1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 64
Текст из файла (страница 64)
е. ап+азз+азз=а1 +азз+азз, а11 ап', ап азз !азз озз~ а,, а„, а,, а„а.„а„ + Теорема 2, Функции оп аз, а, КЗ а21 а22 '12 !аз а, а ап а„а, + аз~ аз аз а, а а азз азз аз г а32 азз аз а, а, а (15) а1, а, а„аз азз аз (16) явлгиотся инварианталги однородного ортогонального преобразования. ЭГ11и функции Кз и Кз называются «семиинвариантами» (полуинвариантами). Если же функция Р = апх'+ а„у'+ аз,гз+ 2а„ху+ 2а„уг+ 2а„гх+ + 2а,х -1- 2а,у+ 2а,г+ а однородным ортогональнын преобразованием может быть приведена к виду Е'=апх' +а',Зу' +2а'„ху'+2а',х'+2а',у'+а, (17) то Кз является ортогональным инвариантом, а если Р однородным ортогональным преобразованием может быть приведена к виду Е' =- опх' + 2а',х' с а, (16) п1о КЗ (и КЗ) является ортогональнь1л1 инвариантом. 4 жз.
твогия инвхгилитоя 417 1(о к аз атель ство. Расемотрим вспомогательную функцию Ф = а,„х'+ а„у'+ а,зг'+ 2а, ху+ 2азэуг+ 2аззгх+ + 2а,х+ 2азу+ 2азг + а — Л (х'+у'+г'). Производя однородное ортогональное преобразование (12), получим функцию Ф' = а„х" + а„у' + аз,г'"+ 2а„х'у'+2а„у'г'+2а„г'х'+ -, '2а,х'-)-2а,у'+2а„г'+а' — Л(х"-)-у" +г"), где а'=а. По доказанному К,— ортогональный инвариант. Используя зто по отношению к функции Ф, получим а„— Л а„— Л а„а, а„ а„— Л а„а, а,з — Л аз аз~ з а, азз азз аз аз а а, (тождество относительно Л).
Приравнивая коэффициенты при Л и Лз в левой и правой частях, получим а„а„а, с а„а,з а, а„а„а, а„а,за,+ Р а, а, а а„а„а, в а, а„ а + а„а,з а, в а, а., а а„а, а„а, а„аз а„а,, а„аз азз аз Предположим теперь, что существует однородное ортогональное преобразование м„прп котором,'.ункция г переходит, зупкци.о (17). Для функций (17) семиинвариант К, имеет значение а„а„а, а„а„а, а, а, а' К,=К,= (19) в4 и. с.
мозвиов а„а„а, а„а„а, азз азз аз + азз азэ аз а, а, а а, а а а„а„а, азз 7' азз аз аз аз — Л а, а, а, а а„а„а, азз азз аз а, аз > м»а х». поввекиостн, заданные ов>циь> гехвненивм равное его значению, вычисленному по формуле (15). Определитель а„а„а, а„а„а, Р а, а, а не меняется, если над переменнымн х' и у' функции (17) совершить преобразование переноса е>,: х' х" +с,, у' = у" +с, (это следует нз теоремы 2 Э 142, формула (23), где с„.=с„=-1, с, =с, =О). Пусть о> — произвольное ортогональ>>ое преобразование.
Рассмотрим ортогональное преобразование е>'=е>е>, ', тогда е>=а>'е>ы Долее, представим ортогональное преобразование е>' в виде произедения однородного ортогонального преобразования ы, иа перенос с>,; тогда а> = ыаызг>м После однородного ортогонального преобразования е>> функция К перейдет в функпию (17) и по доказанному Кз ис изменится и будет равен его значению, вычисленному по формуле (19). При преобразовании переноса ы, функция Г' перейдет в функцию Г =- а„х" + а.„у"'-)-2а„х"у'-1- 2а,х" + 2а,у" )- а" н:о доказг>иному а„а„а, а„а„а, а, а, а" К,=К,=К,= и, следовательно, К, = Ка = К> = Кз а„а„а, а, а, а"' Р/> а, а„ а а„а„а, Аналогично доказывается, что К, является ортогональным инварнантом если функция Г однородным ортогональным преобразованием может быть приведена к внду Г' = а„х'+ 2а,х'+ а'.
