1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Если А (л) '" В (л), то от А (1.)можно перейти к В (л) при помощи конечного числа элементарныхпреобразованиЙ. Заменяя каждое из этих преобразований умножением4)слеваилисправанаэлементарнуюматриuу,мыпридемкравенствуВ (л)= и 1 (л)где все матриuы и1 (л),следовательно,... U k (л) А (л) V 1 (л) ..• V l (л),(4)... , Uk (л), V1 (л) •... , Vl (л) элементарны и.унимодулярны.Унимодулярнымибудутпоэтомуиматриuыu(л)=u 1 (л)...Uk(л),являющиеся произведениямиV(л)= V1 (Л) ... V1(Л),)'IНимодулярныхматриu, а равенство(5)(4)374НОРМАЛЬНАЯперепишется в виде(1).ФОРМА(гл.13МАТРИЦЫk=Заметим, что если, например,О, т. е.элементарные преобразования совершались лишь над столбцами, тополагаем простоU(л)=Е.Проведенная нами часть доказательства позволяет одновременновысказатьследующеел-матрицатогдаутверждение:итолЬ1(Отогдаунимодулярна,еслионапредставима в виде произведения элементарных матриц.В самом деле, мы уже пользовались тем, что произведение элементарных матриц унимодулярно.
Обратно, если дана произвольнаяунимодулярная матрицаW (л), то она эквивалентна единичной матрице Е. Применяя проведенное выше доказательство вместо матрицА (л) и В (л) к матрицам Е и W (л), мы из (4) получим равенствоW (л) = и1 Щ ... Uk (л) V 1 (л) ••• V/ (л),Т. е. матрицаэле~ентарныхW(л) оказалась представленной в виде произведенияматриц.Теперь легко провести и Д о к а з а т е л ь с т в о о б р а т н о г оу т в е р ж Д е н и я н а ш е г о к р и т е р и я. Пусть для матриц А (л) иВ (л) существуют такие унимодулярные матрицы U (л) и V (л), чтоимеет место равенство (1). По доказанному, матрицы U(л) It V(л)можно представить в виде произведений элементарных матриц; пустьэтобудутв виде(4)(5).представленияРавенство(1)перепишетсятеперьи, заменяя каждое умножение на элементарную матрицусоответствующим элементарным преобразоваиием, мы получим, наконец, что А (л) "'- в (Л).Матриqные многоqлены.
На понятие л-матрицы можно посмотреть с совершенно иной стороны. Назовем матричным л-многочленом порядка n над полем Р многочлен от л, коэффициентамикоторогослужатквадратныематрицыодного итого же порядкаnс элементами Иd поля Р; его общим видом будет(6)Понимая,л k-',в соответствии с § 15, умножение матрицы А ; наi = О, 1, ... , k, как умножение на л k-I всех элементовматрицы Ар а затем выполняя сложение матриц в соответствии с темже § 15, мы получим, что всякий матричный л-многочлен порядка n~lOжно записать в виде л-матрицы порядка n.
Так,-3)л)+(1 2)1..+(01)=(4"-3+1.. -3"-2+2"-+1)(-140)1..з+(011-2+ 1..2-21.. •ООО О_'}.,3'}.,3Обратно, всякая л-матрица порядка n .может быть записанав виде матричного Л-.многочлена порядка n. Так,}.,2_ 5 '}-3.,+I) = (О1 0)1..4+(3 0)1..2+(02 1)1..+(-5 -31) •(3''}.,4+2'}.,ОООООУНИМОДУЛЯРНЫЕ ~-МАТРИЦЫ§ 60]375Соответствие между л-матрицами и матричными л-многочленами§ 46.
действительно, равенство л-многочленов вида (6) как матриц равносильноравенству матричных коэффициентов при одинаковых степенях л,а умножение матрицы на л равносильно умножению ее на скалярнуюматрицу с л на главной диагонали.является взаимно однозначным и изоморфным в смыслеПусть дана л-матрица А (л), причемА (л) =Аол k +А 1 л k - 1гдематрицаА о нел-матрицы А (л);являетсяэто будет,+ ...
