1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 76
Текст из файла (страница 76)
ПустьV(A)=VoA.I"-+-VlА.I"-l+"'-+-VS_lА-+-Vs,ЕслиVo=#=O.(15)+ R1 •Q2 (А) (АЕ -В) + Rz'V (л) = (АЕ - В) Ql (А)V (А) =те(16)R1 = BSVo+ B.I"-lV1 + ... -+-BV8 _ 1 + VS',R 2 = VOB 8 + V 1 B S -l+ •••Достаточнолеммы -второедоказатьхотядоказываетсябы+ V.I"_lB+ Vs'первоевполне(17)издвуханалогично.утвержденийДоказательствосостоит внепосредственной проверке справедливости равенства (16),если многочлен V(A) будет заменен его записью (15), вместо R 1бу дет подставленоQl (л) =(17),VoA .1"-1 -+- (BVoа в качествеQl(л) будет взят многочлен+ V1 ) л 8-2 + (В2 Vo+ BV1 + V2 ) 1..1"-3 + ...••• -+- (В8 -1 Vo +B.I"-2V1 -+-••• + VS - 1 )'Проверка эта предоставляется читателю.При м е р. Даны матрицыА=(-2О 31) '-10 -4)ll'В= ( 26Их характеристические матрицы эквивалеитны, так как приводятся: к од!tомуНтомуже каноническомувидупоэтому матрицы А и В подобны.§ 61]ЖОРДАНОВАНОРМАЛЬНАЯ379ФОРМАДля разыскания матрицы R 2 , трансформирующей А в В, найдем какуюлибо цепочку элементарных преобразований, переводящую A-лЕ в В-ЛЕ.Так,А_ЛЕ-(-2-ЛО-1 )З-л -r-4)11-л -4)_(-10-1..-4) =b-л.Е.11-11.26( - 2-11.1)8+411.-16-811.
ll-л -\-16-8Л_(40+4Л-104ll-лК столбцам относятся два последних преобраsования: к первому столбцуприбавляется второй, умноженный на -8, а затем первый столбец умножается на1-4"'Произведение соответствующих элементарных матриц будетЭта матрица не зависит от л и поэтому она и будет искомой матрицейКонечно, матрица, трансформирующая А в В, определяетсяоднозначно. Такой будет, например, также матрица§ 6 t.БудемR2 •далеко неЖорданова "ормальная формарассматриватьсейчасквадратныематрицыпорядка11.с элементами из поля Р. Будет выделен один специальный тип таких.матриц, так называемые ж о р д а н о в ы матрицы, и будет показано,что эти матрицы служат нормальной формой для весьма широкогокласса матриц.
Именно,.матрицы, все характеристические корпикоторых лежат в осnовnо.м поле Р (и только такие .матрицы),11.0добnы некоторы.м жордаnовы.м .матрица.м, т. е., как говорят,оnи при водятся к жордановой нор.мальnоЙ фор.ме. Отсюда будетследовать, если в качестве поля Р взято поле комплексных чисел,чтовсякая.матрицас ко.лmлеКСnЫ.flиэле.мента.миприводитсяв поле ко.мnлексnых чисел к жордановой нор.мальnоЙ фОР.fzе.Введем необходимые определения.
Жордаnовой клеткой порядка k, относящейся к числу /"0' называется матрица порядка k,1 ~ k ~ n, имеющая видоЛо(1)о380НОРМАЛЬНАЯинымисловами,число Л О изнаееФОРМАглавнойдиагоналиполя Р; параллель,сверху, сплошь занята числомМАТРИЦЫстоитодноближайшая к главной1;и[гл.13тожедиагоналивсе остальные элементы матрицыравны нулю. Так,(~o ~o ~)Обудутисоответственнотретьегожордановымиклеткамипервого,второгопорядков.Жордановой .матрицей порядкаимеющая0).,0nназывается матрица порядкаn,вид~ОJ2J=(2)~)Оздесь вдоль главной диагонали идут жордановы клеткиJ1 , J2 ,•••,JIIнекоторых порядков, не обязательно различных, относящиеся к некоторым числамизполя Р,такжене обязательноместа вне этих клеток заняты нулями.