наконец, после о д н о р о д н о г о ортогонального преобразования ы, функция Г" перейдет в функцию Е'" = а„х"' + а„у'"'+ а„а'" + 2а„х"'у"'.(-. „ мз опгвдвлениг капо~!ического теьвпвпия ма а !54. Определение каноническо о уравнения поверхности второго порядка при помощи инварианта В таблппе ! указаны необходимые и достаточные признаки того, 1то поверхность второго порядка является поверхносгью 1, !1, !11, 1т' илн Ч групп: таблица Доказательство.
Если поверхность второго порядка задана общим уравнением относительно декартовой прямоугольной системы координат, то, как было показано и ч !52, оно прн преобразовании данной декартовой прямоугольной системы координат Охуг в другую декартову прямоугольную систему Ох'у'г' может быть преобразовано к виду ~,х'" — ', 1~,у'"+Х,г' -1-2а,х'+ 2а,у' — ', 2а,г +а=О, где Х„Х„Х,— корни характеристического уравнения. Если все они отличны от пуля, то уравнение поверхности переносом осей может быть приведено к простейшему уравненшо поверхностей первой группы. Если один из корней характеристического уравнения, например Х,, равен нулю, но а, ~0, то— к простейшему уравнению поверхностей второи группы.
Если один из корней равен О, напр. мер Лв=О и а,=О, |о к простейшему уравнению поверхностей третьеи группы и т. д. !. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью ! группы. Тогда, как было показано в Ф 152, уравнение этой поверхности при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную систему можно привести к виду !.,21'+ 1, Уг+ 1,~-'+2~ = О, где Х,~О, Х,~О, Хе~О. В гаком случае Х, 0 0 1 02вО О О Ль = Р.тХ,Х, ~-'- О. 2.
Пусть поверхность второго порядка является поверхностью ! ! группы, Тогда Ц ЕВ2) ее уравнение при помощи преобразования 14* АВВ Г А а А а >11 ПОВЕРХНОЕ111 ЗАДАННЫЕ ОВЩИЧ А!АВНРНИЕМ прямоугольной системы координат в прямоугольну<о может быль приведено к виду Л Х'+Лг$ В+2а,2=0, где Л, н Л,— отличные от пуля корни характеристического урав- нения (ЛВ=О) и а,, ~0. Находим !л,о о !Ооо Л 0 0 0 0 Л,О О О 0 0 а = — ЛАЛ,ОА ~ О. 0 0 а.„о 3.
Пусть поверхность второго порядка является поверхностью 111 группы. Тогда 5 152) ее уравнение при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную систему может быть приведено к виду Л,Х'+ Л,1" +11 = О, где ЛА и Л,— отличные от нуля корни характеристического уравнения. Отсюда находим Л, 0 О ОЛО О, 0 0 0 !з= Л,О 00 0 Л,ОО )АА=О 0 00 0 О 00 л,х'-1-2а,У =О, где ЛА †отличн от нуля корень характеристического уравнения 4. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью !Ч группы. Тогда ее уравнение при помощи преобразования прямоугольиои системы координат в прямоугольную систему координат может быть приведено к виду % 1бс ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО РРЛВНЕНИЯ !).,=ХЕ=О), причем а, ЕЛО.
Отсюда находим Уз —— й 000 =О, 1,В~ )1000 — О О 0 О 0 5. Пусть, иаконеп, поверхность второго порядка является повеРхностью Ч гРУппы. Тогда ее УРавнение ПРи помощи преобра. ЗОВаНИЯ ПРЯМОУГОЛЬПОй СИСТЕМЫ КООРДИПат В ПРЯМО)сГОЛЬНУ1О систему координат может быть приведено к виду ).„Х +Тс=О, где Хс — отличный от нуля корень характеристического у!,ав„ения ()"б = ) б = 0).
