1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 78

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 78)

Если операция, определенная в группе а, коммутативна,то а называется КОД.АеутативноЙ или абелевой группой.у кажем простейшие следствия из определения группы. На осно­§ 44,вании рассуждений, уже проводившихся вможно утверждать,что закон ассоциативности позволяет говорить однозначнымобра-30М о произведении любого конечного числа эле.Аеентовгруппы,заданных (ввиду возможной некоммутативности групповой операции)вопределенномпорядке.Переходим к следствиям из существования обратной операции.Пусть в группе а дан произвольный элемент а. Из определениягруппы вытекает существование в а такого однозначно определен­ногоэлементаеа ,чтоае а=а;этотэлемент играет,следовательно,роль единицы при умножении на него элемента а справа.

Если Ь­любой другой элемент группы аудовлетворяющий равенствууаизмыопределениягруппы,-тоЬТаким образом,элементгруппы,= Ь, - его существованиеиесли уследуетполучим:= уа = у (аеа ) =(уа) е а= Ьеа •элемент е а играет роль правойшению ко всем элементам группы а,анек исходному элементу а; поэтому мы егооднозначности,каетестьединицытолькообозначимвходящей в определение обратнойединственностьэтогоэлемента.Таким же путем можнодоказатьность в группе а элементадля всех а из а. На самомкак из равенств е"е'=е" изано, что во всякой группепопоотно­отношениючерезе'. Изоперации,существованиеивыте­единствен­=е", удовлетворяющего условию е"ааделе элементы е' и е" совпадают, таке"е'=е' вытекает е"=е'. Этим дока­а существует однозначно определен­ный эледент е, удовлетворяющий условиюае=еа=адля всех а из а.

Этот элемент называетсяобычно обозначается символомединицей группыа и1.Из определения группы вытекает, далее, существование и един­ственность для данного элемента а таких элементова'и а",аа'=l, а"а=l.В действительности элементы а' и а" совпадают: из равенства"аа'а"аа'= а" (аа') = а"·1 = а",= (а"а) а' = l·a' = а'что894[гл.группы=С.'lедует а"а'.

Этот элементобозначается а- 1 , т. е.14называется обратным элементу а иaa- 1 =a- 1 a=1.Таким образом, всякий элемен.т группы обладает одн.означн.о оnре­оеленным об pamHbt.tt элементом.Из последних равенств B~TeKaeT, что обратным элементом дляЭ.lемента а -1 служит сам элемент а. Легко видеть, далее, что обрат­ным для про изведенияэлементов, обратныхнесколькихэлементов будетсомножителямипритомпроизведениевзятых в обратномпорядке:(Наконец,a 1 az .

.. а"_l а " )-1_--1аn-1а"-1'"-1-1а2а1.обратным элементом для единицы будет сама единица.Проверка того,операцией,является ли группой данное множество с однойвесьма облегчается тем, что в определении группы требо­вание выполнимости обратной операцииможно заменить предполо­жением о существовании единицыиобратныхлишь с одной стороны (например,правой) и без предположения обих единственности. Это вытекает из следующейэлементов,причемт е о р е м ы:Множество а с одной ассоциативной операцией будет груп­пой, если в а существует хотя бы один. элемент е, обладающийсвойствомаеиеслисредиэтих=адля всех аnравыхиз а,един.ичныхэлементовсуществуетхотя бы один. такой элемент ео, что по отношению к немувсякий элемент а из а обладает хотя бы одним правым обрат­н.ым элеме нтом а -1:аа- 1 = ео·Доказательство.Пустьа- 1 -одинизправыхобратныхэлементов для а.

Тогдааа- 1= ео = еоео = eoaa- 1 ,т. е. aa- 1 =eoaa- 1 • Умножая обе части этого равенства справа наодин из элементов, правых обратных для а-!, мы получим аео = еоаео,откуда а=еоа, так как ео- правая единица для а. Таким образом,элемент ео оказывается и левой единицей для а. Если теперь е 1естьтопроизвольная правая единица, е 2из-произвольная левая единица,равенстве2 е1следует е 1= ez, т.=е1ие2 е1=еае. любая правая единица раВlIа любой левой. Этимдоказаны существование и единственность в множестве а единичногоэлемента, который обозначим, как выше, черезДалее,1.§ 63}т. е.ОПРЕДЕЛЕНИЕa- 1 =a-1aa- 1,тов для а.гдеa- 1ИПРИМЕРЫ395группесть один из правых обратных элемен­Умножая обе части последнего равенства справа на одиннз правых обратных элементов для а-l, мы получаемэлементa- 1будетЕсли теперь а;служить и левым-11 =a-1a,элементом-1 аа 1-1аз= a;t,т.

