1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Кроме того, — = — 1<0; следовательно, данная поверхность — однопоК4 )з лостный гиперболоид. Пример 4. Определить внд к расположение поверхности, заданной относи. тельно декартовой прямоугольной системы координат уравнением хз+ буг+ гз+ 2ху+ бхг + 2уг — 2х+ бу+ 2г = О. Находим )з= 36 Кг=36 !1=7. так как 71)з<0, Ка>0, то данное урааневне выражает однополостный гиперболоид. Далее, уз=О.
Характеристическое уравнение Лз — 7 Лз+36=0 имеет корни Л1=3, Лз=б, Л = — 2 470 Гав*а «Гг ПОВНПХНООти, аанаННЫИ ОВШНМ ЬПЯПНЯННИЫ Простейшее уравнение 3Х'+ ОУ з — аз + — = О, илн Координаты пентра я+у+ Зг— откуда яоверхпости найдем, разрсшая систему ! =О, к+Зу+г+3=0, Зх+у+г+1=0, 1 2 2 к=- —, у= —, г=— 3' 3' 3 11ентр откуда ()о тм л,1=(1, — 1, 1Ь Аналогично находим векторы )1,, т,, л,)=)1, 2, 1), (1,, т,, лэ) =)1, О, — 1), дающие направления осей: меньшей оси ~орлового эллипса и оси поверхности.
Тем самым расяоложение поверхности определено Составим еще формулы преобразования координат Найдем сначала единичные векторы 1', 1", й', идущие в поло.кительных направлениях осей О'Х, О')г, О'Л: отсюда Х )г Уз У'С ' Рг2 Х 21' )'" 3 У'б Х 1' 3 2 ')та у'бс )12 3 Х== ~г+ — — (у+ —,)+г — — ~ = '1'+ 3 + (у+ )+г а"— — — — )х+ —,— ~г — —,) ~ Обозначая через 1т, т„л, ~ оординаты векгора, коллннеарного ббльшей оси горлового эллипса, находим эти координаты из системы 11 — 3) 1, + т, + Зл, =.О. 1т+(5 — 3) тт+лт=0, 3),+ +П вЂ” З)л =О, !67, !!Римгпь! и алдлчи к Гплвн хт! Пример 5.
Определить нил и располоменне поверхности, задаю:ой относительно декартовой прв .оу!олькой сизтечы координат уравнением 1хз+ уз+ их'-2хр+ йр.+ Чх — 2р =0 1! Первый способ решен и я Гостзвляем систеь!у уравнений прелеляющих координаты пеитра! 2х-!1+2=0, -х+Л+г — 1=0, н+2г=0. Зти уравнении свлшотс ! уравнения зк !рех плосковтей, прохоляшит ьгпсч одну прямую Полагая у=с=О, паходнмточку,— 1, О, 0), являющуюся с «м из пентров поеерхяости, 1!аправля!оший вентор прямой венгров (1 'т, — !), з сами уравнения прямоп пептров х=- — 1+1, а=21, г= — ! Перенося оси координат !ак чтобы новым начало,! коорднсат стала гочка ( — 1 О, 0), получим что з новой гистсме коордипа! уравнение поверхности имеет вид .х'з.( ры.)-2з'з — '1х'У'+'1Ц'3'+ О=О, 21 где П вЂ” результат подставовни координат гочка ! — 1, О, 0) в леву часть уравнения (1), т е 0= — 2.
Уравнение (21 принимает вид 2х'+ь'з+2х'з — рх'р'-1 2у'з' — 2=0 Сос!виляя и решая характеристическое трав ~ение ! 2-Л вЂ” 1 — 1 1 — Л 1 =О, О ! 2 — Л нлн ),з — бЛз+6Л=О, получим Л!=2 Лз=3 Лз=й Поэтоьзу, повернув осн 0'х'д'е' вокруг точки 0'( — 1, О, 0) так чтобы оги 0'х' и 0'р' пошли го главным направлениям, соотватствтющнс карпим )и=2 н Лз=З, получим уравнение поверхности в виде (свободный член — 2 пс изменится) 1Х +Л' — 2=0 Координаты зе! тора, коллинеарпого меньшей оси направляющего эллипса, являющегося сечением поверхности плоскостью ХО'У найдем, решая систему 2- 3) 1, — ш, + ' л! = Π— 1!+ (1 — 3) тз+л,=О, О 1,-г!я,+(2-3) л, =-О, 472 Раааа Х1! ПОВЕРХНОСТИ.
ЗАЦАННЫЕ ОГ/ЦИМ УРАВИЕНИЕМ откуда (1,, а11 л,)=( — 1, 1, 11 Аналогично нз системы (2 — 2) !з-та+О пз — — О, — 1,+(1 — 2) те+аз=О, находим вектор 0 (з+тз+(2 — 2) лз=0 (!г, тз, пг) =(1, О, 1~, колликеарвый большей оси указанного зллипса. Уравпевия плоскостей симметрии, проходящих через осш — (2х — д+2)+( — х+д+г — !)+ у+2г=О, 2х — у+ 2+ 0", — х+ у+ г — И+ у+ 2г = О, или х — д — г+1=0, х+г+1=0. Втор о й си особ. Находим (з — — О, К4=-0, !г —— 6, Кз — — — !2, !4=6, ! >о, !1Кз(о! каноническое! Х' =1 Уравнения оси: 2х — у+2=0, — х+у+г — 1=0, у+2г=О Отсюда находим вектор (1,2, — ф имеющий направление оси Главные направления и главные диамстральные плоскости нахолим таи, как указано в первом способе. Пример 6.
