1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 75
Текст из файла (страница 75)
ку уг гх Отз. — + — + — =1. с а б 30, Составить уравнение поверхности второго порядка, пересекаюьцей плоскость хОу по двум прямым, а плоскости хОг и уОг — по окружностям радиуса г, касаюгцимся осн Ог в начале координат и расположенным в поло. жительных полуплоскостях Отв (х+у — г)э+гг=го )эллиптический циливдр) 40, Составить уравнение параболандз вра пения, проходящего через о<ружнгють х — г=й, ха+ уэ+г' — 2х — 2г=О и точку (!. 1, О). У к а з а н и е Предварительно составить уравнение параболаила относительно новой системы координат, «оординатная плоскость х'О'у' которой совпадает с плоскостью х-г=О, Опш ха+ йу'+ ге+ 2хг — Зл — бг = С.
41. Составить уравнения: 17 ошюполостного гиперболоида; 2) гиперболического параболоида, принимая эа начало координат какую-нибудь точку О поверхности, ча оси Ох и Оу — прямотннейныс образующие, проходя~цне через эту точку, а за ось Ог— проходящий через эту точку диаметр, Отв 1) иазгх + 2и„ху+ ?маг=О, 2) н,зху!ааг=О. (Ь 71, С. Мохе«о« !!.' г ля ~ хп ~!с~верхи!нети, злдзнныв ОБ!Иим хрлинением 42. Найти !соме ричссксс место вери!ип конусов второго порядка, имсюпщх общую папранляющу!о окружность, при»еловки, что на поверхности каждого такого конуса ине!отея три попарно псрпспдикулярныс образу!ощис.
Ощв х'+ у'+ 2г'=ге, где г — радиус лапкой окруакиости, 43. Г!оказать, что для того чтобы главные оси двух поверхностей второго порядка были соответственно параллельны, необходимо и достаточно, чтобы матрнпы квадратичных форм, входящих в состав левых частей уравнений поверхностей, были псрестапозочны 44. На!Нн геометрическое место вершин конусов вращения, проходящих через зллнпс х' уз х=б, — + —,=! (а> Ы ' а' Отв Гипербола х' хз д=б, — — — =!. 'а' Ьз глава хш ОТОБРА1КЕНИН И ПРКОБРАЗОВАНИЯ $16В. Отображение и преобразование Если каждому элементу х множества ' М поставлен в соответствие элемент у множества М', то говорят, что задано отображение множества М во множество М'. Элемент у называется об разом элемента х, а элемент х — прообразом элемента у.
Если при отображении множества М во множество М' к а ж д ы й элемент у множества М' имеет прообраз х в множестве М, то говорят, что множество М отображается на множество М'. Отображение множесгпва М на множество М' называется взаимно однозначным, если: 1) каэкдый элемент х множества М имеет и притом только один образ у из множества М' и 2) каждьгй элемент у из множества М' имеет и притом только один прообр з х во множестве М. Это определение эквивалентно такому: 1) каждый элемент х множества М имеет и притом только один образ у из множества М'; 2) каждый элвлгент у из множ ства М' имеет прообраз х из множества М; 3) двум любым различным элементам х и х' из множ ство М соопгветствуют два различных образа у и у' из множества М'. Если множество М отображается на множество М' взаимно однозначно, то отображение, прн котором любому элементу у из множества М' ставится в соответствие прообраз х этого элемента у, называется обрати ым данному; отобра>кение, обратное взаимно однозначному отображению, очевидно, также взаимно однозначно.
Отображение множества М в себя называется преобразована.м множества. ' Определепня н понятая, введенные в 1 г68 — 170, огносятся к прон>- вольным множествам; дла апалнтнческпй геометрнн эгн множества суть прямая, плоскость пространство нлн какне-ннбудь фигуры, аежащне на плоскости нлн в пространстве. Г,. а в я хып ОтонялжгпмЯ и пгсовялловднпЯ Взаимно однозначным преобразованием множества называется взаимно однозначное отооражение множества на себя, Тождеспменним (или едииичны.н) преобразованием Е миожеспгва М называется преобразование, при котором каждому элементу х из множества М ставится в соответствие этот ясе элемент, Если А — какое-нибудь взаимно одпозначпое преобразование множества М, то обратное преобразование обозначим Л $169.
Произведение преооразоваиий Пусть А н  — два каких-нибудь преобразования множества М. Возьмем произвольный элемеьп х во множестве М. Пусть у — образ элемента х при преобразовании В, а г — образ элемента у при преобразовании А. Тогда соответствие, при котором элементу х соответствует элемент г, является преобразованием.
Это преобразование называется п р о и з в е д е н и е м преобразования А па преобразование В и обозначается АВ. Очевидно, АА '=А 'А=Е, где А — льобое взаимно однозначное преобразование множества, А ' — ему обратное, а Š— тождественное. Докажем, что произведение преобразований а с с о ц и а т и в н о, т. е. если А, В и С вЂ” три любых преобразования множества М, го А (ВС) =(АВ) С, В самом деле, пусть х — любой элемент множества М, у — его образ при преобразовании С, г †обр элемента у при преобразовании В и 1 †обр элемента г при преобразовании А.
