1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 69
Текст из файла (страница 69)
то ах = а; = О, а, чь О. Итак, в выбранной системе координат уравнение поверхности (!) смеет вид а„х'+ а,„у'+ а,г'+ 2а„ху+ 2а,вуг 1- 2а„гх+ 2а,г= О. (2) Обратно, если а„~О, то это уравнение является уравнением поверхности, проходящей через начало координат О, а плоскость г=Π— касательная к этой поверхности в точке О. Уравнения линни, по которой касательная плоскость к поверхности в точке О пересекает поверхность (2), имеют вид а„х'+ 2а„ху+ а„у'=О, г=О. Если а„ а„ то это две мнимые пересекающиеся прямые; если б < О, то две дейстьптельные прямые; если 6=0, но хотя бы один пз коэффициентов аио аиь а„не равен нулю, то линия пересечения — две сов падающйе прямые.
Наконеп, если а„= а„= а„= О, то плоскость г=О входит в состав данной поверхности, а сама поверхность распадается, следовательно, на пару плоскостей. б 162. Эллиптические, гиперболические нлн параболические точки поверхности второго порядка В настоящем параграфе рассмотрим только действительные и нсраспадающиеся поверхности второго порядка. Пусть Π— пеособая точка такой поверхности.
Так как поверхность мы предполагаем пераспадаюшейся, то касательная плоскость к поверхности в точке О нс может входить в состав самой поверхности Могут представиться трп случая. 1" Касательная плоскость к поверхности в точке О пересекает ее по двум мнимым пересекаюи(имея прямым. В этом случае точка О назьюаетси эллитпической пгочкой поверхности. 2'. Касательная плоскость к поверхности в точке О пересекает ее по двум действительным прямым, пересекаюи(имея в точке каса. ния В этом случае точку О будем называть гиперболической.
4 !32 ТИПЫ !0~4ГК ПОВГРХНО! !и 42з 3'. ',асательная плоскость к поверхности в то2ке О пересекает ее по двул! совпадающим прян!32и. В этом случае точку О буден называть параболической. Теорема. Пусть поверхность второго порядка задана общим у рави ели!ем а„х'+ а„у'+ а„г'+ 2а„ху+ 2а„уг+ 2а.„гх + + 2а,х+ 2аьу + 2а,г+ а = О (1) относительно общей декартовой системы координат Охуг и пусть данное уравнение (1) является уравнениел! действительной нераспадаюи(ейся поверхности второго порядка. Тогда если а„а,е о„.
а, 2 22 33 2 (О аз! аз2 азз аз а, ае а а то все точки поверхности — эллиптические, если К, ) О, то все точки поверхности — гиперболические, и если К,=О, то — параболические. До к а з а тел ь ст в о. Введем новую систему координат Мх'у'г', выбирая за начало координат любую пеособую точку М данной поверхности и располагая оси Мх' и Му' в плоскости, касательной к поверхности в точке М, Уравнение (1) при переходе к системе координат Мх'у'г' преобразуется в уравнение вида (см.
(3 161) а„х' +а„у' +а„г' +2а22ху'+уа33ц'г'+2а32гх'+2а„.г'=-О, (2) где а! пи О. Вычислим определитель К, для этого уравнениьп а„а,2 а„О а„а,2 а„О ' а„а„, = — а, аЗ! а32 а33 аЗ а,„а„ О О аз О Так как при переходе от одной общей декартовой системы координат к другой знак К, пс меняется, то знаки К4 н К, одинаковы, а, значит, знаки а„ а„ К, и а„а22 противоположны. Поэтому если К, < О, то б= „а„О ) , а„а.„ и, как следует из у 161, касательная плоскость к поверхности в 15 2!. С. Мов4333 хчо Г л а еа хгь повагхностя, злдхнпыз овщим унхвнвнивм точке М пересекает поверхность по двум мнимым пересекающимся прямым, т, е. М вЂ” эллиптическая точка. Если К,) О, то б < О, касательная плоскость к поверхности в точке М пересекает ее по двум прямым, пересекающимся в точке М; точка М вЂ” гиперболическая.
Если, наконеп, К4 — — О, то и 6 - О; касательная плоскость к поверхности в точке М пересекает ее по паре совпадающих прямых; точка М вЂ” параболическая. Ограничиваясь, как уже было указано, действительными не- распадающимися поверхностями вторвго порядка и вычисляя К„ например, по каноническим уравнениям этих поверхностей, убедимся в том, что' 1) эллипсоид, двуполостный гипербвлоид и эллиптический параболоид состоят из эллиптических точек; 2) двуполостный гиперболеид и гиперболический параболоид сосгоят нз гиперболических точек; 3) действительный конус второго порядка (вершина исключается), эллиптическкй (действительный), гиперболический и параболический цилиндры состоят нз параболических точек.
