1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 67
Текст из файла (страница 67)
3. Распадение поверхности второго порядка Теорема 4. Для того чтобьс поверхность второго порядка, заданная уравнением а„х'+ а„у'+ а„г'+ 2а„ху -1- 2а„уг + 2а гх -1- +2а,х+2а,у+2а,г+а = О, распадалась на две плоскости, необходимо и достагпочно, чтобы ранг матрицы а11 1212 а12 а21 а22 а22 аз, аз азз а, а, аа а, ал аз а был меныие или равен 2. Д о к а з а т е л ь с т в о. Канонические уравнения поверхностей второго порядка, распадающиеся па двс плоскости, имеют внд; Составляя матрицу М для каждого из этих уравнений, убедимся в том, что для четырех первых уравнений лсй М = 2, а для последнего Йо М = 1.
'(ля канонических уравнений всех остальных ' Соогно1псния !2 йз О инвариантны относительно прсобразоаания спстсоо координат. Лза Глава Х!! ПОВЕРХ!10!.11! ЗЛДЛННЫГ ОВЩИМ УГЛЗ11Г!П!ЕМ поверхностей )(я М > 2. 1!рп переходе к любой общеи системе координат ранг матрицы М не изменяется, так как опа умножается слева н справа на ~свырождснпую матр!щу. Следовательно, условие КдМ(2 является пеобходплп,1м и достаточным условием распадения поверхности второго порядка па две плоскости в л юбой об!цей декартовой сисхел1с координат (а пс только в канонической).
$ 158. Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления, аснмптотический конус и конус асимптотических направлений Предположим, что относительно общей декартовой системы координат поверхность второго порядка задана общим уравнением а„хл+ а„уг+ ал,гг+ 2а„ху+ 2а„уг+ 2а„гх+ + 2а,х+ 2аау+ 2а,г+ а = О.
Будем исследовать перессчснис этой поверхности с прямой, уравнения которой возьмем в параметрической форме: х=х,— , '11, у=уа+и!1, г=га+п1. (2) Здесь (х,, у„г,) — некоторая точка прямой, а (1, т, и) — ее направляющий вектор. Подставляя в левую часть уравнения (!) вместо х, у и г их выражения из формул (2), получим следующее уравнение относительно 1: АР+ 2В1+С = О, (3) где .4 = а!!1л-) а„т'-1-а„п'+2а„1т-й2а,„!пп+2а„п(в (4) В =1(а„х, +а„у, +а,,г„+а,)+ +т(а„х,+а„у„+а,„г,+аа)+ (5) +и (аа)ха+ аллуа+алага+аз), С= — Р(ха, у,, г„) (6) (Р(хаи у„г,) — результат подстановки в левую часть уравнения (1) вместо х, у, г координат точки М„(х„, у„г,)).
Координаты точек пересечения прямой (2) с поверхностью (1) получим при тех значениях 1, которые являются корнями урав- нения (3). Если н уравнении (3) коэффициент при Р отличен от нуля, то уравнение (3) имеет два корня, значит, прямая (2) пересекает поверхность (!) в двух точках. Если же а!Х1'+ а„т'+ а„п'+ 2а„)т+ 2а„тп+ 2а„,п1 = О, (7) то прямая с направля!о!цим вектором (1, т, и) либо пересекает поверхность (1) только в одной точке, либо не пересекает ее, гВВ ПГРГС! Ч!.ИП!. гЮВСРХ поп!И ! ПРЯМОЙ либо входи~ в состав поверхности (!). В этом случае говорим, что направляющий вектор (1, пг, и) гглгсст асгвштотичсское направление относительно поверхности (!).
1!так, координаты векторов, имеющих асимптотическое направление, определяю~си из соотношения (7). Уравнение го=а„ли+а„у'- аВВге-у 2а,еху+2ае„уг-! 2а„гх=О (8) как однородное уравнение относительно х, у, г определяет кони- ческую поверхность (действительную или мппмуго), образованную прямыми, проходящими через начало координат.
