1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 80
Текст из файла (страница 80)
е. это число служит образующим элементом расслужитобразующегоэлементаможно1.ци кли ч ес к ойг ру п п ымультипликативная группаn-й с т е п е н и и з е д и н и Ц ы -в§ 19п 0-корнейпоказано, что все эти корниявляются степенями одного из них, а именно первообразного корня.Следующая теорема показывает, что этими при мерами исчерпываютсяпосуществувсециклическиегруппы:Все бескон,ечн,ые циклическuе группы uзо.морфн,ы .между собой;изо.морфн,ы .между собой также все кон,ечн,ые циклическuе группыдан,н,ого порядкаn.действительно, бесконечная циклическаягруппа с образующимэлементом а отображается взаимно однозначно на аддитивную группуцелых чисел, если всякому элементу a k этой группы ставится в соответствиепо(2),числоk; это отображение будет изоморфным, так как,при перемножении степеней элемента а показатели складываются.
Если же дана конечнаяциклическаяс образующим элементом а, то обозначимкорень n-й степени из единицы и сопоставимгруппы а, о ~ k< n,группа а порядкаnчерезе первообразныйвсякому элементу a kчисло e k • Это будет взаимно однозначноеотображение группы а на мультипликативную группу корней n-йстепени из 1, изоморфность которого следует из (2) и (5).402[гл.группы14Эта теорема позволяет говорить просто о бесконечной цикличес-n.кой группе или о циклической группе порядкадокажем, далее,следующую теорему:Всякая подгруппа циклической группы сама циклическая.В самом деле, пустьзующим элементом а,О = {а}естьциклическаягруппа с обрабесконечная или конечная, и пустьподгруппа группы О. Можно считать, что А отлична отА будетединичнойподгруппы, так как иначе доказывать было бы нечего.
Предположим,что a k есть наименьшая положительная степень элемента а, содержащаяся в А; такая степень существует, так как если в Ажится отличный отему элементaS •1a- s , s>элементсодерО, то содержится и обратныйдопустим, что в А содержится также элемент а l ,1 i= О,причем 1 не делится на k. Тогда, если d, d> О, есть наибольший общий делитель чисел k и 1, то существуют такие целые числа ииv,чтоku+lv= d,а поэтому в подгруппе А должен содержаться элемент(ak)u.(at)'v = a d,но так как принашихпредположенияхпротиворечие с выбором элементаРазложениягруппыподмножества М ипони маетсяN,поak •совокупностьподгруппе.элементовследуетто мыЕслигруппывN.приходимчто А=группеОВ{a k }.взятыMNэтих подмножествО,которыепроизведениямента из М на некоторый элемент изоперации< k,то под произведениемодним способом представимы в видеповойdЭтим доказано,хотянекоторогобыэлеИз ассоциативности групассоциативностьумноженияподмножествгруппы,(MN)P=M(NP).Одно из множеств М,одного элемента а.
В этомможет состоять, понятно, лишьслучае мы получаем произведениеNизaNэлемента на множество или произведение Ма множества на элемент.Пусть в группе О дана произвольная подгруппа А. Если хлюбой элемент из О, то произведение хА называется левым смежнымклассом группы О по подгруппе А, nорождаемым элементом х.Понятно, что элемент х содержится в смежном классе хА, так какподгруппа А содержит единицу, но х·1 =х.Всякий левый смежный класс nорождается любым из своих элементов, т. е. если элемент у содержится в смежном классе хА, тоуА=хА,Действительно, у можно представить в видеу=ха,(6)§ 64}403подгруппыгде а -элемент подгруппы А.
Поэтомудлялюбыхэлементова'и а" из А будетуа'=х(аа'),ха" =у (а- 1 а"),чем и доказывается равенство(6).Отсюда следует, что два любых левых смежных ICласса группы аПО подгруппе А или совпадают, или же не имеют ни одногообщего элемента. действительно, если смежные классы хА и уАz,содержат общий элементтоxA=zA=yA.Таким образом, вся группа а распадается на непересекающиесялевые смежные классы по подгруппе А.
Это разложение называетсялевосторонним разложением группы а ПО подгруппе А.Заметим, что одним из левых смежных классов этого разложениябудет сама подгруппа А; этот смежный класс порождэ.ется элемен,том1или, вообще, любым элементом а из А, так какаА=А.Понятно, что, называяправымПО подгруппе А, порождаемымсмежнымалементоммы аналогичным путем получили быICлассомх,группыпроизведениеправостороннееаАх,разложениегруппы а по подгруппе А. дЛЯ абелевой группы оба ее разложенияпо любой подгруппе, левостороннее и правостороннее, будут, понятно,совпадать,т.е.можноговоритьпростооразложеl-tиигруппыпо подгруппе.Так, разложение аддитивной группы целых чисел по подгруппечисел, кратных числуk,состоит изkразличных смежных классов,порождаемых cOOTBeTCliBeHHO числами О,в классе, порождаемом числомчисла, которые при делении на1, 2, .•• , k - 1.1, 0< 1 < k - 1,kПри этомсобранывсетедают остаток ~В некоммутативном случае разложения группы по некоторой подгруппемогутоказатьсяразличными.Рассмотрим, например, симметрическую группу з·й степени SЗ'причем, в соответствии с § 3, будем записывать ее элементы черезциклы.
