1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 66
Текст из файла (страница 66)
с. в каждом нз уравнении (5) хотя бы один из коэффгшиентов при х, у или г не равен пулю. то табл. 1 сразу следует из 2 83 о взаимном расположении грех плоскостей. Бг1рочем, эта таблица следует и из обшей теории систем линейных уравнений *. Теорема.
Классификация поверхностей впгорого порядка по группам (1) — (Ч) (теорема 2, ч 152) совпадает с клоссифсасацией поверхноспзей второго порядка по характеру их места центров, иначе по рангам матриц: ам атз атз Гаы азз а„а,'~ А= а„а„а„п А*= а„а„а,з аз азз азз азз ~,аз, аз, агм аз г Предполагается, что поверхнослгь второго порядка ладана общи,и уравнением относительно общей декартовой системы координит. До к а з а т е л ь ст и о. Обозначим через В матрицу квадратичной формы, входяшей в левую часть каждого из простейших уравнений (1) — (ьг) поверхности второго порядка (теорема 2, 2 152)1 х,о о в=('о х, о (,О О ).„ Тогда В=С'АС, где 1'-матркца нз коэффициентов при Х, У, л в преобразовании х = с„,Х+ стяг'+ с,з2+ с„ у - сз зХ + сез)' + сз,Л + с„ г=сззл'+сззГ+с 2+с„ * Сн Г, Е Ш я л о в.
Ннеленпе в георжо лпнсннмх пространств Я., 1остехнздат, 1966, гл 3, $ 22, стр 60. 432 Г а а а а Хы ПОВЕРХНОСТИ ВЛДЛННЫЕ ОБЩИМ УРЛЕНЕНИЕМ выражающем координаты х, у, г точки в данной системе Охрг через координаты Х, У', 2 тои же точки в системе О'Х)'3 (уже прямоугольной), в которой уравнение поверхности имеет простейший вид (1) — (Ч). Так как Ст! Стз Сзв Сзт Саз Сзз атт атз ат, азт азз азв азт азз азз !в * Си Г. Е.
Ш и,лов. Ввслсппе в теорию лииейиых прострвиств. М., Гос техиздвт, !966, гл 3, 2 22, стр 60. невырожденная матрица, то ранги матриц А и В равны между собой. Для поверхностей ! групп!я Ки В =.3, значит, и Кй А =3. Для поверхностей И и И! групп Кя В=2, значит, и КЕА = 2. Для поверхностей 1Ч и Ч групп Кй В = 1, значит, и Кд А = 1. Далее, если Кд А = 3 (т. е. поверхность принадлежит к 1 группе), то и Кя А" =3.
Если поверхность принадлежит к 1И или Ч группам, то, составляя систему уравнений (5) 2 !55, определяющую координаты центра поверхности для простейших уравпений (И1) и(Ч), убедимся, что эта система совместна (причем для поверхностей И1 группы местом центров является ось О'2, а для поверхностей Ч группы— плоскость О'У)'). Значит, для поверхностей ! И и Ч групп система (5) также совместна, а потому па основании теоремы Кронекера— Капелли * Кя А = Ки А*. Поэтому для поверхностей П! группы Кя А = Кд А*= 2, а для поверхностей Ч группы Кй А = Кд А" =1.
Наконец, для поверхностей !1 и !Ч групп система (5), составленная для их простейших уравнений, несовместна, т. е. этп поверхности не имеют центра. Значит, несовместна и сама система (5), следовательно, Кц А" Р Ки А. Но для поверхности 1! группы Ка А = 2, значит, Ки А' =-3.
Для поверхности 1Ч группы Кя А =- 1, значит, Кя А* = 2. Поверхность второго порядка, имеющая единственный центр, называется центральной. Центральными поверхностямн являются эллипсоиды †действительн и мнимые, гиперболоиды — однополостные и двуполостные и конусы †действительн и мнимые. Для того чтобы поверхность, заданная обгцим уравнением относительно общей декартовой системы координат, была центральной, необходимо и достаточно, чтобы определитель квадратичной формы, еходящей в левую часть уравнения этой поверхности, был отличен от нуля~ $157 КОИИЧЕСКИЕ И ЦИ.11И1ДР11ЧЕСКИЕ 1ЮВЕРХИОС1И $157. Конические и цилиндрические поверхности второго порядка, заданные общим уравнением 1. Конические поверхности Определение конических и цилиндрических поверхностей было дано в Э 25. Мы перенесем эти определения и на поверхности второго порядка. Если поверхность второго порядка является конической, то ее вершина — центр этой поверхности, причем лежит он на самой поверхности, Теорема 1.
