1ФО, Л.~О, Л,ФО, (!) Л Хг+Л,Уа+2а2=0, где Л,~О, Лг~О, а,ФО, (!!) Л,Х'+Л,У'+Р=О, где ЛтчьО, Лг~О, (111) Х!Хг+2а,У=О, где Л ~0, а, ФО, (1 !г) Х1Хг+Р=О, где Лг~ьО. Ф) * Здесь, как и в 4 141, по существу идет речь о тоз!, что целую рациональную функцию второй степени от трех аргументов: чиха+ аггУг+амгг+ 2амхУ+2а,грг+2агггх+ 2а,х+2агр+2азг+а при помощи некоторого неоднородного ортогонального (см.
ниже доказатель ство теоречы! преобразования можно привести к о,!ному из следующих пяти видов: О, Х, Ф О. Хг Ф О, О, Хг Ф О, а Ф О! О. Х~ Ф О, О, а !ь 01 О. Х Х +Хгр +Хзг +!1, где ХгХг+ХгГг+2а 2, где Х! Ф ХгХг+ ХаУа+ !1, где Х, ~ ХгХг+ 2а,У, где Х, и. Х,Хг+ Р, где Х, ьв Так как координаты сектора г' ортопормпронаипо! о базиса г', г", )г', и котором форма гр не содержит произведений л'у' и х'г', находятся всегда из системы (З)„в которой надо положить Л=Л„ то в случае Х,:=Лв~ Ла система (3) (в которой Л заменено на Л,, а а„()з, у, на а,, ()„у!) имеет два линейно независимых решения.
В к11честве ВектороВ 1" и у', кпк мы уже указыВали, !ложно в этом случае взять два любых вектора, оотогопальных вектору /г' и между собой. 4) Если, наконец, Л,=Л, = Лз, то форма !р' имеет вид !р' = Х, (х" + у'"+ г"). Но нз соотношений (1) й 100 следует, что для любого однородного ортогонального преобразования ха+уз+ г' = х" +у' +г' 3 132 Овшвв ЗРлвианиг поввяхности «от Доказательство. Перейдем сначала от обшей декартовой системы координат к декартовой прямоугольной. Так как при преобразовании декартовой системы координат порядок поверхпост««пе меняется 6 !40, и., 1), то при переходе к гекартовой ппямоугольной системе координат уравнение (7) перейдет в ура«псине такого же вида .
Поэтому с самого начала предполагаем, что уравнение (7) дано относительно декартовой прямоугольной системы координат Охуг, В теореме 1 этого параграфа доказано, что можно от прямоугольной системы координат Охуг перейти к другой прямоугольной системе Ох'у'г', такой„что в системе Ох'у г' уравнение (7) преобразуется в следуюп«ее Хзх" + Хзу'2+ «зг'2+ 2а,х'+ 2а,у'+ 2а,г'+ а= О, (8) где х1, ) 2 н ) 3 — корш«характеристического уравнения а11 — Х а, аз1 «12 а13 «122 ) а23 аз2 ««зз (9) Прн этом координаты сова«, соз р«, сову, единичных секторов 1', 7", й' новых осей Ох', Оу', Ог' 1«аходятся соответственно из систем: )1 (х'+ !) -, ')2 (У +Х) + !3 (г + — 3) +Х) =О, (11) где 31 В, а О=а — — —— Х1 зз Хз (а„— Х«) соз с««+ а„соз )) «+ а13 соз у; = О, а„соз«11+(а„— ) «)соз Р«+азз сову«=0, (10) а„соз а, + а„соз ()«+ (азз ) «) соз у; = О, 1=1, 2, 3.
1" слп 114=) „).ЗФ Хз, ) 3 эь) 1, то получаем единственную трой- ку новых осей Ох', Оу', Ог' (с точностью до вь«бора на пих по- ложительных направлений). Если )1=)2~) „то из системы (10) при «'=3 находим единственную ось Ог' (с точностью до гыбора на ней положительного направления), а оси Ох' и Оу' распола- гаем перпендикулярно к оси Ог' и друг к другу. Если, наконец, 81.:= «.2 =) „то уже начальное уравнение (7) не содержит членов с ху, уг и гх и квадратичная форма «Р, входящая в левую часть уравнения (7), имеет вид Х(хз+уз+гз).
! с луча й. Предположим, что в уравнении (8) Х,чьо, Хэлло, Х,МО, Тогда уравнение (8) можно переписать в виде 4ОВ Р в а в а «п~ позвг«ности, з«д«нныв евшим уг«зияниям Производя перенос системы Ох'у'г' так, чтобы новым началом координат была точка а,, а, Х=Х + —, вв" =у +— 1 Лв а Е =г'-)-— Лв ' и уравнение (1Ц примет вид Х,Хв+ Х,Ув+ Х,2'+ 0 = О, где ХдФО, ХвФО, ХвФО. П ел у ч а й. Предположим, что в уравнении (8) Х,ФО, ХвФО, Х,=О, авФО.
Тогда уравнение (8) преобразуем так: Х, (х'+ Л' ) + Х, (у' -1- — ') + 2а, (г'+ —,) = О, где а а 1) =а — — — —. Л, Л, ' Перенося систему Ох'у'г' так, чтобы новым началом координат стала точка (координаты точки О' даны относительно системы Ох'у'г'), т. е. полагая Х=х'+ —, У'=у + —, Я=г + —,, Лв 2а приведем уравнение (8) к виду Х,Х'+ Хв)'в + 2а,2 = О, (П) где Х«ФО, Х«~0, а, ~0.
ИФ случай. В уравнении (8) Х ~0, Х«~0, Л„=О, а,=О, где координаты точки О' даны относительно системы Ох'у'г', и обозначая координаты точек в новой системе через Х, У, Я, бу- дем иметь з ыз овшев згхвненна поаавхности 409 Тогда уравнение (8) имеет вид Л,х' + Лау" + 2а,х'+ 2а,у'+ а = О, или Л, ~х'+,— ') + Л, (у'+ — , ') + О = О, ((2) где ,1 а1 ая О=а — — — —. Л1 Л1 Производя перенос системы координат Ох'у'г' так, чтобы новым началом координат была точка т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