При этомжордановаклеткаматриц этогопорядкапорядка,и,nпринадлежитпонятно,кразличным;s ~ 1,числувсет. е. однажордановыхs ~ n.Заметим, хотя это и не будет дальше использоваться, что строениежордановой матрицы можно было бы описать, не прибегаяк понятию жордановой клетки.
Очевидно, именно, что матрица Jбудет жордановой матрицей тогда и только тогда, если она имеет вид)оJогдедое"'j, i = 1, 2, ••• , n,- произвольные8рj= 1, 2, ... , n-l,равночисла из поля Р, а кажединицеилинулю,причем,если 8}=1, то "'}="'}+1'Диагональные .матрицыновых.матриц:этобудутявляютсявчастны.мточноститеслучае.мжордановыу которых все жордановы клетки имеют поридокжордаматрицы,1.Нашей ближайшей целью является раз ы с к а н и е к а н о н и ч ескоговида для характеристической матрицыJ-"'E§ 61]ЖОРДАНОВАНОРМАЛЬНАЯ381ФОРМАпро и 3 В О Л Ь н о й ж о р Д а н о в о йМ а т р и Ц ы J пор Я Д К а n.Найдем сначала канонический вид для характеристической матрицыО(3)Оодной жордановой клеткипорядка(1)этой матрицы и вспоминая,k.Вычисляяопределительчто старший коэффициентмногочленаd k (л) должен равняться 1, получаем, чтос другой стороны, среди миноровимеется минор,(k-1 )-го порядка матрицы (3)равный единице, а именно тот, который получаетсяпосле вычеркивания первого столбца и последней строки этой матрицы.Поэтомуdk - 1 (л) = 1.Отсюда следует, что канонuчески.м, видом для матрицыследующая л-матрица порядка(3)служитk:(4)Докажем теперьследующую л е м м у:Fсли мн,огочлены {j)1 (л), {j)2 (л), •..
, {j)t (л) из кольца Р[л] попарновзаимно просты,<1'11(л.)ото имеет<1'2(л.).м,естоО].следующая эквивалентность:О)(1"-ept(л.)ОtЦ <l'j (л) JДостаточно, очевидно, рассмотреть случайt= 2.Так как многочлены {j)l (л) и {j)2 (л) взаимно просты, то в кольце Р[л] существуюттакие многочлены и 1 (л.) и и 2 (л), что{j)1 (л) и 1 (л)+ {j)2 (л) и 2 (л.) =1.882НОРМАЛЬНАЯФОРМА[гл.МАТРИUЫ13Поэтому( ер1 (л)ОО)ер~(л)'"'- (ер1 (л)о"- (ер1 ciЛ)""-(ер2 1щер1 (л) и1 (Л)+IP2(Л) и 2 Щ) = (ер1 (л)<Р2 (л)<р] (л»)оО(1ер1 (л))'"'- о -ер1 (л) ер2 (л) '"'-(~ -ер1 ~ч <Р2 (л)) '"'- (~ <Р1 (~ <Р2 щ) ,что и требовалось доказать.Перейдем теперь к рассмотрениюхарактеристической матрицыоJ-'A.E=(5)одля жордановоR: матрицы J вида (2); здесь E i , i = 1, 2, ••• , s,есть единичная матрица того же порядка, что и клетка J i .
Пустьжордановы клетки матрицы J относятся к следующим раз л и ч н ы м1..1' 1..2' ••• , л. t , где t.:;;;:; s.2, ••• , t, относится qi жордановыхчислам:этихклеток,расположенныеk j1вПусть, далее, к числу л.i'i = 1,клеток, qi ~ 1, и пусть порядкиневозрастающем порядке, будут~ kj2~"'~ k iq ,.(6)Отметим, хотя и не будем этим пользоваться, чтоt~qi=$.1=1tq!~ ~kij=n.{:1 j : ll1рименяя элементарные преобразования к тем строкам и столбцам матрицы (5), которые проходят через клетку J j - л.Еj этойматрицы, мы не будем затрагивать, очевидно, других диагональныхклеток. Отсюда следует, что в матрице (5) можно при помощи элементарныхпреобразованийзаменитькаждуюклетку J i - л.Е i ,i = 1, 2, ..• , $, соответствующей клеткой вида (4).