Для того чтобы поверхность второго порядка, заданная относительно общей декартовой системы координат общим уравнением а„х'+ а„у'+ а„г'+ 2а„ху+ 2а„уг+ 2а„гх+ + 2а,х+ 2а,у+ 2а,г+ а = О, (1) являлась уравнением конической поверхности с вершиной в начале координат, необходил!о и достаточно, чтобы в этом уравнении о7псутс1пвовали как члены с первы.ии степенями координат, так и свободный член.
Доказательство и еоб ходи мости. Пусть уравнение (1) является уравнением конической поверхности с вершиной в начале координат. Так как вершина конической поверхности лежит па этой поверхности, т. с. начало координат лежит на данной поверхности, то из уравнения (1) следует, что а=О. Далее, уравнения (5) б 155, определяющие координаты центра поверхности, должны удовлетворяться при х = у = г = О. Отсюда а, = аг = а, = О, и уравнение (1) принимает вид а„х'+ а„у'+ а„г'+ 2а„ху+ 2а„уг -1- 2а„гх = О. (2) Доказательство достаточности очевидно, так как уравнение (2) однородное относительно х, у, г.
Уравнение (2) после приведения к простейшему виду таково; а„х' +а„у' +а„г' =О, значит, среди поверхностей второго порядка коническими поверхностямп являются следующие: Х' , У' Х' ' —, ',— —,+ —,=О (мнимый конус второго порядка) Х" У' Х' —,+.—,— —,=О (действительный конус второго порядка) х' у' —, + —, = О (две мнимые пересекающиеся плоскости) х у а! ь! — — — О (две действительные пересекаюишеся плоскости) х'=О (две совпадающие плоскости) 434 Г л а и и Х!1, ПОВЕРХПОСТИ! ЗЛДЛННЫЕ ОБЩ!М1 УРЛЕНЕН!!ЕМ Осталын>!е поверхности второго порядка не конические, так как они либо пе пмтот центра, а сслп:моют его, то он пе лежит на рассматриваемой поверхности.
Теорема 2. Для а!ого чтобы и!терхноппь второго порядка, заданная относительно об!!(ей декартовой систел!ы координат оби(ил! уравнение»п (1), были конической, необходили! и досп!аточно, чп!обы ринги матриц I а а а а„а,з и,з а, а., а,з аиз аз Л вЂ . ! 1!2! изз аз,: и В = ' и, а 3 и. а,„и„и„аз З! З '33» а аз а и ! 2 3 были равны ллезкду стюй. Доказательство необходимости. Пусть поверхность второго порядка, заданная уравнением (!) отпоснтслы!о общей декартовой системы координат Охуг, является уравнением конической поверхности.
Пусть О'(с,, с„сз) — вершина этой поверхности. Произведем перенос системы Охуг так, чтобы попым началом координат стала вершина О' данной конической поверхности. Тогда уравпсцнс (1) примег вид о „х' + а„у' - аз,г' + 2а„зх'у' + 2аз,у'г' + 2а„г'х = О, а матрица В преобразуется в следующую: !аз! а„а, 0 ~ а„а„азз О а„а,з а!„0 О 0 0 0 Но при преобразовании переноса х=х'+сз, у=у' —,' с„г=г'+сз (3) ранг матрицы В пе меняется; это следует из формулы (5) 2 153 и того обстоятельства, что матрица г 11 12 13 1 С.„ С„ С,„ С, с„ с,з сз! с, '20 0 0 1 фигурирующая в равенстве (5) Я 153, здесь, т. е.
при переносе (3), принимает вид 1 0 0 с,2 0 ! О сз з 117. конические и цилиндРические пОВеРхНОсти а слеДОВатслыю ььг!Яетси исвыРО>кдсипо1!. !>О Ранги мату1п! г! и В' равны между собой, следовательно, равны и ранги матриц Л и В. Доказательство достаточности, Предположим, что ранги матриц А и В равны между собой, Тогда равны и ранги матриц а>, а„а„ а11 а11 а>э а1 ', аз, азз азз >, аз, азз азз аз значит, поверхность имеет центр (или даже прямую центров, или плоскость центров). Произведем перенос осей Охуг так, чтобы новым началом координат в новой системе координат О'х'у'г' стал центр поверхности. Тогда коэфф!шиенты при х', у, г' и преобразованш>м урапншит обратятся в нуль и опо примет вид где г" (х„уз, г,) есть результат подстановки координат х„, у„, г, центра О' поверхности в леву>о часть уравнения (!) атон поверхности Как мы уже указывали, ранг матрины В прп переносе не изменится.