В качестве подгруппы А возьмем циклическую подгруппуэлемента (12); она состоит из тождественной подстановки и самойподстановки (12). Другими левыми смежнымиклассами будут:класс(13)· А,состоящий из rюдстановок(13)и(132),и класс(23)· А,состоящий из подстановок (23) и (123). С другой стороны, правымисмежными классами группы SЗ по подгруппе А будут: сама подгруппа А, класс А.(13), состоящий из подстановок (13) и (123),и класс А· (23), состоящий из подстановок (23) и (132).
Мы видим,что правостороннее разложение отличается в рассматриваемом случаеотлевостороннего.404[гл.ГРУППЫдля случая конечных групп существование разложенийпо подгруппе при водитТе о ре м а14группык следующей важной теореме:Л а гр а н ж а.
Во вся/(ой/(онечнойгруппеnорядо/(любой подгруппы является делителем nоряд/(а самой группы.В самом деле, пусть в конечной группе О порядка n дана подгруппа А порядкаk.по подгруппе А.Пусть оно состоит изРассмотрим левостороннее разложение группы Оjклассов;числоназыjвается инде/(сом подгруппы А в группе О. Каждый левый класс хАсостоит ровно изkэлементов, так как еслиxa lгдеalи а2 -=ха 2 ,элементы из А, то=alа 2 • Таким образом,n = kj,(7)что и требовалось доказать.Так как порядок элемента совпадает с порядком его циклическойподгруппы, то из теоремы Лагранжа следует, что nорядо/( всякогоэлемента конечной группы является делителем порядка группы.Из теоремы Лагранжагруппа,nорядо/(следуеткоторойестьтакже,чтопростоевсякаячисло,/(он-ечнаяБУдетци/(личес/(ой. Действительно, эта группа должна совпадать с циклическойподгруппой, порожденной любым ее элементом, отличным от единицы.Отсюда вытекает, ввиду полученного вышеописанияциклическихгрупп, что для вся/(ого простого числа р существуетная, с точностью до изоморфизма, /(о1l,ечн,ая группа§ 65.единственnоряд/(а р.Нормальные деЛ'ители, фактор-группы, гомоморфизмыПодгруппа А группы О называется нормальным делителем этойгруппы (или ин-вариантнойложение группыподгруппой),еслилевостороннееразО по подгруппе А совпадает с правосторонним.Таким образом,все подгруппы абелевой группы являются в нейнормальными делителями.
С другой стороны, во всякой группе Ои единичная подгруппа, и сама эта группа будут нормальными делителями: оба разложения группы О по ещlНИЧНОЙ подгруппе совпадаютс разложениемгруппынаот дельныеэлементы,обаразложениягруппы О по самой этой группе состоят из одного класса О.Укажем более интересные примеры нормальных делителей в некоммутативных группах. В симметрической группе 3-й степени Sзциклическая подгруппа элемента (123), состоящая из тождественнойподстановки и подстановок (123) и (132), будет нормальным делителем: в обоих разложениях группы 'Sз по этой подгруппе второйсмежный класс состоит из подстановок (12), (13) и (23).Вообще в симметричной группе n-й степени Sn знакопеременнаягруппа n-й степени А n будет нормальным делителем.
Действительно,группа А n имеет порядок)"2 nl,поэтомувсякийсмежныйкласс§ 65]НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ, ФАКТОР-ГРУППЫ,группыSn по подгруппе А n должен состоять из стольких же элементови,аименноследовательно,совокупностьтакойнечетныхклассгомоморФизмыимеется еще только405один,подстановок.В мультипликативной группе невырожденных квадратных матрицпорядкаnрых равенс элементами из полясоставляют,1,Р те матрицы, определите'ЛЬ котоочевидно,ПОДГРУППУ.Этобудетдаженормальный делитель, так как смежным классом по этой подгруппе,одновременно левым и правым, по рождаемым матрицей М, являетс\(классвсехматриц,определителькоторыхравенопределителюматрицы М-достаточно вспомнить, что при умножении матриц ихопределителиперемножаются.Определению нормального делителя, приведенному выше, можнопридать такую форму:Подгруппа А группы а называется нормальным делителем этойгруппы,если для всякого элемента х из ахА= Ах,(1)т.
е. для всякого элемента х из а и элемента а из А можноподобрать в А такие элементы а' и а", чтоха=а'х,Можно указать идругиеах=ха".(2)определениянормального делителя,Ь группы асопряженными, если в а1:уществует хотя бы один такой элемент х,равносильные исходному. Так, назовем элементы а ичтоь= x-1ax,(3)т. е., как говорят, элемент Ь получается из элемента а тра1f,СфОР.мuрованuе.м элементом х. Иза(3) следует, очевидно,= xbx- 1 = (x-1)-lbx- 1.Подгруппа А группы а тогда и.мальны.м делителе.м в а, если в.местетом а 01f,a содержит и все элеме1f,ты,Действительно, если А-нормальныйравенствотолЬ/со тогда будет 11,0[>со ВСЯ"Il.м C/J.OUM элеме1f,·соnряжеН1f,ые с ним в а.делитель в а, то, по (2),для выбранного нами элемента а из А и любого элемента х И3аможно подобрать в А такой элемент a~, чтоах = ха".Отсюдах- 1 ах=а",т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