+А k _ 1 л +Ak ,нулевой.Числоkназовемочевидно, наивысшаястеnекьюстепень (по л)элементов матрицы А (л).Взгляд на л-матрицы как на матричные многочлены позволяетразвивать для л-матриц теорию делимости, аналогичную теорииделимостидлячисловыхмногочленов,ноусложняемую,понятно,некоммутативностью УМНОlКения матриц и наличием делителей нуля.МыСограничимсялишьвопросомоба лrор и т мед е л е н и 11О С Т а т к о м.Пусть над nоле.м Р даны Л-.матрицы порядкаА (л) = Аол RВ(л)nриче.м=Вол lnредnоложи.м,n+ А 1 л k-l + ...
+ А k _ 1 л + Ak •+ в1 л / - 1 + ... +81_11. + Bt ,что.матрицаВон,евырожден,н,ая,т.е.существует .матрица В;I. Тогда над nоле.м Р .можно найтитакие Л-.матрицы Ql (л) и R 1 (л) того же порядка n, чтоА (л) = в (л)Ql (л)f- R 1 (л),(7)nриче.м степень R 1 (л) .меньше степени В (л) или же R 1 (л) = О.с другой стороны, над nоле.м Р .можн,о найти такие Л-.матрицыQ2 (л) и R 2 (л) порядка n.
чтоА (л)=Q2 (л) В (л)+R2 (л),(8)nриче.м степень R 2 (л) .меньше степени В (л) или же R 2 (л) = О.Матрицы Ql (л) И R1 (л), а также Q2 (л) и R 2 (л). удовлетворяющиеэти.м условия.м,определяются однозначн,о.доказательство этой теоремы проходит так же, как доказательство соответствующей теоремы для числовых МНОГОЧJlенов (см. § 20).Пусть, например, условию (7) удовлетворяют также матрицыиR1 (л),причем степеньR 1 (л)Ql (л)меньше степени В (л).
ТогдаВЩ[Ql Щ-Ql (л)J =R1 (л)-R1 (Л).Степеньправойчастименьше1,степеньжеквадратная скобка отлична от нуля, большелевойчасти,или равна1,еслитак какматрица Во невырожденная. Отсюда следует единственность матрицQl (л) и R1 (Л).876НОРМАЛЬНАЯдляприk~доказательстваlФОРМА[гл.МАТРИЦЫсуществованияэтихматрицзаметим,13чтостепень разностиА (л)-в(Л).в~l Аол k - lбудет строго меньше k; поэтому в;lАол k - 1 будет старшим членомматричного л-многочлена Ql (л).
Дальше продолжается так же, какв § 20. С другой стороны, степень разностиА (л) _АоВ~lЛk-I.В (л)также строго меньше k, т. е. А о В;l л k - 1 будет старшим членомматричного л-многочлена Q2 (л). Мы видим, что л-матрицы Ql (л) иR 1 (л) и R 2 (л) ), удовлетворяющие условиям теоремы,Q2 (л) (а такжедействительно в общем случае будут различными.Основнаятеоремаоподобииматриц.у нас нет пока способа для решенияКакужеотмечалось,вопроса, подобны ли данныечисловые матрицы А и В (т. е. матрицы с элементами из основногополя Р). С другой стороны, их характеристические матрицы A-лЕи В - лЕ являются л-матрицами и вопрос об эквивалентности этихматриц решается вполне эффективно.