Определить вид и расположение поверхности, заданпон отно- сительно декартовой прямоугольной системы координат уравнением уз+ 2ху+ 4хг+ 2уг — 4х — 2у = О, Решение. 1,= ! 11 .=О, 0 ! 2 — 2 ! ! 1 2 ! 0 0 — 2 — ! 0 0 =О, уравнение выражает эллиптический пилнндр Характеристическое уравнение кг — 5).з+ 6А = О. Его корни 1„=2, Аз=6, ),з=О. Простейшее уравнение 2Хг+ 3)'з — — = 0; !2 6 4 1ет. примеры и зАдлчи к Главе хд1 473 Кз= 1 1 — 1+ 20 0 1 1 — 1 1 О О(=О, — 10 0( 1,=0+!+0=1: так как 1з=К,=О, !в<0, Кв=О, то данное УРавневие опРеделает паРУ пересекающихся плоскостей Чтобы найти уравнения этих плоскостей, разложим левую часть данного уравнения на линсйьые относительно х, у, г иножителнд ув+ 2ху+ 4хг+ 2уг — йх — 2у = уз+ 2 (х+ г — 1) д+ 4хг — 4х= =уз+2,'х+г — 1) у+(х+г — 1)'+4хг-4х — (х+г-1)в= =- (х+ у-'„г — 1)'+ 4хг — 4х — х' — 2хг — г' — 1+ 2х+ 2г = =(х+ у+ г — 1)' — хз+ 2хг-2х — гв+ 2г- ! =(х+ у+ г — 1)з— — (хв — 2хг+2х+гв — 2г+ 1)=(х+д+г — 1)в — (ха+2(1 — г) х+(1 — г)в! дз =(х+у+г — 1)в — (х — г+1)в=(2х+у) (у+2г — 2).
Отсюда находим уравнения плоскостей, на которые распадается ланная поверлпостдн 2х+у=О, д+2г — 2=0 Пример 7. Определить внд и расположение поверхности, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат уравнением 5х' — у'+ аз+ 4ху + бгх+ 2х+ 4д+ бг — 8 = 0 Иаходим !в=О, Кз=рб Данное уравнение выражает гннерболическии параоолоид Далее )д=5, !в= — 14 Характсристическое уравнение Лз ЗЛв 14Л О. его кощщ (5 — 7) 1д , '2тд-(-Зл,=О, 2(д+( — 1 — 7) тд+ 0 л,=О, 3!в+О тд+(1 — 7) лд — — О, откуда (1д, тд, лд) =(4, 1, 2~ Аналогично из системы (5-1- 2) 1, + 2т, + Зла = О, 21в+( — 1+2) лдв+ О.ив=О, 31,+О тв+(1+2) и; — 0 Лд=» )в= — 2 Лз=О Координаты 1д, т„л, вектора, коллапеарпого оси 0'Х, находим иа системы 474 Раз ° з ХН.
ПОИИРХНО6ТИ, ЗАДАННЫГ ОВШИЬЪ УРАВНЕНИИМ входи и ььек вор (!е, гнв, «в)=» — 1, х, !», коллинеарвый осн 0'у Вектор «„«в) =(1 2, — 3). колль еариый оси веверхвоста ьахознм из системы б!в+ йль,+ За ~0, 2!з — ль„+ О.пз О„ 3!в+О.ль,+я =0 как вектор, сооьвстствуюший значению Х, О. Простейшее уравнение 7Х вЂ” 2- — 2 !У73=0, у!б а каноническое Хв !в — — — =23, 4 2 73/ !4 )Г 14 Ган как аз!в+адах.» азп„= ! !+2 2 — 3 3 < О, то ве тор» 1, 2, — 3) направлен в позожительноз направлении оси па. раба ыь 7Х вЂ” )l 7 =О, !' =О.
-/8 Верпьииу иахолим из системы Зх+ 2д + Зг+ 1 = г, 2х — д +2=21, Зх + г+3= — Зт, !х+2д — Зг', с+х+2д+Зг — 8=0. Сначала находим а,!в+аята+авн, ! ° 1+2 2 — 3 3 2 ! ь ь„Г+ьь6 в в в "ример 8. Определить вид и расположепие поверхности, заданной относнтевьно декартовой прямоугольной системы координат уравнением хв+ д" + 4г'+ 2хд+ 4хг+ 4дг — бг+ ! = О. Находим Гз-О, Кв=О, !в О, Кв~ — 18 ~ О, данное уравнение является уравнением параболического цилиндра Перепишсв его в виде ьх+ гг+2з)в — бг+ ! =0 4 ит и!'имнры и злдачн к Главк хп 476 Уравнения х+ у+2г= О, являются уравнениями прямолинейной находим вектор ~,=~ — 1, — бг+1-0 образуюшей, из этих уравнений 1, О», коллинеарный образующим.
