1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 76
Текст из файла (страница 76)
В самом деле, ! (х-)-у)= [а(х+у)1 = [ах[+ [ау)=гх+гу, ) (хх) = [а (хх) [ = )1 [ах] = Чх. Если даны два линейных преобразования 1" и а множества всех векторов пространства, то их произведением [д называется пре- образование, которое вектору а ставит в соответствие вектор )(да) г л а е а х~м линспиыв и хл ьинныв пвеовгхзовкния (это преобразование, очевидно, линейное), Произведение линейных преобразований ассоциативно: ~(уй) =()д) и, Суммой ~+й~ линейных преобразований множества всех векторов пространстви а называется линейное преобразование, которое вектору а ставит в соответствие вектор ~а-;-ба (это преобразование, очевидно, линейное).
Пусть, наконец, г †линейн преобразование множества всех векторов пространства. Тогда линейное преобразование, которое вектору а ставит в соответствие вектор Ца, называется произведением числа Х па линейное преобразование ). 5 173. Свойства линейных преобразований множества точек пространства, плоскости или прямой Теорема П При линейном преобразовании равные направленные отрезки переходят в равные. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ) — линейное преобразование и АВ =-СР. Требуется доказать, что (АВ =гСР. Обозначим образы точек А, В, С, 0 при линейном преобразовании г' соответственно через А', В', С', Р'.
Из равенства АВ =СР следует, что середина отрезка АР совпадает с серединой отрезка ВС. В силу определення линейного преобразования образы середин отрезков АР и ВС будут серединами отрезков А'.0' и В'С', а так как середины АР и ВС совпадают, то и середины отрезков А'0' и В'С' совпадают; но отсюда следует, что г" (АВ) =)'(СР) (А'В' = С'0'). Из доказанной теоремы следует, что всякое линейное преобразование г множества всех точек пространства порождает преобразование множества всех векторов пространства (его мы будем также обозначать буквой 7).
В самом деле, пусть à — липейпое преобразование множества всех точек пространства, а ив произвольный вектор. Пусть А — произвольный направленный отрезок, входящий в класс равных между собой направленных отрезков, образующих вектор а. Обозначим через А' и В' образы точек А и В при преобразовании Г". Поставим в соответствие вектору а вектор Га, который является классом всех направленных отрезков, равных направленному отрезку А'В'. Из доказанной теоремы следует, что если задан свободный вектор а, то указанное соответствие от а к )а однозначно определено. Теорема 2.
При линейном преобразовании мновкества всех точек пространства образ суммы двух векторов равен сомме образов слагаемых, т. е. Г" (а+ б) = )'и+)Ь. 4 !73. СВОЙСТВА 1ИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 4зу Доказательство. Отложим вектор а от точки А а= АВ, а от точки В отложим Вектор Ь Ь= ВС. Тогда а+а= АС. Пусть А', В' С' — образы точек А, В, С при линейном преобразовании /; тогда а+Ь= АВ.,'-ВС=АС, А'В' = ~А В = (а, В'С' = 1'ВС = 1Ь, А'С'=(АС =т" (а+В). Но А'В'+В'С'=А'С', значит, ( (л + б) = (а+ Ф Теорема 3. При линейнан преобразовании л4ножества всех точек пространстпва образ произведенич числа на веюпор равен произв де. нию этого числа на образ рассматрива мого вектора, т, е.
( (Ха1= Ча. Показательство. Отложим Ректоры а и Ь=Аа от Одной и той жс точки А: а= АВ,. Аа=АС. Тогда АС =- 1,АВ и утверждение теоремы сразу следует пз определения линсйного преобразования множества точек пространства. Из теорем 1 и 2 следует, что линейное преобразование множества всех точек пространства порождает линейное преобразование множества всех векторов пространства. Имея в дальнейшем дело с линейнымн преобразованиями множества точек н мпожсства векторов, будем различать зти понятия терминами: линейное точечное преобразование и линейное векторное преобразование.
