1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 63
Текст из файла (страница 63)
полагая Х = х' + — ', )' = у' -)- — ', 2 = з' приведем уравнение ((2) к виду Л,Х'+ Л,!" +О = О, (ш) где Л,ФО, Л,ФО. !Ч случай. В уравнении (8) Л,=Л,=О, но хотя бы один из коэффициентов а, или а.„ отличен от нуля. Если Л,= Л, =О, а, ~0, а, =0 или Л, =Л, =О, а, ~0, а, = О, то при помощи одного только переноса осей уравнение (8) можно преобразовать к виду Л,Х'+2а,!' =О, приведем последнее уравнение к виду Л,Х'+2у а,*+а,' !'=О, Илн (если а, Ф О, а, = 0) к виду Л1Х1+ 2а,2 = О. Если жеа, ~0 и а, ~0, то при помощи переноса осей Ох'у'г' избавимся в уравнении (8) от первой степени х" и оно в некоторой системе О'х"у"г" примет вид.
Л,х" + 2а,у' + 2а, г" = О. Производя затем поворот осей О'х"у"г" вокруг новой оси О'х' )Г +.'' ~';+." Ф!О Р» а»» хп г»озеах!юсти, зллхнн ыг Озвппм»аханапием или, обозначая половину коэффппиента прп 1' по-яре кн му через а,.' ! Т +уа',У=О. (1Ч) с л у ч а й. ) з = ).з = а = а, = О. Уравнение (8) имеет вид 1,х' +уа,х +а 0 и переносом осе!! координат приводится к виду !.,Ха+О =О, где?.,~0. Теорема 3. Общее уравнение а, „х'+ а„у'+ а„г'+ 2атзху+ ?аззуг+ 2аззгх+ +?а,х+ 2а,у+ 2азг+ а = 0 поверхности второго порядка, заданное относительно общей декартовой системы координат, выразкает одну из следующих семнадцати поверхностей.
хз у» зз 1' эллипсоид — + — + — = 1; а' Ь» х»К о х» у- х' 2 мнимый эллипсоид —,+ !,, + —,= — 1' » Хз уз 3 однополостный гиперболоид —, + —,— у =1: 4 двуполостный гиперболоид — „, + —,— с, = — 1» о о х» уз з' 5 конус — + — — — =0; аз Ь' с' о х» уз зз 6 мнимый конус —,+ — „, + —,=0; хз у' 7» эллиптический параболоид — + — =уг, р) О, О) 0: Р 9 х» у' 8' гиперболический параболоил — — — = 2г, р ) О. у ) 0; Р Ч о хз у' 9 эллиптическии пнлинд𠆄, + †,, = 1; х' уз 10' мнимый эллиптический пилиндр — „, + — „, = — 1: 11 две - ые пер-екающ еся скос — 2+ Ь.
=О' » К у аз » хз у» 12 гиперболический пилипдр †, ††, = 1' » х' уз 13 две пересекаюшиеся плоскости —,— —, =О» я 1хт ог пгг х1 хвпенпв п31непх1юсти 14' параболический нплнндр 12= 2ру, р ) О; !5" две параллельные плоскости х'=а', аФО; !б' две мнимые параллельные плоскости ха= — а', а~О; !7' две совпада1ощпе плоскости х'=О.
Согласно двум предыдугднм теоремам нужно рассмотреть сле- дуюшпе случаи *. +Л у'+Л + 1) Л„Л„Ла одного знака, а 0 имеет знак, им противоположный. В втой! случае уравнение (1) можно переписать так: 22 рт 22 — + — + =1, 0 0 0 Лх Ла 0 0 0 и так как — — > О, — — ) О, — — > О, то можно положить Лх ' Л, Р— — =а' — — =йа — — =с', Л, Л, Лх = тогда получим уравнение 1', 2) Л„ Л„ Ла и 0 одного знака. В атом случае уравнение (1) перепишем в виде 23 + — = — 1 0 Хх ) рх 0+0 Лг или Хх р 2 а + + с ах Ьх с" где 2 2 а'=- —, й'= — с'=— Лт ' Лх ' Ла 3) Л, и Л, одного знака, а Ла и 0 противоположного. Перепишем уравнение (1) в виде Х Р 2 — + — — — =!.