На основании определения произведения преобразований элементу х при преобразовании ВС соответствует элемент г, а элементу у при преобразовании А †элеме 1. Значит (опять на ВА основании определения произ- а ведеяия преобразований), эле- Р ь менту х при преобразовании О А (ЛВ)С и при преобразовании А (ВС) соответствует один н АВ тот же элемент 1, а это и означа. Рнс. 228 ет, что(ЛВ) С = Л (ВС). Отметим еше, что произведение двух взаимна однозначных преобразований есть взаимно однозначное преобразование. Пример. Пусть ят — множество всех точек какай-нибудь прямой 1.
Обозначим через В препбрвзпввпне, прн кпторпч ~очке х прячпи 1 сзчвнтсн ь соответствие точка х', снччетрнчнея то~не ". ьтпоспгсльпп точки О прямой 1, в 1ерез Л обознвчвм прссбрззовзнне, которое точке х прямой 1 ставит в сопт- 4 1тв. Гпуппт ппновпдзоздпип 485 г. тгтвпе точку х' той же прямой, такую, по хх"=а, где а †заданн вектор на прямой К На рпс, 228 построены точки р и в, соответствующие точке х прп преобразованиях ВА и АВ. Эти точки различны, значит, различны и преобразования В.4 и АВ, яиаче произведение преобразований (вообще говоря) пекомыутатпвпо.
% 170. Группа преобразований Пусть Г есть множество, элементамп которого являются взаимно однозначные преобразования множества М. Тогда множество Г называется группой преобразований (множества М), если выполнены следующие два условия. 1. Если Л и  — два любых преобразования из лгножества Г, то преобразование ЛВ также входит во множество Г. 11. Если А — любое преобразование из лгножества Г, гпо преобразование А ' также входит во лнож ство Г. Из этого определения следует, что всякая группа преобразований содержит тождественное преобразование; в самом деле, пусть Л вЂ” какое-нибудь преобразование, входящее в группу Г. Иа основании условия П А ' также входит в группу Г, а па основании условия 1 в группу Г входит произведение АЛ ", которое есть тождественное преобразование.
Подмножество Г, элементов группы Г называется подгруппой группы Г, если Г само является группой. гл~в1 юч ДПНГПНЫЕ П АФФПНП1НЕ ПРЕОБРАИОИАНПН й 171. Линейные преобразования и линейные отображения множества точек пространства, плоскости или прямой В этом параграфе рассмотрим линейяые преобразования множества всех точек пространства. Для случая плоскости все рассмотрения носят аналогичный характер.
Линейным преобразованием ~ множества всех точек пространства называется опгображеяие множества всех точек этого пространства и себя, при котором трем любым точкам А, В и С, прияадлеэкаи1им одной прямой, соапыетствуют три точки А', В', С', также прияадлежаи1ие одной прямой и притом так, что если между направленными отрезками АС и АВ имеет место соотношение АС= ХАВ, то и направленные отрезки А'С' и А'В' связаны соотношением А'С' = ХА'В', Образ А' точки А при линейном преобразовании г' иногда будем обозначать ГА, Аналогично определяется линейное преобразование множества всех точек плоскости и линейное преобразование ьпюжества всех точек прямой, а также линейное отображение однои плоскости на другую н линейное отображение одной прямой на другую. Примером линейного преобразования плоскости является параллельное проектирование на плоскость и прямую.
В самом деле, если А, Ю, С вЂ т точки, принадлежащие одной прялюй, то их параллельные проекпии А', В', С' также принадлежат одной прямой, причем если АС=кАВ, то А'В' = ХА'В', э !72. Линьйные нРеОЕРлзОВлни51 11ножестел вектОРОЕ вя так как при параллельном проектировании сохраняется порядок точек, лежа1цих на одной прямой, и отношение отрезков, лежащих на одной прямой.
Если даны два линейных преобразования 1 и с множества всех точек пространства, то их произведением Яй в соотас1ствии с й 1б9 назовем преобразование, которое точке М ставит в с1ютветствие точку )'(РМ) (это преобразование, очевидно, линейное). Произведение линейных преобразований (как и произведение любых преобразований) ассоциативно: ((ой) =([й) й. 3 а меч а н не. ))аннов здесь определение линейного преобразования пространства переносится без изменения на комплексное пространство, комплексную плоскость или комплексную прямую.
й 172. Линейные преобпазоваиия множества векторов пространства, плоскости или прямой Рассмотрим множество л)1 всех векторов пространства. 11оставим в соответствие каждому вектору а вектор ~а. Если это соответ- ствие удовлетворяет двум условиям: г (а+ й) = 1'а+ (Ъ, 1().а) = Ча, где а и Ь вЂ” любые векторы, ь 1,— любое число, то оно называется линейным преобразованием множества всех векторов нр.хмерного п рост рансгпва. Аналогично определяется линейное преобразование множества всех векторов плоскости или прямой, линейное отображение мпоже. ства всех векторон одной плоскости в множество всех векторов другой плоскости, а также линейное отображение множества всех векторов, принадлежащих одной прямой, в мпо5кество всех векторов другой прямой. Примером линейного преобразования множества всех векторов х трехмерного пространства может служить следующая функция вектора х: ~х= [ах[, Рде а — фиксированный вектор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