Из теорем 2 и 3 вытекает теорема 4 о линейной комбинации векторов. Теорема 4. При линейном преобразовании образом линейной ко,нбинш(ии векторов являе4пся линейная колбсснойия их обралм 490 Г и а и а Хнь ЛИНЕЙНЫЕ И ЛФФИНН ЫЕ Ш'СОЕРЛЗОЕЛНИЯ ссспюи(ттвенно с теми вке ксвффиииентами: )(Х,а,— ', Хааа+ ... +)„а„)=11)а1-) 1а)а,+ +)„)аа. Теорема 5. При линейном точечном преобразовании пространства оно отображается или на пространство, или на плоскость, или на прямую, или в точку. Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем в пространстве обшую декартову систему координат с началом в точке О и масштабными векторами е,, е„е,.
Пусть М (х, у, г) — произвольная точка пространства, О' и М' — образы точек О и М при линейном преобразовании г. Так как ОМ = хе, + уе, + ге„ то гО М = О'М ' = х~е, + у(е, + г(е,. 1 с л у ч а й. Векторы ~е„)ее, ~е, линейно независимы, следо- вательно, пекомпланарны. Тогда каждая точка М' пространства при преобразовании ) имеет прообраз. В самом деле, если векторы ге„~е„~ел некомпла- нарпы, то вектор О'М' можно разложить по этим векторам: О'М'=хге,+уге,+г(е„и мы виДим, что точка М' является обра- зом точки М, определяемой радиусом-вектором ОМ = хе, + уе, + ге,. Таким обрайом, в этом случае пространство отображается на пространство (а не в пространство).
Это отображение к тому же взаимно однозначно, так как разные прообразы М и Л', опреде- ляемые радиусами-векторами: ОМ = хе, + уе, + ге„ОУ = х,е, + у,е, + г,ееа имеют разные образы М' и Ли', такие, что О'М' = хге, + угее+ г~е,, О'Л' = х,(е, + у,ге, + г,~е,. В самом деле, если предположить, что точки М' и ЛГ' совпа- дают, то в силу того, что точки М(х, у, г) и Ли(х„у, г,) различны, мы получили бы х)е, + у)ее+ г(е, = хд~е, + у Де, + г,Де„ (х — х,)(е, + (у — у,) (еи-) (г — г,)/'ее=О, т. е.
векторы (е, )'е„)е, оказались бы линейно зависимыми (ибо в силу различия точек М и Ф хотя бы одна из разностей х — х, у — у„г — г, отлична от нуля), л !Йь сВОЙстВЛ линейных пееовглзовлпни 491 11 случай, Векторы !ег, )еь, (ев линейно зависимы (следовательно, компланарны), но среди них есть два линейно независимых (следовательно, пеколлипеарных). Пусть )е, и )ев — пеколлнпеарныс векторы.
Так как Векторы )е„)е„)е, компланарны, то из соотношения 0'М'=х(е,-)- +у)е,+г)е, следует, что точка М' лежит В плоскости, проходяВеей через точку 0' компланарно векторам )е! и /е,. Так как векторы )е, и )е, неколлинеарны, то любая точка М' этой плоскости имеет йрообраз в рассматриваемом линейном преобразовании; в самом деле, если М' — любая точка указанной плоскости, то вектор О'М' можно разложить по векторам )е! и ге,: О'М' - хге, + угел и прообразом точки М' при линейном преобразовании ! является точка М, определяемая радиусом-вектором ОМ- хе, +уе,.
Таким образом, в этом случае пространство отображается на плоскость (а не в плоскость). 1П случай. Векторы ~е,, )е,, 'е, попарно коллинеарны, по среди них есть ненулевой вектор. Пусть, например, ~е,~О. Так как векторы )е!, )е„)е, попарно коллннеарны, то нз соотношения О'М'=х)ег+у(е,+г)еь следует, что точка М' лежит па прямой, проходяшей через точку 0' коллинеарно вектору ~е,.
Вместе с тем любая точка М'(х, у, г) этой прямой имеет прообраз; это будет, например, точка М, определяемая радиусом-вектором ОМ = хе,. 1Ч случай. !е,=/е,=~е„=О. В этом случае 0'М'=О для любой точки М' и все пространство отображается в одну точку О'. Теорема 6 (обратная). Рассмотрим в пространстве две произвольные точки 0 н О, три неко,ипланарн!ях вектора е„е, ев и три произвольных вектора е',, е',. е,, (опи могут быть и кампланарными). Пусть М вЂ” произвольная точка просп!ранов!ва и пусть ОМ=хе, +уе,+ге,. Поставим точке М в соответствие (почку М', опредвлявмуго относительно точки 0' радиусом-вектором 0'М'=хе, +уе.„+ге, Тогда таков соответствие есть линейное точечнов преобразование.