0 0 'Х; Так как — — ) О, — — > О, — > О, то можно положить 0 0 0 Лх Л2 Лз 0 Р, 0 2 =йа и мы приходим к уравнению 3'. 4) Л„ Л, и 0 одного знака, а Л, противоположного. ' Н простейших уравнениях ! — Ч поверхпость1 второго порядка относительно декартовой прямоугогъной системы координат (см. усяоене теоремы х б !52) сиона будем обозпа1ать координаты букааын х, у, а. 4!л Глава КП. ПОВВРХНОСТИ. ЗАДАПНЫЕ ОБ!ЦИМ УРАЗИГНИРМ Перепишем уравнение (1) в виде уз З 12 уз 22 — — — = — ! Или — + — — — = — ! Р Р а' ' Ьз с' Лз Лз + Р Л! где а'= —, (22= — с'= —— Р Р, Р Л ' "з' Л 5) Лз и Л, одного знака, Лз имеет знак, им противоположный, и 0=0.
В этом случае уравнение (!) можно переписать так ! Л1 ! х'+ ! ), ! у' — ! Лз ! г' = О, или КЗ уз 22 Х' Уз 2' ! ! ! — + — — = О или — -)- — — — = О а' Ь' с' ° ! Л! ) ! Лз! где Л! ! ' ! Лз ! ' ! Лз ! ' хз уз , + —,=2г, аз ав Л, Лз или, полагая !2з аз — — =Р— — '=Ч Л, ' Лз (р > О и а > О, так как а, имеет знак, противоположный знаку Л и Л ), будем иметь: хз уз — -1- — = 2г.
у 9 6) Л,, Л„Л, одного знака, а 0 = 0. В этом случае уравнение (1) можно переписать так: хв уз 22 !Л !хл-!-!Л !уз+!Л !гз=О, илн — + — + — =О. аз ЬЗ с' 11 случай. Лзх'-)-Лзуз+2а,г=О, ЛзчьО, Л2~0, а,ФО. (11) 7) Л, н Л, одного знака. Выбором положительного направления оси Ог можно доб!пься того, что коэффициент при г в уравнении (11) будет иметь шак, противоположный знаку Л, и Л,.
В таком случае уравнение (1!) можно переписать так: 1БЗ теоаИЯ ИИВЛЕИХНТОО 8) Х, и ) з Разных знаков. Положительное направление оси Ог всегда можно выбрать так, чтобы знак а, был пРотивоположен знакУ ),м ПеРеписываа тогда уравнение (11) в виде уз —,=2г а, а х, и замечая, что а а,, — — =р>9, — з=у>О х ' х, получим уравнение 8': хз уз — — = 2г. Аналогично исследуются случаи 1!1, 1У, Ч, приводящие к уравнениям 9' — 17'.
рассмотрение поверхностей, определяемых уравнениями (1!!), (Пг) и (Ч), проводится так же, как в 3141 исследовались линии второго порядка, простейшие уравнения которых мы обозначали соответственно через (!), (П) и (111), $ 153. Теория инвариантов В настоящем параграфе будет использована теорема, сформулированная в 3 142, но для случая трех и четырех перемеяпых. Именно произведем пад переменными х, у, г пелой рациональной функции с" второй степени от этих переменных Г = а„х' т а„у'+ аззг'+ 2а„ху+ 2аз,уг+ 2а„гх + +2а,х+ 2а,у-,'- 2азг-)- а линейное неоднородное преобразование: Ф Р х = сззх + сгзУ + сз за -г со у=сззх'+с„у +с„г +с„ Р Сззг + СззУ + Сззг + С . (2) а„а„ц„~ с„с„с„' ~ а,„азз агз (сы сзз сзз а„ а„ а„ ! = сзз сзз сзз .,! ази а„ а„ ! с„ сзз сзз (4) аз1 Пзз паз/ Сзз Сзз Сзз / ~Паз Цзз Цзз ~сзз Сзз Сзз Пусть с '= а„х'*+ аз ау" + а„г' + 2а„х'у'+ 2а,зу'г'+ 2а,„г'х'+ + 2а,х'+ 2а,у'+ 2а,г'+ а' (3) функция, в которую при этом преобразуется функция с.
Тогда имеют место соотношения 414 Г л с з 3 Х(1, ПОВГР 3 Оооти, ЗЛЛЛПП!за ОВНП1Ы ЫРЛВНВНИВЫ а„а„а„а, 1121 1"зз азз аз а„а„а,„аз з а, а, а„ а С11 С 1 С31 О с,з сзз сзз О С1З С2З СЗЗ с, сз сз ! а11 а12 а!3 а1 а11 аз азз азг азз азз аз аз аз а, а с с.сзс С21 С22 Сзз С., С21 Сз2 Сзз Сз О О О1 В самом деле, квадратичная форма, входящая в состав фушо ции Г, преобразуется в квадратичную форьиу, входящую в состав функции Г' при однородном преобразовании х = с„х'+ с,у'+ с, г', (6) у=сз,х +с„у'+с„г, з г г=с„х -,-с„у гпс,г .