(чоордипаты вектора и, вдув!его ао единственному главному направлению, находим из системы (ут =6) — б!г+гп,+2п,=О, 1,— блг,+2пг=О, 2!т+2тт — 2л,=О, откуда в, (1,1.2) Наконец, вектор и, коллияеарнмй оси се ~епяя параболического цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующим. е, =(в„е,! !! ~ 1, 1, — 1). Простейшее уравнение à — 18, 6Х' —." )7 — 1: =О, 6 а кавопическое Хз== 1' ! )7 3 Так как ат(а+охта+ пзпг-— 0'!+О'1 3( 1) > 0 то вектор (1, 1, -1) направлен по оси сечения Ха==У, Я 0 1 )7 3 в сто ону выпуклости этой параболы.
Х равнение главной два»етраль~ой плоскости х+ у+ 2г+ х+ у+ 2г+ 2 (2х+ 2у+ 4г — 3) = О, или х+у+2г — 1=0. (х+ у -(-2г)в- 6г+ 1 = О, х+ у+ 2г — 1 = О, — За+1=0, х+у+2г — 1=0, Уравнения или (Л) ! I 11 х+у — —, — ! г — — ) =-О, или х+у — г=О, 3 (, 3)=' являютси уравнениями прямолинейной образуюшей, по которой главная диаметральная плоскость пересекает данный параболический цилиндр. На 1Т втой образующеп лежит, например, точка ~О, —, — ) . Уравнение пло. 3' 3)' скости, касательной к параболическому ~илиядру вдоль образующей Л, амеет вид 476 Г в а в а ХГГ, ПОВЕРХНОСТИ, ЗЛДАННЫН ОГП(ИМ УЕАВНЕНИНЧ Пример 9. Исследовать в зависимости от значений параметра вл характер поверхности, заданной уравнением ха+(2из+ 1) (у'+аз) — 2ху — 2хг — 2уг — 2т'+ Зт — 1 О.
Решение / =4(т'+1) (т — 1) (и+1), К = 4(влг+!)(т — !)з(2т — 1)(т+1), 1 =4влг (та+2), /(з — — 4из (тз-!.2) (и — !) (2т — 1), /т=4тз+3, — 1» /з. — /з имеет трн перемены знаков, значит, все корпи К» йм уравнения положительны. Далее, Кв < 0 прн и < — ! ние является при и < — 1 уравнением эллипсоида. 2) и= — 1 Тогда /з — — О, К,=О, 1,>0, К,<0, пн знвдр, 1 3) — 1<и< —; тогда /,<О, /,>О, /з>0, 2 ' тельности Аз хаРактеРнстического значит, данное уравне- /, > 0-эллиптнческий Кз > О. В последова- 1» 1з две перемены знака. Два корня характеристического уравнения положительны, один отрипателеп, — < 0 — однополостиый гиперболоид.
К, /з 1 4) и= —,; тогда /а<0, /з>0, /д>0, К,=Π— конус (действигельный). 1 5) —,< и < 1; тогда 1з < О, 1,> О, /, > О, Кв < Π— двуполостный гиперболоид. 6) т = 1; тогда !з=О, Ка =О, 1, > О, Кз=о †д мнимые пересекающиеся плоскости. 7) т > 1; тогда /з > 0 !з > О, /, > О, Кв < 0 †эллипсо. 2. Задачи для самостоятельяого решения !. Прн каком необходимом н достаточном условии эллипсоид хз уз гз — + — + — =1 пз Ьз сз и плоскость Ах+ Ву+ Сг+ Р =0 1) касаются, 2) пересекаются, 3) не пересекаются) Рта 1) о А +Ззяз+сзС =Р, 2) азАз+бзВз+сзСз > Рв! 3) а'А'+ Ь'В'+сзС' < Рз. Инвариант 1 обрашается 1 при т=! и т= — Поэтому 2 парамегра т и значения т: тельность коэффипиеитов в нуль прн т = — 1 и и= 1, инвариант К4— рассмотрим следующие интервалы изменения !) т < -1; /з > О, 1, > О, 1, > О.
Последова- $167. пРимеРы и ЗлдАчи к ГлАВе хп 477 2. Составить уравнение диаметральной плоскости эллипсоида х' уа га 4 9 !б делящей пополам хорды, коллинеарные вектору а=(2, 1, 2). Отв. 32х+9У+72г= О. 3. Составить >равнение плоскости, пересекающей эллипсоид ха уа 22 — + — + — =1 аа Ьа са по эллипсу, центр которого находится в точке (ха, уа, го). Дано, что ха уа г' — + — + — <1. а о о аа Ь' са хох, Уоу гог хо Уо го 2 2 2 Оаоа. — +' — + — = — + — '+ — ° а' ' Ьа с' аа Ьа са ' 4. Найти на эллипсоиде ха у' га — + — + — =! аа Ьа с' ха уа гг ! а4 Ь4 ' со До — + — + — =1, х' уа га ао ' Ьа с' Онов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
