1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Тогда 1= )/à — ', Уа„=У вЂ” а„, У откуда ааа= — а, а, =а, а„=а, и уравнение (3) примет Бид аха+ ад' — аг'+а=О, х'+ д' — г' = — !. (111) Обратно, это уравнение является уравнением двуполостного гиперболоида, центром поверхности является начало координат, координатные пл ~скости дОг, гОх и хОд — диаметральные плоскости, сопряженные соответственно направлениям осей Ох, Од и Ог, Ось Ог пересекает поверхность в двух точках, а плоскость хОд поверхность (!11) не пересекает. Единичная точка указана выше, В самом деле, уравнение (!!1) является уравнением действительной поверхности второго порядка, имеющей единственный центр, причем существует плоскость, проходящая через этот центр и не пересекающая поверхность. Этими свойствами из всех поверхностей второго порядка обладает только двуполостный гиперболоид.
Можно рассуждать иначе: поверхность (111) нмеет действительНЫй аСИМПтатИЧЕСКИй КОНУС Х'+д' — г'=О И дпя НЕЕ ГХа (О. Этими двумя свойствами обладает только двуполостный гиперболоид. 4'. Эллиптический па раболоид. Выберем любую точку О поверхности за начало координат, за ось Ог — любую ось, проходящую через точку О и имеющую особое направление отноцпельно поверхностн, а за плоскость кОд плоскость, касательную к поверхности в точке О.
4 мз. пвовтвишив явхвнвния поев!:хноятви 455 и эта плоскость принята нами за плоскость хОу, то а,=аз=-О, аз~О 1(роме того, а=О, так как начало координат леж!!! па поверхности. Далее, так как вектор (О, С, 1~ имеет особое па. правление, то система азз(+ а!за+ агзг! О, а„! —; а„т+ а„а=О, аз!1 + аззл! + аззп = О должна удовлет!.оряться прн (=О щ О, п=! откуда а„,, = аз„= а„О. Уравнение поверхности в выбранной системе координат имеет еид а„х'+ 2а!зху+а„уз+ 2а,г=О, !де а, ФО. 1 ак как 'ля эллиг!тн веско!'о пв(! !йоланда Кз ( О н аз ~ О то а„а,зО О а„ О О О а, О О а!О 6=-~ " " >О. ~ а„а.„ Отс!ода следует, что в касательной плоскости хОу к поверх.
ности эллнпт! ческого параболопдп пет ненулевых векторов (1, ':, Ог, имеющих асимптотическое направление. Выберем эа ось Оу произвольную ось лежащую в касательной плоскости к п<юерхности. Диаметральная плоскость сопряженная направлению оси Оу, имеет уравнение а„х+а„у=О, Заметим, что ни одна иэ касательных плоскостеь к эллиптическому параболоиду не содержит особого направления этой поверхности.
В самом деле, касательная плоскость к эллиптическому параболоиду в любюй его точке имеет с эллиптическим парабо. лоидом только одну общую точку Π— точку касания. Любая прямая. проходящая через точку О и лежащая в плоскости, касающейся эллиптического параболоида в точке О, пересекает поверхность эллипт!.ческого параболоида в двукратной точке О, а прямая особого направления, проходящая через точку О, ! ересекает эллиптический параболоид в одной (не кратной) точке О. Отвюда следует, что выбранная нами ось Ог не лежит в плоскости хОу, касающейся эллиптического параболоида в точке О Так как уравнение касательной плоскости к поверхности, заданно!! общим уравнением в ее неособой точке, в случае гслп эта точка является началом координат, имеет вид а,х+ а,у+а,г=О, 456 Г а а аа Х11, ПОВБГХНОСти, ЗАДЛННЫС ОБЩИМ УРЛВНСНПСМ значит, проходит через ось Ог. Примем за ось Ох пряму1о, по котороп пересекаются касзтельпая плоскость к поверхности в точке Р с .;Намстральной плоскостью, сопряженной оси Оу.
(Плоскость уОг будет тогда диаметральной плоскостью, сопряженной папраслспни оси Ох.) Так как плоскость хОг является диаметральной плоскостью, сопряженной оси Оу то уравнение а„х — , 'а„у=О должно приводиться к уравнению у=О, т. е. а„=О, а„ФО.
Итак, в пыб1рапной системе координат уравнение эллиптического параболоидл имеет вид а„х'+ а„аУа+ 2а,г = О. (4) Из условия К, < О и того, что а,АБО, находим а„аа, ) О, так что а„н а,,— числа одного знака. Йе нарушая общности, можно считать, что знак а, противоположен знаку а„и а„(в противном случае достаточяо изменить направление оси Ог на противоположное). Рассмотрим сечение эллиптического параболонда плоскостью г = ! .' а„хл+алэУл+2а,=О, г=1.
Это уравнения эллипса. Пусть Р— одна из точек пересечения зтого эллипса с его диаметром у=О, г=1, а Π— одна из точек пересечения с другим диаметрох1 к=О, г=1. Принимая параллельные проекции точек Р н 0 на оси Ох и Оу по направлению осп Ог за единичные точки осей Ох и Оу, получим а„+ 2аа = О, а„+ 2а = О. Тсперь ) равнение (4) принимает вид ха+у' — г= — О, (!Ч) Обратно, уравнение (!л1) являстся уравнением эллиптического параболопда, так как поверхность (1Ч) не имеет центра и для уравнения (1Ч) Ка < О, Плоскость ЛОу †касательн к поверхности (1~1) в начале координат.