Но В преобразуется при этом в матрицу; а„ а„ а„ 0 В аг> азз аз> 0 аз> азг азз 0 0 0 0 Г(хз,у,,г,) Ранги матриц В' и В равны, значит, равны ранги матриц А и В'. Но если Г(х,, у„г„) ~0, то ранг матрицы В' больше ранга матрицы А поэтому Г(хз, у,, г,)=0. Значит, центр О'(х„уз, г,) поверхности второго порядка лежит на самой этой поверхностй. Но этим свойством обладают только конические поверхности вто. рого порядка. 2.
Цилиилрвческпе поверхности В й 25 было доказано, что поверхность является цилиндрической то>да и только тогда, когда су!цествует система координат, В которой уравнение поверхности имеет вид Г (х, у) = О. При этом образую!цие поверхности парал,тельны осп Ог, а ее наврав.чяюще(1 является, например, линия, определяемая уравнениями Г(х, у)=О, г=О (см. теоремы ! и 2 й 25). 4 ««~ Глава Х««, ПОВСРЛНОСт!1, ЗЛдЛНПЫЕ ОВШИ ~ РРЛЫ1ГНИСМ еорема 3.
Для того ч«Г«ооы поверлнос«пь второго порядка, заданная общим уравнением а„хз-(- а.„у'+ а„г'+ 2а„ху+ 2а,„уг+ 2а„гх+ +2а,х —,' 2азу+2а,г+а=о (4) относительно общей декартовой системы координат, была «(илиндр««веской, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства Доказательство необ ходил«ости. Если уравнение (4) является уравнением пплипдрической поверхности, то преобразованием системы координат Охуг в систему Ох'у'г' уравнение (4) может быть преобразовано к виду а„х' + а„у' +2а„х'у'+2а,х'+2а,у'+а=о. (5) Но так как при преобразовании системы координат координаты х, у, г точки М в системе Ох««г через координаты х', у', г' той же точки М в системе Ох'у г выражаются соотношениями вида в ( л х = С11х + С«зу -1-С«зг, л л у=с„х -,'-с„ц'+с23г в г=сз,х +с„у'+сз,г, то, обозначая через «3 определитель С13 С23 с„с„ С,1 Сзз С31 С32 СЗЗ будем иметь ~;=)ЗЛ, К.'=КЗЛ и (5') з 153). Вычисляя «', и К, по уравне- (гм.
соотношения (4') нию (5), получим а„ а„ а„ а„ а„ а„ ам ааз =0 К4= 13= 0 0 0 0 а, а, значит, и 13=0, и К,=О. Доказательство достаточности. Пусть «3=0 и К,=О. Преобразуя данное уравнение (4) к простейшему виду, в силу соотношений « =О, КЗ=О заключаем, что и для простейшего а„а,з «121 «122 аз1 аз 2 а,з азз ~ — О, К4= .,! 0 0 0 а„а1, а„а„ а31 а32 а, а, а1, а, а„а, «Ззз '13 а, а 0 а, оа =о 0 0 0 а 4 мг. копнчгскне н цилья1д1ичсскис повея, ности 4'7 уравнения поверхности будем иметь Г, = О, К„= О. Значит, поверхность, заданная уравнением (4), принадлежит к 1!1, !Ч и Ч' гр) ипам, а все эти поверхности цилиндрические*.
Таким образом, цилиндрическими поверхностями второго порядка являются все поверхности групп 1И, !Ч и Ч и только эти поверхности: (действительный эллиптический цилиндр) лз уЛ вЂ” + —.= — 1 Ьз хз ул 2+ьзо (две мнимые пересекающиеся плоскости) л' ул — — =1 о' Ь' ха ул —., — „, = О (две действительные пересекающиеся плоскости) ха= 2ру х'= а' аз х'=О (мнимый эллиптический цилиндр) (гиперболический цилиндр) (параболический цилиндр) (две параллельные плоскости) (две мнимые параллельные плоскости) (две совпадающие плоскости).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
