1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Теорема 9. 11ри линейном отображении плоскость отображается или на плоско~ть, или на прягсггю., или в точку, причем в слуЧае отобралсения на плоскосгпь оно будет взаимно однозначным. Теорема )О (обратная). Введем общую декартову систему координат с началом и точке О и масси лабньсми векгггорами и! и е,. В тои же или друго!с плоскости и' возьмеи в!очку О' и два вектора е и и, (может бьгть линейно зависимьсе).
1!оставим в соответствие произвольной точке М (х, у) плоскости и, заданной радиуР солг-векторол! 0.11= ле, + ув, точку гИ, определяелгую радиусомвеклюром О М' = хе, + уе,, Гаков отооражение будет линейным игпобраясениел! плоскости и а плоскость и' (если плоско.пги и и и' совпадают, то следуепг говорить о преобразовачии гглоскоспси и). г л з в а х>з лип винте и з ьФнп>>>»>ь и»'>>>ь кзовзпип Теорема 11. Если при лиягйном отооражгнии ( плоскости какой- либо ненулевой век>пор е, отображается на нгнулевой вектор (ем то л>абая прямая з плоскости и, коллингарная вектору е„оп>ображается и притом взаимно однозначно на пряиу>о (' плоскости п', кол зинеарную вектору (е> (если прял>ь>е ( и Г совпадают, то следует говорить о линейном преобразовании прял.ой ().
$174. Линейные преобразования в координатах н потому 0 М"= х~е, +у(ез+г(ез. (2) Разложим векторы (е,, 'е,, (е, и 00' ио векторам е,, е,, е,: (е, = а„е, + а,„ез+ а„е,, >Ез —— аззЕ>+ аззвз+ аззнз, (ез + а,,е, + аззез+ аззе„ 00 =а,е,+а,е,+а,е,. Из соотношений (2), (3), (4) найдем (4) ОМ'=0'М'+00'=х(а„е, +а„е,+аз,е„)+ + у (а „е, + а,зе, + аз,е,) + г (а,,е, + а„ез + а„,ез) + +а,е,+а,е,+а,е,. Отсюда находим координаты х', у', г' точки М' (как коэффициенты прп ем ез ез): х' = а„х+ а„у+ а,зг+ а„ Р у = аз,х+ иззу + аззг+ аз г' = а„х+ иззу+ авва+ аз.
Матрицу аы а>з азз А = аз> азз азз аз, а„аз, Введем в пространстве общую декартову систему координат с началом в точке 0 и масштабными векторами е„ е,, е, и обозна шм через 0' образ точки О, а через е,, е,, е„ вЂ обра векторов е,, е,, е, при каком-нибудь точечном линейном преобразовании (. Пусть М (х, у, г) †произвольн точка пространства, а М'— ее образ при рассматриваемом линейном преобразовании (.
Тогда ОМ =-хе,+уе, +ге, (1) % из липгппыг ппеовехзовлпия в кооединхтлх явв будем называть матрппсй линейного преобразования (, а матрицу Га„аз а,з а, 11 л= а,„а,з а,з а, аз, а„азз а„ расширенной матрицей линейного преобразования г. При линейном преобразовании множества всех векторов про- странства координаты вектора )а=(х', у', г') в любом базисе ез, ез, е,через координаты вектора а=-(х, д, г) в том жс базисе выражаются линейными одпороднымп соотношениями. В самом деле, разлагая а по базису е,, ез ез а=хе,+уе, +гегя находим ) а = х,'е, + д/е, + гачев, и полагая (е1=(аи, азм азз), )ез=(а„, а„, азз), )ез=(азз азз азз) получим а11 х+ а12у + а1зг Ф д = а„х + а,„д+ аззг, г' = аз,х+ а,„у + аззг. Матрицу 'а1, а,з а12'~ А =~ а„а,з азз ! ,а„а„а„, будем называть матрицей, соответствующей линейному преобразованию ) множества всех векторов пространства.
Если даны два линейных преобразования ) и д в координатах. х'=аих+а„у+амг+а, х'=Ьих+Ь„у+Ь„г+Ь1, У =аззх+аззд+аззг+аз (() У =Ь21х+Ьззу+Ьззг+Ьз (Ы) г' = а„,х + а„у + а„г+ а „г' =- Ь„х + Ь„у+ Ь„г + Ьз, то линейное преобразование )д в координатах запишется гак1 х = аи (Ьих + Ь,зд+ Ьззг + Ь1) + а12 (Ьззх+ Ьззд+ Ьззг+ Ь~) + + азз (Ьззх+ Ьззу + Ьззг + (12) + а1 у =а21(Ь11х+Ьид+Ьмг+Ь1)+пи(Ьз,х+ Ьззд+Ьз,г+ Ь,) + + аз (Ь х+ Ь, У + Ь зг + Ь ) + 112 г' = аз1 (Ь11х+ Ь,1д+ Ь!зг+ Ь,) + а,з (Ьих + Ьгзд+ Ьззг+ Ьз) + + азз (Ьззх+Ьпу+ Ьззг+Ьз) +аз 4вв Г л 3 л. Хм ЛИПВЙНЫС И 333ФицПЫЬ ПР6ОГРАЗОВзиня или = (О> Ь - — О>2Ь31, О1>Ь 1) х+ (я>>Ь>2+ О12Ьл>+ О >Ь>1) у+ +(О>1Ь>3 а>2Ь23+ а13Ь,3) г + а11Ь1+ О12Ь2+ О>3Ь3+ О1, у' = (О31Ь11+ О22Ь21+ а23Ью) х+ (а21Ь12+ О23Ь22 —,' О33Ь32) у+ (О21ЬЫ О3А3 + О23Ь33) г+ О2161+О22Ь2+ О2А + Огл г' =- (О31Ь11 ( О32Ь214 а>>Ь>1) х+ (а3>Ь12 з О3>О22 + О3>Ь>2) У+ (О31Ь111+ О3>Ь 3 + О33Ь .л) г +Ог!Ь!+ а>2Ь2 +О33Ь3 'ГО3.