$ 163, Простейшие уравнения поверхностей второго порядка в общей декартовой системе координат В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые общие;екгртовы системы координат, в которых уравнение поверхности второго порядка имеет простейший вид. 1". Эллипсоид. Примем за начало координат центр О эллппсоида, за ось Ох — произвольную осгч проходящую через его центр О, за ось Оу — произвольную ось, проходящую через точку О и лежащую в диаметральной плоскости, сопряженной направлению оси Ох, и, наконец, за ось Ог — ось, являюгцуюся пересечением диаметральной плоскости, сопряженной направлению оси Ох, с диаметральной плоскостью, сопряженной направлению оси Оу. Оси Ох и Ой лежат в диаметральной плоскости, сопряженной направлению оси Ог (теорема 2 $ 159). В выбранной системе координат в уравнении эллипсоида будут отсутствовать члены с первыми степенями координат х, у, г (так как центр поверхности является началом координат), а также члены с произгедсинями хр, уз и гх, В самом деле, уравнение диаметральной плоскости, сопряженной направлению оси Ог, т.е.
вектору 10, О, !), имеет внд аюх+ ааэ1Г+ вззг О (уравнение 12) й 159), а с другой стороны, это уравнение должно иметь вид г 0 1плоскость хОу). з 163. НРосгвпшнГ РРзвнГния поваРхноствй Отсюда азз = азз = О, азз чзз О. Аналогично доказывается, что а„=О (н что а11Ф О, а22 ныл). Итак, уравнение эллипсоида в выбранной системе координат а,зх'+ а„у'+аззг'+а О. (1) Выберем теперь в качестве единичной точки оси Ох любую из двух точек пересечения этой оси с эллипсоидом. Аналогично произведем выбор единичных точек иа осях Оу и Ог. Тогда коор- динаты точек (1, О, 0), (О, 1, 0) и (О, О, 1) должны удовлетворять уравнению (1): а„+а=О, а„+а=О, а„+а=О, и уравнение (1) принимает вид — ах' — ау' — аг'+ а = О, илн (а~О) а„ а„ 0 0 аз,а!20 0 0 0 а„О 0 0 0 а 11 12 К, х'+ уз+ г' = 1 Обратно, в любой общей декартовой системе координат уравпение х'+ у'+г'= 1 является уравнением эллипсоида, причем начало координат †э центр поверхности, а каждая коордннатная плоскость сопряжена к направлению координатной оси, не лежащей в этой плоскости.
В самом деле, поверхность, заданная уравнением х'-1- у'-1- г'— — 1 = О, действительная, имеет единственный центр (он совпадает с началом координат) и Кз ( О. Но единственная поверх!!ость, обладающая этими свойствами,— эллипсоид, 2'. Однополоетный гиперболоид. Примем за начало координат центр О поверхности, за ось Ог — произвольную ось, проходящую через центр О, не имеющую асимптотического направления и не пересекающую поверхность (из всех прямых, проходящих через центр поверхности, таким свойством обладают только прямые, проходящие внутри асимптотического конуса одно- полостного гиперболоида).
Если принять за плоскость хОу диаметральну!о плоскость, сопряженную оси Ог, то уравнение однополостного гиперболоида в такой системе будет иметь вид а „х'+ 2 а „ху+ а„у'+ а,зг'+ а = О, причем азз и а — числа одного знака, так как Ог не пересекает поверхность, Далее, 452 Г а а аа Х11 ПОВЕРХНОСТИ, ЗАПАНИ ЫЕ ОБПГИМ УРАВНЕНИЕМ и так как для однополостного гиперболоида К4 > О, а аа„ > О, то 11 12 >О а22 Отсюда следует, что любой ненулевой вектор 11, т, 0), компланарный плоскости кОу, пе имеет асимптотического направления, так как уравнение а411'+ 2а121т+ а„пР = 0 в силу того, что б > О, имеет только нулевое решение.