Иными словами,.матрица J-л.Е 81Свивалентна диагональной .матрице, на диагонали 1Соторой стоят, nо.ми.мо не1Соторого числа единиц, ma1C:J(qe§ 61]ЖОРДАНОВАследующие.мliогочлеIiЫ.НОРМАJlЬНАЯ383ФОРМАсоответствующиевсе.мжордаliовы.JZJ:клетка.м .ftатрицы(л- л 1 )k 11 , (л- Л I )k .. , ••• , (л- л 1 )k 1q "(л-л 2 )k 21 , (л-л 2 )k 22 , • • • , (л-л 2 )k.q .,}(7). (л'~';t)< '(л'~~t)~I:, '.:",' (~~Лt)k;ql:Мы не указываем при этом те места на диагонали, на которых стоятмногочлены (7), так как в Jlюбой диагональной л-матрице диагональныеэлементыперестановокдуетможнопроизвольнострок и одноименныхучитыватьипереставлятьстолбцов.Этоприпомощизамечание слев дальнейшем.••• , t.
Обознастоящих в j-MПусть q-наибольшее среди чисел Qi, i= t, 2,чим через е n _ }+1 (л) произведение многочленов,столбце таблицы (7), j=t, 2, о • • , q, т. е.ten -J+l (А)= П (Л-АУi);(8)1=1если при этом врыхij-Mстолбце имеютсяможет оказаться,пустыеqi <j,-TOчтоместадля некото·-соответствующие множи·тели в (8) считаем равными единице.
Так как числа л 1 , Л 2 , ••• , л tпо условию различные,вj-Mстолбцетаблицыосновании доказаннойто степени(7),линейныхпопарно взаимновыше леммы,онипридвучленов,про сты.стоящиеПоэтому, напомощи элементарНl,jХпреобразований могут быть заменены в рассматриваемой диагональ·ной матрице их произведением е n _ J+l (А) и некоторым числом единиц.Проделав это дляj= t, 2, ••• , q,мы получим, чтоо(,J_AE_jt1en _ q + 1~.(л.)еn _о1ЩеnЩЭто и будет иско.мыЙ каНОliическийвидj(9)IJ.матрицыJ-АЕ.Действительно, старшие коэффициенты всех многочленов, стоящих внаглавной диагоиали,равныединице икаждыйизчленов нацело делится на предыдущий ввиду условияэтих(6).(9)многи384НОРМАЛЬНАЯФОРМАLгл.МАТРИЦЫ13При м е р.
ПУСТ!>2Оо021ОО2оДля это\\ жордановой матриuы 9-го порядка таблица многочленов(7)имеетвид(л-2)3,л-2,л-2,(л-5)2,(Л-5)2.Поэтому инвариантными множителями матриuыJбудут многочленые9 (л)= (л-2)3 (л-5)2,ев Щ=(л-2) (л-5)2,е7 (л)=л-2,в то время как е 6 (л) = .•.Теперь, когда мыJтрицысразу= e1 (л) =1.научилисьписатьпо видуканоническийданнойвидеежордановой махарактеристическойматрицы, может быть доказана следующа51 теорема:Двееслит.е.жордаltовыон.исостоятотличаются.,м,атрицытогдаизиодн.ихбытьитех,м,ожет.толь"ожелишьтогдажордан.овыхnодобн.ы."лето".расnоложен.ие,м,этихклето" вдоль главн.оЙ диагоltали.В самом деле, таблица многочленов (7) полностью определял асьнабором жордановых клеток жордановой матрицы J и в ней никакнеотражалосьдиагонали этойматрицыJиJ'расположениематрицы.жордановыхОтсюдаобладаютоднимклетокследует,и тем ж'ечтовдольеслинаборомглавнойжордановыжордановыхклеток, то им соответствует одна и та же таблица многочленов(7),а поэтому одни и те же многочлены (8).
