1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 74
Текст из файла (страница 74)
, d n (Л),(4)од н о з н а ч н ооп р е д е л я е м ы еса м о йм а т р иц е йА (Л).d 1 (л) есть наибольший общий делитель всех элементовматрицы А (л), взятый с коэффициентом 1, а d n (л) равен определителю матрицы А (л), деленному на его старший коэффициент.I1ри этомЗаметим также, что если матрица А (л) имеет рангd r +1 (л)= ... =d n (л)"то= О,в то время как все остальные многочлены систе\1Ы(4)отличны от нуля.эквивллннтность ~-МАТРИЦ§ 59]Наибольший общий делительЛ-J/I,атрицы А (~), k= 1, 2, ... ,369d k (~) всех "nиnоров k-го nоряд/Саn, nе "nеnяется при выnолnеnuu8 "nатрице А (~) эле.ftеnтарnых nреобразоваnuЙ.Это утверждение почти очевидно для того случая, когда в матрице А (~) выполняется элементарное преобразование типа 1) или 2).Так, например, если Ё-н строка матрицы умножается на число а изполя Р, а =1= О, то те миноры k-ro порндка, через которые i-я строкаk-roпроходит, будут умножатьсн на а, все же остальные минорыпорsrдка останутся без изменения.
Однако при разыскании наибольшего общего делителя нескольких многочленов любые из этих многочленов можно беспрепятственноумножать наот личныеотну ЛIIчисла из поля Р.Рассмотрим теперь элементарные преобразоваНИII типа 3) или 4).Пусть, например, к i-й строке матрицы А (л) прибавляется ееj-я строка, j=l=i, умноженная на многочлен ер (л); получающуюсяпосле этого преобразования матрицу обозначим через А (~), а на ивсех ее миноров k-ro ПОРlIдка, взятыйсо старшим коэффициентом 1, - через dk (л).
Посмотрим, что пробольший общий делительисходит при указанном преобразованиис, минорамиk-roПОРlIдкаматрицы А (Л).Ясно, что не будут меняться те миноры, через которые i-я строкане проходит. Не меняются и те миноры, через которые проходяткак i-я, так и j-я строки, так как определитель не меняется отприбавленияк одной его строке кратного другой его строки.Возьмем, наконец, любой из тех миноров k-ro порядка, черезторые проходит i-я строка, но не проходит j-я; обозначимкоегочерез М. Соответствующий минор матрицы А (~) можно представить,очевидно, как сумму минора М и умноженного на ер (~) минора М'матрицы А (л),получающегосяизминораМзаменойэлементовi-й строки матрицы А (л) соответствующими элементами ее j-й строки.Так как и М, и М' делятся налиться на d k (л).dk (л), то И МИз сказанного следует, что все миноры+ ер (л) М'k-roбудет депорядкаматрицыА (л) нацело делятся на d k (л), а поэтому и ~ (л) делится на d k (л).Так как, однако,для рассматриваемогования существует обратное элементарноетипа, то и d k (л) делится наэлементарногопреобразопреобразованиетогожеd k (л).Если же учесть, что старшиекоэффициенты обоих этих многочленов равны 1, то "'ё4 (л) = d k (л),что И требовалось доказать.Таким образом, все"n ~-"naтpицa"n, эквивалеnтны"n "nатрицеА (л), соответствует одиn u тот же н,абор "nного'tлеnов (4).
Этоотноситсн, в частности, к любой (если их несколько) каноническойтакихматрице,матриц.эквивалентнойА (л). Пусть(3)будетоднаиз370НОРМАЛЬНАЯВычислим многочлен(3).цейdkЯсно, что миноруглу этой матрицы,ФОРМА(л),k-rok[гл.МАТРИЦЫ= 1, 2, ... , n,порядка,пользуясьстоящийвлевом13матриверхнемравен произведениlOе 1 (л) е 2 (л) .•• ek (л).Если, далее, мы берем в матрицевстрокахсномерамиИ В столбцахс т е ми(5)минор(3)порядка, стоящийk-ro< i < ...••• , i k , где i 1с а м ы м и н О м е р а м и,i1 , i 2 ,ж еравен произведениlO ei, (л) ei, (л)2TCt<ik ,ЭТОТ минорeik (л), которое делится на.•.(5).Действительно, 1~ i 1 и поэтому ei, (л) делится на е 1 (л), 2~i2'и поэтому ei, (л) делится на е 2 (л) и т. д.
