1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 71
Текст из файла (страница 71)
+ 2а „п1 ~ О, т. е. вектор и пе имеет асимптотического направления. Соотношения (2) теперь выража/от то, что этот вектор ортогонален диа. метральной плоскости, сопряженной его направлению, ф !66. Число главных направлений поверхности второго порядка Докажем следу/ощие положения. !'.
Если ), = ) 1 — простой корень характеристического ур;тления то система (2) (/ !64 имеет ненулевое решение, но не может иметь два линейно независимых решения. В самом деле, если бы система (2) (при ) =) 1) имела два линейно независимых решения, то ранг определителя Л(Х) был бы ниже 2 н потому дд'().1) =О, т. е, )1 было бы корнем уравнения Ь(Х) =-О, кратность больше 1, 2'. Если )дпьХ2, то ненулевые векторы а,=(1„т„пд) и а,=(1,, т,, пз), которые мы получим из системы (2) при )з=)з и /,= Х, ортогопалызы друг другу, В самом деле, пз соотношений а1111+ а„зпд, -р а,зп, = Х/1„ азд 1 + /122 1 + /128 1 ~'1 11 аз/11 дп/дздтд + аззпд = Хдпд а„12+а„тз+ а„п, = 1212, а„12+ а„т., '- азз/12 = х.т„ //8112 т азз///2 + азз/12 азиз находим /2 (а, „1, + а„т, + а„п,)+ т, (азд/1 -да,зт, +аззпд)+ + из (а, 1, + а„т, -!- а „и,) = ) 1 (1112 + /1/дпдз + п „пз), 1,(а„12+а„тз+а„п,)+ т,(а2,12+а„т, +а,„п,)+ + п,(а/112,'- пззтз+ аззп,) =-).1 (1,1, (- /п,т, +п,пз).
460 Р л а на хы. поввгхиости, злдхиные овщим утввпвиивм Левые части этих равенств тождественны, значит, ~>()А+ '"гт>+ ">и ) =)е(>А+'и т;+п>п>) илп (), — ),) (1,(э + т,пг, + ч >и,) = О, и так как )>~)э то >>>> + т>п>> + п>пэ = Оз а это значит, что а, ) и,. Р1з доказанного, а также из предыдущего параграфа приходим к следующим выводам.
1. Если >>Ф)„),4:)в, Х,~=)'„)>~0, "ьэ-'О, Х,~О, то поверхность имеет только трн попарно перпендикулярных глав. пых направления. 1 Е Если Х> = Х,:ф:Х„ Х>Ф.О, ), ~ О, то поверхность имеет одно главное направлейие, соответствующее корша ),=)чо и всякое направление„к нему перпендикулярное, также будет главным. В этом случае поверхность второго порядка является поверхностью вращения. 111. Если )>> = ), = )>г ~: О, то любое направление является главным (сфера). 1>>. Если ) >:ФО, )>, ~0, ) >~).„Х,=О, то поверхность имеет два главных взаимно перпендикулярных направления.
Ч. Если >,> = 3.„~0, ) в =О, то любое направление, перпендикулярное вектору, соответствующему корво ) „будет главным (поверхность вращения), Л, Если ).>Ф.О, ),=Л,=О, то имеется одно главное направление, соответствующее корню ).. Диаметральная плоскость, соответствую»(ая главному напрасленспо, называется главной диал>етральной плоскостью. Главпыс диаметральные плоскости — это плоскости симметрии поверхности, а главные направления — это направленая прямых, пе имек>щих асимптотичсского направления, перпендикулярных к этим плоско.
стям симметрии. .'3 а меч а н не. Все центральные поверхности, не явля>ощисся повсрхностямн вращения, имеют по три плоскости симметрии, попарно перпендикулярные друг другу, н по три осп симметрии, имеющие главные паправлепкя, перпендикулярные к плоскостям симметрии н проходящие через центр поверхности. Каждая из центральных поверхностей вращения обладает плоскостью симметрии, проходящей через ее центр и перпендикулярной к оси вращения.
Кроме того, плоскостями симметрии будут все плоскости, проходящие через ось вращепия. Осью симметрии в этом случае будет ось вращения, а также всякая прямая, проходящая через центр поверхности и перпендику: ярпаи к осп вращения. Все осн симметрии идут по главным направлениям. з !зз Опррдглрнир расположения пОВеРхнОсти 461 Эллиптический параболоид, не являющийся параболоидом вращения, и каждый гиперболический параболоид имеют по две перпендикулярные друг к другу плоскости симметрии, являющиеся главными диаметральными плоскостями. Линия их пересечения является осью симметрии поверхности*.
В отличие от осей симметрии центральных поверхностей ось симметрии параболоида имеет не главное, а особое направление, причем ось симметрии, являющаяся линией пересечения плоскостей сидддиетрии, пересекает параболоид в одной точке — в его вершине. Параболоид вращения имеет одну ось симметрии — ось вращения. Всякая плоскость, проходящая через нее, является главной диаметральной плоскостью. Рассмотрение главных диаметральных плоскостей и осей симметрии для остальных поверхностей второго порядка предоставляется читателю.
$ д66. Определение расположения поверхности второго порядка по отношению к декартовой прямоугольной системе координат Постановка вопроса О расположении поверхности второго порядка, заданной общим уравнением относительно прямоугольной системы координат, аналогична постановке этого вопроса для линий второго порядка, а именно, помимо канонического уравнения поверхности второго порядка надо знать ту (каноническую) систему координат, в которой уравнение поверхности имеет канонический вид, а для этого необходимо знать новое начало координат атой системы и направления ее осей, Для центральных поверхностей достаточно найти координаты центра из системы аддх+ адзу чь адзг+ ад = О, а„х + а„р + а„г+ аз = О, ()) азах+ аззу+ аззг+ а, = О, и координаты векторов, имедощих главные направления, из системы (а„— Х) г + ад,т + адзп = О, а„(+ (а„— Х) т+ а,зп = О, 12) а„(+а„т+(а„— Х) п=О, где вместо Х надо подставлять корни характеристического уравнения.