Легко понять поэтому, скольвелико значениеМатрицы Аследующей теоремы:и Всэле.мента.миизполяР тогда и толЬfСОтогда подобны, если их характеристические .матрицы А - лЕ иB-лЕ эквивалентны.В самом деле, пусть матрицы А и В подобны, т. е. над полем Рсуществует такая невырожденная матрица с, чтоВ=С-IАС.ТогдаC-l(A-лЕ) с= C- 1 АС-л(С- 1 ЕС) = В-ЛЕ.Невырожденные числовые матрицы C-l и С являются, однако,унимодулярными л-матрицами. Мы видим, что матрица B-лЕполучена умножением матрицы А - лЕ слева и справа на унимодулирные матрицы, т. е. А - 'АЕ "- В - ЛЕ.доказательство обратного утверждения является более сложным.ПустьA-лЕ,,- В-ЛЕ.Тогда существуют такие унимодулярные матрицы U(л) и V(л), чтоU(л) (A-лЕ) V(Л)=В-ЛЕ.(9)Учитывая, что для унимодулярных матриц обратные матрицы существуют и являются л-матрицами, выведем из (9) следующие равенства,используемыениже:U(Л) (A-лЕ)= (В- лЕ)(А=- лЕ) V (л)V- 1 (л), }и- 1 Щ (В- ЛЕ).(10)§ 60]УНИМОДУЛЯРНЫЕ Л-МАТРИЦЫ377Так как л-матрица B-лЕ имеет по л степень1,причем старшим коэффициентом соответствующего матричного многочлена служит невырожденная матрица -Е, то к матрицам U(л) и B-лЕможноприменитьалгоритмделенияс остатком:существуюттакиематрицы Ql (1.) и R1 - ПОСJlедняя, если она отлична от нуля, должнаиметь по л степень О, т.
е. от л не зависит, - что(11 )АналогичноVЩИспользуя(11)и=(12),Q2 (А) (В-АЕ) +R 2 •из(9)( 12)получаем:R 1 (А-АЕ) R 2 = (В-АЕ)-и (А) (А -лЕ) Q2 (А) (В-АЕ)-(В-лЕ) Ql (А) (A-лЕ) V (А)или, ввиду+ (B-лЕ) Ql (А) (А-АЕ) Q2 (А) (В-АЕ)(1 О),R1(А- АЕ)R2 =-(B-лЕ)Ql(В-АЕ}.- (В-АЕ)(А)U-lV-l(А)Q2(А) (В-АЕ)(л) (В-АЕ)++ (В-АЕ) Ql (А) (А-АЕ) Q2 (А) (B-лЕ) = (B-АЕ)хХ{E-[V-l (л) Qz (л)+Ql (А) U-l Щ-Ql Щ (А-лЕ) Qz (л)] (В-АЕ)}.Квадратная скобка, стоящая справа, равна в действительности нулю:в противном случае она, являясь л-матрицей, так как иV-l(А), ии-l (л) суть л-матрицы, имела бы по меньшей мере степень О,а тогда степень фигурной скобки была бы не меньше 1 и, следовательно, степень всей правой части была бы не меньше 2.
Это, однако, невозможно, так как слева стоит л-матрица степени1.Таким образом,откуда, приравниваястепенях л, получаемматричныекоэффициенты(14)ПОI{азывает,отлична от нуля,(13)Е.(14)чточисловаяно даже является(13)принимает видR;lAR 2 =B,что и доказываетматрицаневырожденной,R;1=R 1 ,а тогда равенствоодинаковыхR 1 AR 2 =B,R]R 2 =Равенствоприподобие матриц А и В.Rzнепричемтолько378НОРМАЛЬНАЯОдновременноД е н н у юмыМ а т р и ЦуФОРМАн а у ч ил и с ьR2 ,р иЦу А в м а т р иЦу[гл.МАТРИЦЫН а х о Д и тьК О Т О Р а Яту13н е в ы р о жт р а н с фор м и р у е т м а т-В. Именно, если матрицы А-АЕ и В-АЕэквивалентны, то первая конечнымчисломэлементарных преобразований переводится во вторую. Берем те из этих преобразований,которыеотносятсякстолбцам,элементарных матриц,резV(A).стоялоДелим затемслеваотV(A)делителяи будет матрицейи произведениевзятых в томжесоответствующихпорядке,обозначаем чена В-АЕ, причем так, чтобы частное(см.(8)).ОстатокотэтогоделенияR2 •Указанное деление можно на самом деле не выполнять,а воспользоваться следующей леммой, которая найдет применение такжев§ 62:Л е 1\1 М а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