Таким образом, характеристические матрицы J-лЕ и J' -лЕ обладают одинаковыми инвариантнымитрицыJимножителями,J'подобны.т.е.эквивалентны,апоэтомусамима§ 61]ЖОРДАНОВАНОРМАЛЬНАЯОбратно, если жордановы матрицы385ФОРМАJ и J' подобны, то их характеристические матриаы обладают одинаковыми инвариантными множителями. Пусть многочлены(8)дляj= 1, 2, ... , qбудут те изэтих ШlВариантных множителей, которые от личны от единицы, Однакопомногочленам(8)Именно, многочленывосстанавливается(8)таблицамногочленов(7).разлагаются в произведение степеней линейных множителей, так как этим свойством обладают, как уже доказано,инвариантныемножителихарактеристическойлюбой жордановой матрицы.
Таблицатехмаксимальныхклетки(8).Наконец, по таблицеисходныхжордановыхматрицыдлякак раз и состоит из всехстепеней линейных множителей,лагаются многочленыжордановы(7)(7)накоторые развосстанавливаютсяматриц:каждомумногочлену (л- Л,)k i ) из таблицы (7) соответствует жорданова клеткапорядка k i /, относящаяся к числу Лi. Этим доказано, что матрицы Jи l' состоят из одних и тех же жордановых клеток и отличаются,быть может, лишь их расположением.Из этой теоремы следует, в частности; что жордаnова ,м,атрица,nодобnая диагоnальnой ,м,атрице, са,м,а диагоnальnа и что дведиагоnальnые .ftатриl{Ы тогда и толысо тогда nодобnы, еслиполучаютсядругиздругаnерестаnов/Сойчисел,стоящихпаглавпой диагоnали.Приведениематрицыкжордановоинормальной форме.Если матрица А с элементами из поля Р приводится /с жордановойnор,м,альной фОР.fzе,т.
е. подобнажордановойматрице, то,как следует изнормальнаяформадоказанной вышеопределяетсядлятеоремы,,м,атриl'Ыжордан.оваАодnозnачnос точностl]Ю до расположения жордановых /Слето/С па главпойдиагонали. Условие для того, чтобы матрица А допускала такоеприведение, указывается в следующей теореме, доказательство которой дает одновременно практический способ для разыскания жордановой матрицы, подобной матрице А, если такая жорданова матрицасуществует. При этом заметим, что при в о Д и м о с т ь в п о л е Розначает, что все элементы трансформирующей матрицы содержатсяв поле Р.Матрица А с эле,м,ента,м,ииз поля Р тогда и толь/Со тогдаприводится в поле Р /с жордаnовой нормальпойформе, если всехара/Стеристичес/Сиев само,м,/СорnиматрицыА лежатосnовnом поле Р.В самом деле, если матрица А подобна жордановой матрицето эти двематрицы обладают одними и темискими корнями.ХарактеристическиекорниматрицыJнаходятся,однако, без всяких затруднений: так как определитель матрицы J равенпроизведению ее элементов,то многочленIJ -лЕ I разлагаетсястоящих наJ,же характеристич~лЕглавной диагонали,над полем Р на линейные множители и его корнями служат числа, стоящие на главной диагоналиматрицыJ,и только они.386НОРМАЛЬНАЯФОРМА[ГЛ.МАТРИЦЫ13Обратно, пусть все характеристические корни матрицы А лежатв самомполеР.Еслиотличные1отинвариаитныемножителиматрицы А--'ЛЕ будутen - q +1 (л), ••• , en - 1то(л), еn (л),!А -- лЕ 1= (-- 1}n en - q + 1 (л)Действительно,матрицыопределителимогутотличаться••• е n - 1 (л) е n (л).матрицыдруготАдругателем, который на самом деле равен(1 О)-- лЕи ее каноническойлишь(-1 )n,постояннымIA-лЕ 1.старший коэффициент характеристического многочленаТаким образом,степеней этихполемсредимногочленовмногочленовР на линейныеравнаn(1 О)имножитак как именно таковнетравных нулю, суммавсеонимножители-последнееразлагаютсяввиду того,что,надПОусловию, многочлен 1 A-лЕ 1 обладает таким разложением.Пусть (8) будут разложения многочленов (1 О) в произведениястепеней ~инейных множителей.Назовемэле.мен,тарн,ы.ми делите;= 1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