Отсюда )10 0 )100 00 0 Т!б= О 0 0+0 00+00 0=0, О 00 0 00 000 ~ 1 = )" 1 чь и. !)еобходимость пРизпаков доказана. Так как эти пРизнак11 попарно несовместимы, то они и достаточны. Теорема 2 !. Если поверхногть второго порядка, заданна„об„иси УРовт нигси относительно ссРЯлсс гУгогьнос) сигтесиьс кооРдсенассс „,. сс,0 О сг 0 0 а', 0 а,О ),0 0 0 00=0, 0 00 1 0 00а, 0 000 0 а,00 )100 0 Оа, 0 0 0 -)- 0 0 0 — — ) а ь 0 О 00 а,00 ),оо )~='0 О О 0 ОО )„оо о о ооо 0 00 0 0 00)л 422 т 22 ° Хи НОВЕРХНО! !И, ЗА,тлННЫН ОНН)ИМ ч!'ХННСН!!НМ ллется поверхнос!пью ! группы, !по ег проппейшее уравнение илтеет вид 2 где Л,, Л„Л,— корни характеристического уравнения о„— Л а„ата !121 !222 Л а23 31 1232 !233 =О, или Л' — ! ЛЗ ' УЗЛ вЂ” 1,=0.
П. Если поверхность второго порядка является поверхностью 11 группы, то ее простейшее уравнение имеет вид Л Х' + Л, 1'3 ~ 2 ~/ — — ' Е = О, где Л1 и Л,— отличные от нуля корни харакптгристпического уравнения. 111. Если поверхность второго порядка является поверхностью 111 группы, то ее простейшее уравнение имеет вид где Л, и Л,— отличные от нуля корни характеристического уравнения. 1Ч, Если поверхность второго порядка является поверхностью 1Лг группы, то ее просп!ейшее уравнение имеет вид /1ХЗ-Е 2 ~Г 3 У = О, 1 Л1Х +ЛЗГ +Лат +2- 0 Л,~О, Л,— О, Л,МО. где ' В случаях !'тт и Ч инвариант /1 равен отлнчнону от нуля «орню харак. тернет«час«ого уравнения Ч.
Наконец, если поверхность второго порядка является поверхностью Ч группь1, то ее простейшее уравнение имеет вида У,Х + — ",2=0. 1 Д о к а 3 а т е л ь с т в о. 1. Если поверхность второго порядка является поверхностью 1 группы, то ее каноническое уравнение имеет вид $ гбг ог!Рьдь гвиггг к:!!гонии! г.кого хо !вне!!из Находим 424 х, О О О 0).,о о О О)аО оооо 1)'2)" Зо )Р ! следовательно, 0 = КА ге 11.
Если поверхность второго порядка является поверхностью 11 группы, то ес каноническое уравнение имеет вид ) гХ'+).,1" +2а,2=0, где е.! н е,,— отличные от пуля корни характеристического уравнения и ах ~0. Отсюда находим !),0 О 0 0' = — ),).ха! = — !,а,, и! О '0 )з 0 0 0 0 )О 0 а следовательно, а, = ~ ь к, У2 Аналогично доказываются остальные утверждения теоремы.
Теорема 3. В нгпблице 2 даны необходимые и боот!го!очные признаки каждого аз сезгнадцати классов поверхноепгей вон!рого порядка. Доказательство необходимости. В этом параграфе было доказано, что если относительно декартовой прямоугольной системы координат Ох!ге поверхность второго порядка задана обидим уравнением, то преобразованием данной системы координат Ох!ге в декартову прямоугольпуго О'ХУ2 данное уравнение можно преобразовать к одному из следую!них простейших уравнений: )гХ'+),Уг+),Р+ — 4=0, если 1зфО (!) ),Х~+ >.,)" + — "=О, если 1,=0 К,=О 1,~0 (111) "г )гХ'~ 2 )/ — — 'У=О, если 1,=0 К,=0 1,=0 К,оЬО(1Ч) 1 если (х=О К,=О Ге=О Ка=О !,фО.