Отсюда следует, что если ось Оу выбрать в диаметральной плоскости, сопряженной оси Ог, за ось Ох — прямую, по которой пересекаются диаметральпые плоскости, сопряженные направлениям осей Ог и Оу (а опи пересекаются, так как первая из пнх проходит через ось Оу, по в ней пе лежит ось Ог, а вторая проходит через ось Ог и в ней не лежит ось Оу), то, как и в случае эллипсоида, получим систему координат, в которой начало координат является центром поверхности, а каждая из плоскостсй уОг, гОх и хОу — диаметральной плоскостью, сопряженной соответственно направлению оси Ох, Оу и Ог. В такой системе координат уравнение однополостного гиперболоида имеет вид а„х'+ а.„у'+ а„г2+ а = О. Здесь аа, и а — числа одного знака, а так как К,=,а,„а > О, (2) то числа а„и а.„также одного знака, причем знак чисел а„и а„противоположен знаку чисел а„, и а, г противном случае (2) являлось бы уравнением мнимой поверхности.
Отс1ода сразу следует, что ось Ох пересекает поверхност1. В двух точках Е, и Е,, а ось Оу также пересекает поверхность (2) в двух точках Е, и Е, . Прямая, по которой пересека1отся плоскости х= )/ — —, у= )/ — —, касательные к поверхности (2) в точках Е, н Е,, пересекает поВерхность (2) в двух точках Е и Е', так как, подставляя эти значения к и у в уравнение (2), получим уравнение а„аг' — а, пмеюшее два действительных и различных корня. Выбирая любу1о из точек Е или Е' за единичную точку системы координат, заключаем, что точка Е, пересечения оси Ох с поверхностью им1ет координаты 1, О, О, т.
е. является единичной точкой атой осн, а точка Е, пересечения оси Оу с поверхностью имеет координаты О, 1, О, т. е. является единичной точкой оси Оу. % 163 ПРОСТЕЙШИЕ УРЛВНВНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 453 Таким образом, из уравнения (2) имеем а„+а=О, а„+а=О, аы+азз+азз+а=О. Отсюда а„= — а, а = — а, з» аз =а и уравнение (2) принимает вид — ах' — ау'+аг'+а = О, или х'+ у' — г' = 1. (Ц) Обратно, уравнение (11) в любой системе координат является уравнением однополостного гиперболоида, центр которого совпадает с началом координат, ось Ог не пересекает поверхность, оси Ох и Оу пересекают ее (а плоскость хОу пересекает поверхность по эллипсу хз-)-уз = 1, г =О) и, наконец, каждая пз плоскостей уОг, гОх и хОу является диаметральной плоскостью, сопряженной соответственно направлениям осей Ох, Оу, Ог.
В самом деле, уравнение х' + у' †га†1 = О является уравнением действительной невырождающейся поверхности второго порядка, имеющей единственный центр, для которой К, > О, Вссми этими свойствами обладает только однополостпый гиперболоид. 3'. Дв у полости ый г и пе рболои д.
Выберем за начало координат центр поверхности, за ось Ог — любую прямую, проходящую через центр поверхности и пересекаюгцую ее (т. е. идущую внутри асимптотического конуса), а за плоскость хОу— диаметральную плоскость, сопряженную оси Ог. Так же, как в случае однополостпого гиперболоида, доказывается, что в плоскости хОу нет ни одного аспмптотического направления, следовательно, всегда можно взябрать оси Ох н Оу, так что каждая координатная плоскость является диаметральной плоскостью, сопряженной направлению той оси, которая не лежит в этой плоскости. Уравнение двуполостпого гиперболоида в этой системе координат будет иметь вид а„х'+ а„У'+ аззгз+ а =- О. (3) Однако теперь числа аз, и а разных знаков, а числа аы и а„ одинаковых знаков.
Знак чисел а„и а„противопочожсн знаку числа ахи так как если бы числа амо а,.з и а„имели одинаковый знак, а а — знак, им противоположный, то уравнение (3) было бы уравнением эллипсоида. Таким образом, числа аьо а,з а одного знака, а число а„имеет знак, им противоположный. Йе нарушая общности, можно считать, что а„ ) О, а,, > О, а ) О, аз, < О. Примем за единичную точку двуполостпого гиперболотлда (3) точку, в которой пересекаются следующие три плоскости: 454 Г а а а а ХП. ПОВЕРХНОСТИ ЗЛДЛННЫР ОБЩИМ УРЛВНЕНИЕМ 1) плоскость а 1 ааа касательная к поверхности (3) в одной из точек пересечения оси Ог с этой поверхностью; 2) плоскость Уа„д — У вЂ” а„г = О, касательная к асимптотическому конусу поверхности (3) вдоль образующей этого конуса, лежащей в плоскости дОг; 3) плоскость Уа,х — У вЂ” -а„г=О, касательная к асимптотическому конусу поверхности (3) Вдоль образу!Ошей этого конуса, лежащей в плоскости хОг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