Координаты х, у, г точки М, лежащей па образующей конуса, явля!отея коор- динатами вектора Огй. Таким образом, образующее конуса (8)— прямые, ! меющие аспмптотпческне направления поверхности (1) и обратно: любое асимптозическое паправленпе является направ- лением одной пз образу!свих конуса (8). Конус, опредсляемьгй уравнением (8), а также тобой конус, полученный переносом этого конуса, называется ггонугъп осгглгпгпотическггх направлений поверх- гюсти (!) (всршипа конуса, заданного уравнением (8), находится в начале координат). Асихгптотическгг,и конусах! поверхностей' гтгорого порядка, имею- гцггх центр, называется конус асисиптотических направлений, вер- шина которого лежит в центре поверхности, у Таким образом, аспмптотнческий конус эллипсопда —, + —,, + 22 Хг, гг2 22 + — =1; лппгмого зллнпсоида —.
— , '—. + . = — 1; мнимого конуса 22 ис ' Ьс ' сс 22 ггл 22 — +Х--.„с'- =О имеет уравнение 22 Ьл с' 22 с"-, 22 ил-+ —;,2 -г- 22 — О, т. е. является мнимым. Лспмптотический конус одпополостного и двуполостного гиперболоида и' 22 — + — — = ч- 1 ил Ь2 с2 пмсст уравнение Х У 2 — + —.— — =О, а' Ьл с' а аспмптотическпй конус конуса второго порядка совпадает с ним самим. г!аггее так как гппсрбочнческий параболоид — — --2г (р>О, у>О) ххв плаха хы повсгхности, элдлнныв овщим углвнением не имеет центра, то у него согласно данному выше определению иет асимптотического конуса. Один из конусов асимптотических направлений выражается уравнением хх ух — — — =О, у ч и он распадается на две пересекающиеся плоскости Все конусы аспмптотических направлений получаются всеми переносами этой пары плоскостей.
Эллиптический параболоид хх ух —,+ — =2г (р > О, д) О) также не имеет асимптотического конуса, а все его конусы асими. тотическпх направлений получаются всеми переносами двух мнимых пересекающихся плоскостей «2 уЯ х, у х . у — + — =О, илп =+~ — =О, — — ) —.=О, )х'7 Ру ')ха Уа У эллиптического цилиндра (действительного или мнимого) и у пары мнимых пересекающихся плоскостей х' у' х' у' хх ух + + + а' Ьх ' а' Ь' а' Ьх асимптотический конус состоит из двух мнимых пересекающихся плоскостей — ~) — =О.
й у ь — . У гиперболического цилиндра и пары пересекающихся плоскостей «х ух хх ух — — — =1 — — — =0 ах Ьх ' ах Ь~ асимптотический конус распадается на две действительные пересекающиеся плоскости — + —" =О и — — — =О. у а Ь а Ь У параболического цилиндра у'= 2рх конусом асимптотических направлений является плоскость у=Π— плоскость симметрии этой поверхности, проходящая через ось направляющей' у=2рх, я=О, и любая из плоскостей, ей параллельная.
Наконец, у пары параллельных или пары совпадающих плоскостей асимптотический конус совпадает с плоскостью центров поверхности, з мз, дихметькльнхя и:юскость Конус асимптотических направлений (для поверхностей, имеющих центр) получается из асимптотического конуса любым переносом.
Пусть поверхность, заданная общим уравнением а„х'+ а„у'+ а„г'+ 2а,зху+ 2аззуг + 2аззгх+ +2а,х+ 2а,у+ 2а,г+а= О (9) относительно общей декартовой системы координат, имеет единственный центр, Замечая, что 1з и йз — инварианты переноса общей декартовой системы координат, заключаем, что уравнение данной поверхности после параллельного переноса осей координат, при котором новым началом координат будет центр поверхности, примет вид а„х" + а,зу" -).
а„г' + 2а„х'у' + 2а,зу'г' + 2аззг'х' + г' — — О. Значит, уравнение аз х'+ а,у'+а„г'+ 2о.„ху+2а„уг+ 2а„гх+ + 2а,х+ 2а,у+ 2а,г+ а = — ' гз является уравнением аспмптотического конуса центральной поверхности, заданной общим уравнением (9) относительно общей декартовой системы координат. 159. Диаметральная плоскость, сопряженная данному неасимптотическому направлению. Особые направления относительно поверхности второго порядка Теорема !. Геоиетрическим местом середин параллельных хорд поверхности второго порядка является плоскость.