В случае центральных поверхностей вращения достаточно найти координаты центра и координаты направляющего вектора * Гиперболический параболоид, который пересекается с касательной плоскостью в его вершние по двум взаимно перпендикулярным обравуюпдим, имеет зтн прямые своими осями симметрии. 4ВД Р а а а а КПЬ ПОБЕРХНОСТИ, ЗАЦАННЫЕ ОБЩИМ УРАБНЕНИЕМ осп вращения, соответствующего простому кори;о характеристического уравнения.
В случае сферы достаточно определить коордпнагы ее центра и радиус. В случае, если общее уравнение поверхности второго порядка является уравнением эллиптического или гиперболического цилиндра, вопрос о расположении решается так: уравнения (1) явля1отся уравнениями места центров (прямая); координаты векторов главных направлений (если данная поверхность не является круговым цилиндром) находятся из системы (2), куда надо подставлять вместо А отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Если рассматриваемое уравнение является уравнением прямого кругового цилиндра, то для определения его расположения достаточно знать уравнения его оси (уравнения (1)) и радиус. Для нахождения свободного члена 0 в простейшем уравнении эллиптического или гиперболического цилиндра можно и не пользоваться для вычисления 0 семииивариантом КБ, т. е.
Не пользоваться формулой Число 0 в простейшем уравнении равно результату подстановки координат любого из центров в левую часть данного уравнения поверхности (это, между прочим, верно по отношению к простейшему уравнению любой из поверхностей, имеющих центр). Координаты же какого-нибудь центра (в случае эллиптического и гиперболического цилиндра) находятся из уравнений (!), Для параболоидов надо определить координаты вершины О', координаты векторов е,, е',, имеющих главные направления, координаты вектора и,, к ним перпендикулярного, и каноническое уравнение в системе О'Х)'2, в которой за положительныс направления осей О'Х, О')' и О'/ взяты соответственно направления вектоРов еп е'„ и еа.
ДлЯ паРаболоида вРащениЯ достаточно опРеделить координаты вершины и координаты вектора, коллинеарпого осп вращения. В отличие от центральных поверхностей прн определении направления вектора е, иам нужно знать не только прямую, направление которой этот вектор определяет, но и направление того луча этой прямой, который проходит внутри параболы, являющейся сечением параболоида плоскостью ХОЕ канонической системы координат.
6 !66. ОПРЕДЕЛЕНИР. РЛСПОЛОЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ Докажем что вектор е, = 116, т„п6), координаты которого определяются из системы (),=О) аы1+ а„т+ а„п = О, аг 61 + аггт + авбп = О, (4) а611 + авэт+ а66п О, будет направлен внутрь сечения параболоида плоскостью ХОЛ тогда и только тогда, когда )., 1а, 16 + абт + аап,) < О. (5) В самом деле, будем считать векторы е,=(1,, т,, и,), е,=-)1„тг, П6), е,=)16, т„пв) единичными.
Не изменяя начала координат, направим попые оси координат Ох', Оу', Ог' соответственно по этим векторам. Тогда формулы преобразования координат буду~ иметь вид х=1,х'+1,у'+1,г', у=т,х'-) т,у'+твг', г=п,х'+п,у'+л г', а обшее уравнение параболоида а„хг+ а„у'+ а„г'+ 2а„ху + 2а„уг + 2а„гх+ 2а,х -1- 2а,у -1- +2ааг+а=О примет вид Х,х" +) ву' + 2а',х'+ 2а',у'+ 2а',г'+ а = О, где а,' = а616+ агт6+ авпв, Далее, при помощи переноса осей мы преобразуем последнее уравнение к простейшему: ) тХ'+ 66 Кг + 2а,'2 = О, причем по-прежнему а,=а,1,+а 6п,+а,л, Сечение параболоида ХТХв 1 Л Ув +2а 2 О плоскостью ХОУ является параболой, уравнения которой ) Хг -1- 2а',Я = О, )' = О.
Значит если "ь,а, < О, то ось О'7 направлена внутрь сечения, а если Я, а, > О, то — во внешнюю сторону этого сечения. Длв 464 г а а за хы повеР 1ности злдлнные Оеп[нм уелвн гнием определения знака произведения )'1а„=- )'1 (а113 + азп19+ азпз) несущественно, будет вектор е, =(1„т„п,) единичный нлн нет. Поэтому окончательно, если ),(а113+азтз+азпз) <О, где координаты вектора е', = (19, т, пз) определены из снстемы (4), то вектор е, направлен внутрь параболы, являющейся сечением поверхности ) 1Х3+ лз)'3+ 2а',Я = 0 плоскостью ХО'Е, а если ) 1(а113-)- а,т,+а,п,) ) О, то — в противоположну1о сторону. 3 а меча ние. Обозначим через а,з алгебраическое дополнение элемента ам в определителе 1,, Тогда каждый из векторов р=(а„, а„, а13), Ч (1121 азз азз) ( 91 32' 331 как это следует из системы (4), будет коллинеарен вектору е',. Значит, вектору е', будет коллннеарпа и следующая линейная их комбинация: — (а, р+ а231+ а г) = — (а,а„+ а а„+ а а „ 1 1азз+ азазз+аз129 азазз+ азазз+азазз) = ( а, а„а„а„а, а, а„а1, азр) -( — ...,.„, — „..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