492 Г а а ~ а Х1Р. ЛППГГППЛГ П ЛФФ|П1НЫЕ ПРГОБРЛЗОВЛНИя Л о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А, В, С вЂ” три коллинеарные точки, связанные соотношением АС= ).АВ. !) ( ПуСтЬ Х1, д„г,; Х,, д,, г,; Х,, д„г,— СООтВЕтетВЕННО КООрдинат1л точек А, В, С ь общей декартовой системс координат с началом координат в точке 0 и масштабными векторами е„е„е„а А', В', С', 0' — образы точек А, В, С, О. Тогда ОА =х,е, +д,ее+ г,е,. ОВ =х,е, +две,!- г,ез, ОС=хзе,+д,е,+г,е,; 0'А'=х,е, +д,е: +г,е;, 0'В'=х,е, +д,е, +г,е,, О'С' = х,е, + д,е, + г,е, . Из соотношений (!) и (2) находим (хз — х1) е1+(дз — д1) е, +(гз — г1) ез= = л [(х, — хз) е, + (дз — дз) е, + (г, — гз) ез), откуда в силу пекомпланарности векторов е, е, е, 11 — Х1 = ).
(Хз х1), дз д1 Л (дз д1) гз г1 )1 (гз г1) значит, (х,— х,) е, +(д,— д,) е, +(г,— г,)е,= =к [(х,— х,) е, +(дз — д,)е,+.(г,— г,) е,~, или А'С' = лА'В'. Теорема 7. Если при линейном точечном преобразовании )' пространства два нсколлинеарных вектора е1 и е, отображаются в два неколлинеарных вектора )е1 и, е„то вслкая плоскость п, компланарная вектораж е1 и е, отображается и притом взаимно однозначно на некоторую плоскость и', компланарндю векторам )е1 и )ез, Лак аза тельство. Возьмем на плоскости и произвольну1о т~ .ку 0; пусть 0' — образ точки 0 при преобразовании )". Обозначим через и' плоскость, проходящую через точку О' компланарно векторам )е1 и [ез Тогда плоскость и линейньм преобразованием )" отображается взаимно однозначно на плоскость и'.
В самом деле, пусть М вЂ” произвольная точка плоскости и„ Вектор ОМ можно разложить по векторам е, и е,1' ОМ =хе,+де,, 4 г73 сзогссл вл с!иннин!! я т'! Овглзовлни.! 493 От .юда О'М' =- х(е, + у)е,, где М' — образ точки М при преобразовании 1. Из последнего соотношения следует, что точка М' лежит в плоскости и'. г Р Далее, если М' — любая точка плоскости и', то вектор О М' можно Разложить по вектоРам 1Ет и 1Е, (зтп вектоРы по Условию пеколлинеа рны): О'гИ' = х) е! -(- фе„ и прообразом точки М' в плоскости и является точка М, определяемая радиусом-вектором ОМ = хе, + уе,.
Наконец две различные точки М и с!с плоскости сп отображаются при преобразовании 1' в две различные точки М' и Ж', так как из соотношений ОМ = хе!+ уем ОЖ = хгег+ уге, следует О'М' = х(ел+ у1 е,, О')(г' = х,(е, + ггг(е, и точки М' и гг" различны, так как различны гочки М и с)1, а вектоРы Гег и 1е, неколлинеаРны. Теорема 8. Если при линейнои преобразовании 1 пространства ненулевой векгпор е, переходит в ненулевой вектор Ге„то всякая прямил, коллинеорная вектору в„отображается и притом взаимно однозначна на некоторусо прзмусо, коллинеарную вектору )вг, схоказательство впало! нчно доказательству предыдущей теоремы. Следующие теоремы для плоскости доказываются аналогично соответствугощим теоремам для пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