Наконец, если в матрице (3)взят минорk-roпорядка,через который хотя бы для одногоiпроходит i-я строка этой матрицы, но не проходит ее i-й столбец, тоэтотминорсодержитнулевуюстрокуипоэтомуИз сказанного следует, что произведениешим общим делителем всех минорова поэтому и исходной матрицы А (л),d k (л)= е 1 (л)е 2 (л)равени(5)k-ro порядка матрицы... ek (л),k= 1,Пустьобразомрангэтойd r (л) =1= о, но d r + 1 (л)=определяютсяматрицые г +1 (л)С другой стороны, для(6)= 1, 2, ... ,матрицейn,А (л).т. Тогда, как мы знаем,(6), е Т + 1 (л) =О, а поэтому, ввидуввиду свойств канонической матрицы,р а н г r м а т р и Ц ы А (л) м е н ь ш еkсамойравен(3),2, ••• , n.Теперь легко показать, что многочлены ek (л),однозначнымнулю.будет наибольвообщеn, т оследует,О.
Отсюда,что е с л и= е Г + 2 (л) = ... = е n (л) = О.(7)k ~ r из (6) следует, ввиду d k _ 1 (л) =F О, чтоek (л) =dk (л)dk - 1 (л)(8)Этим заканчивается доказательство единственности канонического вида л-матрицы. Одновременно мы получили способ непосредственногоразысканиямногочленовek(л),называемыхриантными множителями матрицы А (л).При м е р. Привести к каноническому виду л,матрицуА(Л) = (~:+~л ~~2).Выполняя цепочку элементарных преобразований, получаеМIА (л) -( лз -л1.2+51.~Л2)3-(.!..3 ].з_103 л2-ло)-1.2+51.л.- ( .!..3 л3_1O3 1.2-1.
0\,,..., (1.3-101.2-31. о) _ (ЛлОл)олоинва§ 60]УНИМОДУЛЯРНЫЕ Л-МАТРИЦЫ371с другой стороны, можно было бы непосредственно вычислить инвариантные множители матрицы А (Л)'. Именно, ВЫЧИСЛIlЯ наибольший общийделиТЕ.'ЛЬ элементов этой матрицы, получаеМId1 (л) = еl (л) = л.Вычисляя же определитель матрицы А (л) и замечая, что его старший коэффициент равен1,получаем:.. d2а(л)=1.4-101..8-31..2,поэтому§ 60.Унимодулярные л-матрицы. Связь подобия qисловыхматриц сэквивалентностьюиххарактеристиqескихматрицИЗ результатов предш~ствующего параГlрафа вытекает один критерий эквивалентности Л-матриц, которому можно придать следующие две почти тождественные формулировки:Две Л-,матрицытогдаитолькотогда8квивален,тf{,Ы,еслион,и приводятся к одн,о,му и то,му же кан,он,ичеСКО.АtУ виду.Две л-,матрицы тогдаи толькотогда8квивалеf{,тн,ы,еслион,и обладают один,аковы,ми Uf{,BapuaftmftblMU ,мн,ожителя,мц.Выведем еще один критерий, имеющий уже иной характер.Мы знаем, что к числу канонических л-матриц принадлежитединичная матрица Е.
НаЗDвем Л-матрицу И (л) ун,ц,модулярн,ой,если она имеет матрицу Е своимвсеееинвариантныемножителиканоническимравнывидом,т. е. еслиединице.л-,матрица U(Л) тогда и толжо тогда ун,и,модУЛflрн,а, еслиее оnред,елитель отличен, от н,уля, н,о н,е зависит от Л, т. е.является отличн,ы,м от н,уля число,м из осн,овн,ого поля Р.Действительно, если U(Л) '"'- Е, то этим двум матрицам соответствует один и тот же многочлен d n (Л). Однако для единичнойматрицы d n (Л) = 1. Отсюда следует, что определитель матрицы U(л),отличающийся от d n (л) лишь отличным от нуля числовым множителем, будет отличным от нуля числом из поля Р.
Обратно, еслиопределитель матрицы U(Л) отличен от нуля и не зависит от Л, тодля этой матрицы многочлен dn(л) будет равен 1, а поэтому,по (6) из предыдущего параграфа, все инвариантные множители ej (л)матрицы И (л), i = 1, 2, ..• , n, равны единице.Отсюда следует, '!ТО всякая н,евырожден,н,ая чuсловаfl ,матрицаявляется ун,и,модулярн,ой Л-,матрицеЙ. У нимодулярная л-матрицаможет иметь, однако, очень сложный вид.