Отсюда следует формула (4). Далее, функция Г" может быть получена нз квадратичной формы: а„х'+ аззуз+ а,„г'+ 2а,зху+ 2а„уг+ 2а„гх+ + 2азх1 — , '2азу) лс 2азгг -,'- а(2 при 1=1, а неоднородное преобразование (2) получается из одно- родного: х=с„х'+с,у'+сззг +стг', у с 1х ~ с22Ч +с23г +с 1 ,Г г==С31Л' .Г.Сюу О-С33г -ГС31 при У'=1. Из этих соображений получается формула (о) '". Из соотношений (4) и (б) следует. что при линейном преобразовании (2) пад переменными х, у, г целой рапиональиой функции Г, при котором она переходит в функыпо Г', нмеют место соотцошепия1 а„а„а„ азг азз азз а„, а,„ азз а„а„а„с„с„с„ 2 (4') = а„а„а„ ,а31 азз азз С21 С22 Сзз з Сзг Сзз Сзз а„а,1 1123 а2 а, аз а, а а„а„ 1121 1122 азт азз а1 122 а„а„а„а, а21 азз а23 аз а„а,„а„а„ а, а, а,„а' С„С,2 Сза С21 С2 С2з СЗ1 С22 Сзз (5') Определение.
Целая рациональная функция от коэффициентов многочлена впгорой степени называется ортогояальньгм инвариаятом этого многозлеяа тязикительяо о11тогонального преобразовагзггя, " Ци Л. Р, Кур о1а. Курс высшей алгебры, азд,б. М., Фазыатгаз, 1965, й гб, стр. 169. !3" ! сория ипи 'ии истов 4!я если она сохраняеп свое значение при неоднородных ортогональных пргооразованиях переменных. Теорема !. Функции* а,1 и,з а, а.„ 3! 31 а„ а„ 1121 О22 а31 а32 а, а, (7) а23 аз! а12 "1 а„аз (8) а,.
аз аз а 13 22 23 + + аы а12 1,= а„а,з (9) (10) 1,=а„+а„+а„ являются ортогональныжи, инвариантами целой рациональной функции второй степени от трех арф.!!ентов: Р = аз,х'+ а„уз+ а,зг'+ 2а„ху+ 2аззуг+ 2азтгх+ + 2а,х+ 2азу + 2азг + а. х=х'+с,, у=у'+сз, г=г'+с,. Это доказывается так же, как и в ц 142. Поэтому достаточно доказать, что 1, и 1, явля!ется инвариаитами однородного ортогонального преобразования: х=с х+с у+с ° г, ,Р у = с, сх + сззу —,- сззг, = С311 + С32У + СЗЗ (12) Прн этом преобразовании имеет место соотношение х' + уз + гз =- х' + у' + т' (это доказывается так же, как и соответствуюшее равенство хз ) +уз х' -';у" в теореме 4 4 142). * !3 иазыаается дискрамииаитои формы ср. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как определитель ортогонального преобразования равен -!-1, то его квадрат равен 1 и инвариаптность 12 и КЗ следует из соотношений (4') и (5') иастояшего параграфа, Для доказательства того, что 1, и 1, также являются ортогональными пивариаптазт, заметим прежде всего, что коэффипиепты асо азм а„, а„, азм а„ являются инварнантами переноса 3!В Г аааа Х11 ПОВЕРХНОСТИ ЗЛДЛННЫЕ ОВЩИЧ ЗРЛВНЕНИЕМ Расс31отрим вспомогательную квадратичную форму зр = апх'+ а„уз -1- а„гз + 2а„ху + йа,„уг + 2и„гх— — Х (хз + уз + гз), (13) Прн ортогональном преобразовании (!2) она перейдет в форму зр' = а„х' + а„у" + а,аг' + 2а„х'у'+ 2а„у'г'+ 2ааиг'х*— — ) (х"+и" + г'*), (14) По доказанному дискрнминант квадратичной формы является ортогональным ннвариантом, значит, а„— ) а„а13 а„а„— ) а,„ а,„а„а„— ) ап — ) а„а„ а21 а22 )' а23 ап азз азз — )1 Это равенство верно прн всех значениях ), следовательно, равны соответствующие коэффициенть1 при У н )1 в левой и правой частях, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