Эта плоскость называется диаметральной плоскостью данной поверхности, сопряженной хордам данного направления. Если поверхность второго порядка задана относительно оби(ей декартовойсистемы координат общим уравнением аззхз+ а„у'+а, гз+ 2а„ху+ 2а„уг+ 2а„гх+ + 2о,х+ 2а,у+ 2азг+ а = О, (1) а ее хорды коллинеарны вектору (1, т, и) (не име>ои(ему асимптотическоео направления), то уравнение диаметральной плоскости, сопряженной этим хордам, имеет вид 1(а„х+ а„у+ аззг+ аз) + + т (а,зх+ а,зу + аззг+ аз) + + и (а„х + аз,у + а„г+ аз) = О. (2) Доказательство этой теоремы такое жв, как и теоремы 1 9 146.
442 Г а а а а ХГ! 11ОВГРХггоотн, ЗАДАННЫЕ ОБ!дни УРАВНЕНИЕМ Из уран!и иия (2) следует, что все диаметральныс плоскости поверхностен второго порядка содержат геометрнчсское место ее неитроь, ,ели опо ие пусто, так как уравнение (2) удовлетво- ряется, если а„,х+ а„у+ а„г+а,=О, а„х+а„у+а„г+а,=О, а„х+ а„у+ а„г+ а, = О. Вектор а=(1, т, и! пскомпланарсн диаметральной плоскости, сопряженной его направлешно, так как главный вектор плоскости (2) пмсст координаты а" =-( 111+ага " ' 'ггз' азг + Ггззт Ггззп 'зз11+'гзз +аззп) откуда 1(а,11+ а,зт+ а„п)+ пг (а„1+ а„гп+ аззгг) —,- п (аз!1+ аз,т-г-аззп) = = а„1з 4-аззтз+ аззп'+ 2а,з1пг -г 2о.„тп — 2а„п1~ 0, Теорема 2.
Если гу!цествует в.кп!ор Ь неосимптопгивеекого направления, колтланарный диаметральнои плоскоггпи, сопряженной хордим поверхности второго порядка, коллинеарнь!лг вектору а, то вектор а будет компланарен диалгетральной плоскости, сопряженной хордам э!пой поверхности, коллинеорным вектору Ь. Доказательство. Пусть вектор Ь=(1,, т,, и,) компланарен плоскости (2) и не имеет дсимптотического направления поверхности (!). Тогда 1, (а„( +а„т+ а зп) т-Гпг(аз!1+азат+аззп)+ + пг (аз!1 + аз з' -'+ аззп) = О, или 1(а„1, + а„т, + а„п,)+ т (а,11,+а„т, + аззпг)+ + и (аз!11+ азгт, + аззпг) = О, а это и озпачаст, что вектор (1, т, и) комплапареп диаметральной плоскости, сопряженным хордам, коллинеарным вектору (1„т„п,).
Из доказанной теоремы следует, что если диамстральные плоскости б, и бз, сопряженные направлениям двух иеколлинеарных векторов а, и а. (не имсюьннх асимптотичсского направления) пересекаются, и прямая их перессчения не имеет асимптотического направления от!!ос!!тельно гигиерхности второго порядка, то диаметральная плоскость, сопряженная направлсниго хорд поверхнсспг, паРаллельных этой пРЯмой, компланаРпа вектоРам и, и аз Мы получаем и этом случае три дпаметральные плоскости, обладаюнгие тем свойством, что любая из иих сопряжена с направлс111гЕЗ1 ПРЯМой, ПО КОтОРОй ПЕрЕСЕКаЮтСЯ ДВС ДРУГИС. 3 а меча и и е. При определении центра поверхности второго порядка, асимптотических направлений, диаметральной плоскости ы» дп чь~ ях ~ьп»я пло» косгь и при доказатсльствс ряда теорем, связанных с этими определениями, предполагалось использование чинимых» точек.
Как указывалось по отношению к линиям второго порядка, можно включить и рассматриваемую поверхность второго порядка, заданную общим уравнснием Ф =-О относительно общей декартовой системы координат, в семейство повсрхностей Ф=-сопз(. Для эллипсоида и мнимого конуса такое семейство будет включать в себя все эллипсоиды, гомотетичвые друг другу, причем центром гомотетии будет их общий центр. Для гиперболоидов н конуса второго порядка семейство Ф = сопз( будет состоять из всех соаснмптотичсских гипсрболоидов, т. е. гомотетичпых между собой однополостных и двуполостпых гиперболоидов и их общего аспмптотпческого конуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