(Ч) ! Во всех этих уравнениях Хг — отличные от нуля корпи характеристического уравнения, а инварианты )г и К, вычисляются по формулам, указанным в йг 153. 424 !' » а ° а Кг!. ПОВЕ!'ХНОСгИ, ЗАПАНИ ЫЕ ОВЩИМ УРАВНЕНИЕМ Таблица 2 Назаание ооаерхноети Признан >О К,<0 )О К4>0 )О К, О 14 ак 0 или 1!Та ~ 0 1 >О 11 1з > 0 141з 1.>О 1414 Ка) 0 и нлн 1 ~О, и или !а~О или 14144ПО 1,~0, К,=О 1 =О, К,<О 1, О, К,>О 9 10 1 =О 1з=п К, 0 к„=о 1 >О 1К <О 14) 0 14Кз>0 К,=О К,=О 1 >О К,=О К.=О 1 =О 1,<О Ка~О 13 К =О 1,<О 1 =О 1 =О К,=О К,=О 1,=0 1,=0 Кз ~ О К4=0 К, <О 14 15 К,=-О Ко=о К,>О к =о к,=о 1ззиО 14=0 1,=0 1,=0 1б 17 1'.
Если уравнение (1) является уравнением эллипсоида, то числа Л„Л, и Лз одного знака, а число — имеет знак, им пРотиКа еоположный. Но так как /а= Л,Л,Л„то Ка <, О, и далее, 1з= ЛзЛз+ ЛзЛ4+ ЛтЛз ~ О !4(з=(Лт+ Лз+ Лз) ЛтЛзЛа з О. О Если уравнение (1) является уравнением мнимого эллипсоила, то все числа Л„Л„Лз, — одного знака: так как (а =Л Л,Л„ Ка то К, ) О. СоотношениЯ (з > О и 1т(а.> О доказьщаютсЯ так же, как и в 1'. 3' Если уравнение (1) является уравнением мнимого конуса, то Л,, !Ии Л, одного знака, а — =О, откуда Кз=О; неравенства К4 1з !з> О, 1з1з,> О получаются так же, как и в 1'.
Эллипсоид Мнимый эллипсоид Мнимый конус Однополостный гиперболоид Дпуполостпый гипербо. лона Конус второго' порядка Эллиптический парабо лоид Гиперболический параболоид Эллиптический цилиндр Мнимый эллиптический цилиндр Дае мнимые пересекаю шиеся плоскости Гнперболическин ци чинар 1)не пересекающиеся плоскости !1араболический цилиндр Дае параллельные плоскости Дие мнимые параллельные плоскости Дие соападаюшие пло- скости 1, ф0, Ка <О и нли 14~0 нли 14!а~О $ !64. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАНОНИ"1ЕСК010 УРАВНЕНИЯ 145 4', Если уравнение (1) является уравнением однополостпаго гиперболоида, то из чисел Л„Л,, Л,, — два положительны, а два Ка отрицательны; если, например, Л, > О, Л, > О, Л, < О, — ' < О, ((а то 1, < О, К, > 0 и если, папРимеР, )Е=Л1Л4-~-ЛЕЛЕ+ Л,Л, > О, то ),1, = (Л, + Л, + Л,) Л,Л,Л, имеет знак, противоположный знаку Л,-(- Л, + Л,. !(окажем, что Л„+ ЛЕ+ Л, ~ О (тогда (,1, =.').
В самом деле, если бы мы имели Л, + Л„+ Л, < О, то — ЛВ >Л, + А,„ Л,Л, > Л',+Л,Л„Л,Л,+Л,Л,+Л', <О, Л,ЛЕ+Л,Л,+Л,Л, < вопреки предположению. Тот же результат ()4 ВАО, К4 > О, илп !4<0, или !1!4<0) получим, предположив, что Л, <О, ), < О, )., ) О, — > О. Выкладки рекомендуется произвести читателю самостоятельно. 5'. Если уравнение 11) является'уравнением двуполостного ги- перболоида, то два из корней Л„ЛВ, ЛВ имеют одинаковый апак с —, а третий корень — знак им противоположпыи. ! (усть, иаКа 14 пРимеР, Л,>0, ЛВ>0, — ">О, Л,<0, Тогда К,<0, 1,<0, а го, что или 1, =О, или (4!4<0, доказывается так же, как в слу- чае 4'. 6'. Если уравнение (1) является уравнением конуса второго порядка, то — '=О, откуда К,=О; !4~0, и далее, два из корней Л„Л„Л, имеют одинаковый знак, а третий — знак, им противо- положный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