Ось Ог имеет особое направленно. Плоскости хОг и уОг †д диамстральныс плоскости, сопряженные соответственно направлениям осей Оу и Ох. 5'. Гиперболический параболоид. Как и в случаеэллпптнческого параболоида примем за начало координат любую точку О поверхности, за ось Ог — ось, проходящую через эту точку н имеющую особое направление относительно поверхности, а ва плоскость хОу — плоскость, касательную к гиперболическому параболоиду в то кс О.
! !Оз. пгостейи!ие игхвнения повегхностги Как и в случае эллиптического параболоида, докажем, что ось Ог не лежит в плоскости хОу (здссь любая прямая, проходящая через точку 0 и лежан!ая в касательной плоскости к гиперболическому параболоиду в точке О, либо пересекает его е двукратной точке, либо лежит па поверхности; прямая же, проходгпцая через точку 0 и имеющая особое направление, пересекает поверхность в одной простой точке 0). Уравнение гиперболического параболоида в выбранной системе координат имеет впд а„х'+ 2а !эху + а„у'+ 2а,г = О, где а ~ 0; (А) однако здесь а а.~ 6= " !г~ <О аю агл! и в плоскости хОу имеются аспмптотпческпс направления относительно рассматриваемой поверхности.
Отметим, что этп аспл!птотнческие направления явля!отса направлениями действительных прямых (В) а„х'+2а„ху (-а„у', г=О, по которым поверхность гиперболического параболоида пересекается касательной плоскостщо в точке О. Выберем в качестве оси Оу ось, лежащую в касательной плоскости к поверхности (А) в точке 0(0, О, 0) и не совпадающу!о ни с одной из прямых (В), т.
е. не имеющую асимптотического направления относительно поверхности. Лпаметральиая плоскость, сопряженная оси Оу относительно поверхности (А), будет иметь уравнение а„х+а„у=О, и если ее пРинЯть за ось Ох, то бУдем нлиеть а,,=О, ага эьО, и уравнение (А) примет вид а„,х'+ а„у'+ 2а,г = О. Здесь (в силу условия К, ) 0) а„и а,,— числа разных знаков. Выбором единичной точки системы координат последнее уравнение можно привести к виду х' — у' = г.
(Ч) Обратно, уравнение (Ч) является уравнением гиперболического параболоида, так как эта поверхность ие имеет центра, и для уравнения (Ч) К4 > О. Начало координат лежит на поверхности, Ось Ог имеет особое направление Плоскости хОг и уОг †диаметральныс плоскости, сопряжеипыс соответственно осям Оу и Ох. Плоскость лОу является плоскостью, касательной к поверхности и начале координат. 358 Р заза Х((, ПОВЕРХНФвтгг ВЛДЛННЫН ОБШИМ УРАЗНРНИВзг Читателю рекомег дуется сформулировать н решить аналогичные вопросы для следуюших повегхностей второго порядка: к'+ уз — ге=0 — действительный певырождаюгггийся конуг гторого порядка; х2+11 — 1 хз из= 1 .
2 — х $ 164. Главные направления поверхности второго порядка Определение. Главньглг направлени и поверхноспт впгорогс порядки наэываепгсв неасимптоп инеское направление этой поверхности обладающее тел свойс(((волг, что диаметральная ггл'скость, сопряэкенная этсгл(у направлению, перпендикулярна к нему. Пусть поверхностг. Второго порядка задана обш гм уравнением а„ха+ а„у'+ а„г'+ 2аг,ху + йа„уг + 2а„гх+ йа,х + + 2азу+ 2азг+а= 0 (1) относительно декартовой прямоугольнои системы координат, 1(усть сектор а= ((, т, (г» имеет главное направление Тогда он б) дет коллппеареи гектору = (аы(+ а,за+ а,зп, а„(+ а„я+а,зп, а,(+ а„зт+аззп», нормальному к дпаметральнон плоскости, сопряженной паправле- нг,ю г екгора а (~ 159, теорема 1).
Следовательно, а„!+а„го+а,зп=)(, (2) агг' + аззт+ аззп — кп (а„— )) ( -'; а,пг+а,за = О, а,(+(а,,— ),)пг+а„( =О, аз,(+ а,„т+ (о„— ).) и О, вектор ((, т, и» ненулевой, то а„— х а„аз Ь())=~ а„а„— ) а„=О, ! (131 азз '123 (2') и так как (3) или Ха (,У+ (,)„( =О, (4) /, — гпвариапты ортогонального преобразования (5 153). образом, если вектор а= ((, (и, и» имеет главное наотносительно поверхности (1), то имеют место соотно- где (,, 1, Таким правление — действительные нераспадагошпеся пплиндрические поверхности второго порядка. 2 188 чнсло ГЛХВИЬ/Х 1/ХПЕХВ//Кипи шепни (2), где 2 — корень характеристического уравнения (3).
Этот корень ) характеристического уравнения не равен нулю, так как в противном случае вектор и имел бы относительно поверхности (!) особое, следовательно н асимптотическое, направление. Обратно, л/обой ненулевой вектор а = (1, пд, п), координаты которого определены из системы (2), где Х вЂ отличн от нуля корень характеристического уравнения, имеет главное направление относительно поверхности (!). В самом деде, при Х Ф 0 и а = (1, /п, и) ~0 из соотношений 12) следует, что 1(адд1+ адз/П+а18П) — ', т (аз/1+ аззп/+ аззП) + П (аз/1+ азз/П+аззп) Х(12 + т2+ п2) адьо или а,11'+ а„т'+ а„пз + 2а „1т + 2а.„/и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