Отсюда видно, что линейному преобразова>ппо >д соответствует матрица АВ, где А и  — матрицы, соответствующие линейным преобразованиям >" и у (это, конечно, верно и в том случае, если рассматриваются линейные преобразования множества всех векторов пространства). Если линейное преобразование Г невырождениое (взаимно однозначно), то линейное преобразование ) ', обратное для >', в координатах выражается соотношениями х = А „, (х' — и,)+ А „., (у' — а,) + Л „, (г' — ав), г = Лю (х' — а,) + А 32 (у' — аг) + Л„(г' — Оа), которые мы получим, разрешив уравнения ()) относительно х, у н г. В этих соотно1нениях (Ам) — матрица Л ", обратная для матрицы А. Так>>м образом, если линейному преобразовапшо г' соответствует матрица А и если ) — певырождепное линейное преобразование, то линейному преобразованию ) ', обратному для ), соответствует матрица А ', обратная для А (это верно и в том случае, если ('— преобразование множества всех векторов пространства).
Если ) и д — линейные преобразования м:п>жсства всех векторов пространства, если м соответствуя>т матрицы Л и В, го линейному преобразл>пинию /+д соответствует матрица А+В. Наконец, если ( — линейное преобразование множествз всех векторов пространства, то преобразованию )лг' соответствует матрица ХА, где А — матрица, соответствующая преобпазованню,'. Мы показали, что при любом точечном линейном преобразовании ) координаты х', у', г' образа М' точки М >ерез координаты х, у, г точки М выражаются лпнсйнымп соотношениями, Верно и обратное положение: если в пространстве введена общая декартова система координат и каждой точке М(х, у, г) ставится в соответствие точка М' (х'.
у', г'), координаты которой через координаты точки М выража>отея линейными соотношениями (5), то такое соответствие есть точечное линейное прообраза>>ание. В самом деле, рассмотрим точку 0' и векторы 00' /в„(е2. )е„ определяемые соотношениями (4) и (3); тогда ОМ' = 00'-) х)'е1+у)нх-( г/евл !74 линег!ни!: и!'Еоьяазовкния в коогдинхт!х 49! или О' М' = х(е! + у)е, + г)ев, в то время как О М вЂ”.
ке, + уе, + ге,. Остается сослаться па теорему 6 предыдущего параграфа. Таким образом, точечное линейное преобразование пространства можно было определить линсйяыми соотношениями (5), выражающими координаты образа М' через координаты прообраза М, н такое определение было бы эквивалентно данному выше. Проще доказывается аналогичное положение для множества векторов: линейное преобразование га множества гекторов пространства можно определить как преобразование, прп котором вектору а = (х, у, г), заданному сноимн координатам п относительно общей декартовои системы координат, ставится в соответствие вектор )а= (к', у', г'1, координаты которого выражаются через х, у, г соотношениями (6).
Лля доказательства надо проверить выполнимость соотношений ~(а+6)=(а+(Ь ((),а)=Ча для любых двух векторов а и Ь и любого числа Х, Если линейное преобразование множества всех точек простран- ства в некоторой общей декартовой системе координат выражается соотношениями (5), то соответствующее ему линейное преобразова- ние множества всех векторов пространства в той же системе коор- динат выражается соотношениями (6) с теми же значения:л! а! (это следует из того, что координаты вектора АВ равны разно- стям соответствующих координат конпа В и начала А этого век- тора).
Аналогично доказывается, что линейное преобразование нлос- кости в координатах записывается в виде Р Р х =а„х+а„у+а,, у =а„х+а„у+а., где О' (ам а,) — образ начала координат О, а (е! = (а„, а,„) и )е,=(амо а„) — образы масштабных векторов е, и е, Линейное преобразование прямой в координатах имеет вид х'=а„х+а,, где О'(а,) †обр начала координат, а а„ вЂ координа образа (е! масштабного вектора ео Если же речь идет о линейном отображе- нии плоскости ч в плоскость и' или прямой 1 в прямую !' то формулы остаются тсмн же, только надо предположить.
что имеются две общие декартовы системы координат; одна в плоскосги ч, дру- гая в плоскости и' (или одна на прямой !', другая на прямой у); 49З Г в а в а Лги в!ИНЕПНЫЕ И АП ФИННЫЕ ПРЕОВРАЗОВАНИЯ в при этом если за начало координат в плоакости п' (или на прямой ( ) взять образ точки О, то с)!ормулы будут пе только линейными, но и однородными (х'=а„х+а„у. у'=-а,„х+а,зу для отображения плоскости в плоскость и х'=о„х для отображения прямой в прямую). Теорема. Введем в пространстве две системы координат: О, вы и,, ез н зв, в,, в,, в, (О и (г' — начала координат), Пуста 'а„аг, отз'~ уЬ„Ь11 Ьгзх, А= азг азз азз ) и В=( Ьз, Ьзз Ьзз ) аз! аз озв! хбз! Ьзз Ьззв! соответственно матрица линейного преобразования" Г" в этих базисах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