Так, л-матрицаунимодулярна, так как ее определитель равеннуля и от л не зависит.20,т. е. отличен от372НОРМАЛЬНАЯИзФОРМА(гл.МАТРИЦЫ13доказанной выше теоремы следует, что произведение униЛ-м.,атрицсамоунимодулярно-достаточновспоммодулярныхнить,чтоприл-матрицаумноженииU (л)матрицихопределителиперемножаются.тогда и только тогда унимодулярна, если для неесуществует обратная матрица. ТQ/f,же являющаяся Л-матрuцеЙ.Действительно, если дана невырожденная л-матрица, то, разыскиваяобычнымспособомобратнуюматрицу,мыдолжныделить алгебраические дополнения к элементам даннойопределитель этой матрицы,т.е. нанекоторыйJlоэтому В общем случае элементы обратноймногочленн ебу д е тматрица, тоделитьл-м а т р и Ц е й.Еслиалгебраическиеотличное от нуля число из поляР,жеданадополненият.е.от л.матрицы будут рациональными дробями от л, а не многочленами от л, т.
е.р И Ц абудемматрицы наэтам а тунимодулярнаяпридется лишь наэлементыобратной матрицы будут многочленами от л и поэтому обратная матрица самабудет л-матрицей. Обратно, если л-матрица U (л) обладает обратнойл-матрицей U-l (л), то определители этих обеих матриц являютсяМНOIочленами от л, их произведение равно 1, а поэтому оба определителя должны быть многочленами нулевой степени.Из последнего замечания вытекает такое добавление к доказанной сейчас теореме:л-матрица. обратнаякунимодулярнойл-матрице, сама YHU"IO-дулярна.Понятиеунимодулярнойматрицыиспользуетсявформулировкеследующего нового к р и т е р и я э к в и в а л е н т н о с т и л-м а т р и ц:две л-матрицы А (л) и В (л) порядка n тогда и только тогдаэквивалентны.U(л) иV (л)еслисуществуюттого же порядкатакиеn,унимодулярныел-ма7 рицычтоВ(л)=U(л)А (л) V(Л).Введем сначала следующее понятие,используемое(1)при доказательстве этого критерия.
Назовем элементарной матрицей числовую(и, следовательно, л-) матрицу(О11....а......(i),(2)1оотличающуюся от единичной матрицы лишь тем, чтоi-Mместе главной диагонали,1 ~ i ~ n,на некоторомстоит проиэвольное число аУНИМОДУЛЯРНЫЕ Л-МАТРИЦЫ§ 601373из поля Р, О Т Л И Ч н О е о т н у л я. С другойтакже эле.Аlентарной матрицей л-матрицу..•.. 1 .•.
<р (л) . . .стороны,назовем(i),(3)1"1отличающуюсяотединичнойматрицылишьтем,что напересече·нии l-й строки и j-ro столбца, 1 ~ l ~ n, 1 ~j ~ n, причем l =1= j,стоит произвольный многочлен ер (л) из кольца Р (л].Всякая элементарная матрица унимодулярна. В самом деле, определитель матрицы (2) равен а, но, по условию, а =1= О; определительже матрицы (3) равен 1.Выполнениевл-матрице А (л) люБО20элементарногоnреобразования равносильно умножению этой матрицы слева или справананекоторуюэлементарную матрицу.Действительно,читатель без трудапроверит справедливостьследующих четырех утверждений: 1) умножение матрицы А (л) слевана матрицу (2) равносильно умножению i-й строки матрицы А (л) начисло а; 2) умножение матрицы А (л) справа на матрицу (2) равносильно умножению [-го столбца матрицы А (л) на число а; 3) умножение матрицы А (л) слева на матриuу (3) равносильно прибавлениюкi-й строке матрицы А (л) ее j-й строки, умноженной на ер (л);умножение матрицы А (л) справа на матриuу (3) равносильно прибавлению к j-MY столбuу матриuы А (л) ее [-го столбuа, умноженного на ер (л).Перейдем теперь к д о к а з а т е л ь с Т в у н а ш е г о к р и т е р и яэ к в и в а л е н т н о с т и Л-М а т р и ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