е.для-1произвольный правый обратный для а, азнзвольный левый обратный,следует а;lобратным-а.про-то из равенств-1 (-1)аа 1==а з-1азт. е. следуют существование и единственностьдля всякого элемента а из О обратного элемента a- 1 .Теперь легко показать, что множество О будет группой. Дейст­вительно, уравнениям ахвлет вор ять=Ь, уа=Ьбудут,как легко видеть, удо-элементыx=a-1b,y=ba- 1.Единственность этих решений следует из того, что если, например,ах != ах 2 ,то, умножая обе части этого равенства слева на а -1, мыполучаем X 1=х 2 • Теорема доказана.Мы уже несколько раз встречались с понятием изоморфизма­дляколец,длялинейных пространств, для евклидовых пространств.Это понятие может быть определено и для групп и играет в теориигрупп столь же большую роль, как и в теории колец.

Группы аи О' называются. изо.морфн,ы.ми, если между ними можно установитьтакое взаимно с)Днозначное соответствие, при котором для любыхэлементов а, Ь из О и соответствующих им элементов а', Ь' из О'про изведению аЬ соответствует произведение а' Ь'. Как 8§ 46(длянуля и противоположного элемента в кольце), можно показать, чтопри изоморфном соответствии между группами О и о' единицегруппы О соответствует единица группы О', и если элементу а из асоответствует элемент а' из й', то элементу a- 1 соответствуетэлемент a'-l.Переходя к при мQ былазывалась бы н,уле.м иэлемента мы говорилиция в группее р а м г р у п п, отметим, что если бы опера­группы на­обозначалась символом О, а вместо обратногобы о nротивоnолож/i,О.м эле.ме/i,те и обо­названа сложен,ие.м, то единицазначали бы' его через -а.В качестве первого при мера групп укажем, что по- сложен,иювсякое кольцо (и, в част/i,ости, поле) является группой, прито.мабелевой; это-так называемая аддитиВ/i,ая группа кольца.

Этозамечание сразугрупписредидаетбольшоених-аддитивнуюгруппу четных чисел,количествогруппуконкретныхцелыхпримеровчисел, аддитивнуюаддитивные группы рациональных чисел, дей­ствительных чисел, комплексных чисел и т. д. Заметим, что адди­тивные группы целых чисел u чет/i,ЫХ чисел uзо.морфн,ы .между896[гл.группы14собой, хотя вторая является лишь частью первой: отображение, ста­вящее в соответствие всякомуцеломучислуkчетное число2k,будет взаимно однозначным и, как легко проверить, даже изоморф­ным отображением первой из названных групп на вторую.По умножению никакое кольцо не является группой, так какобратная операция - деление - не всегда выполнима.

Положение неизменяетсяиприпереходекак в поле остаетсяотпроизвольногоkольцаневыполнимым деление на нуль.кполю,такРассмотрим,однако', совокупность всех отличных от нуля элементов поля. Так какполе несодержцт делителей нуля,т.е.произведение двух элемен­тов, отличных от нуля, само отлично от нуля, то умножение будетдля рассматриваемой совокупности алгебраической операцией, притомассоциативной икоммутативной,причем деление уже всегда выпол­нимо и не выводит за пределы этой совокупности.

Таким образом,совокупн,ость отлuчн,ых от н,уля але.Jtен,тов любого поля являетсяабелевой группой; эта группа называется .Jtультuплuкатuвн,оЙ груп­пой поля. Ilримерами, сюда относящимися, будут мультипликативныегруппы рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел.Группу по умножению составляют, очевидно, все положительныедействительные числа. Эта zpynna изо.морфн,а аддитивной группевсех деиствительн,ых чисел: ставя в соответствие всякому положи­тельному 'lИслу а действительное числоln а,мы получим взаимноОднозначное отображение первой группы на вторую, которое будетизоморфизмом ввиду равенстваln (аЬ) = ln а+ ln Ь.Возьмем, далее, в поле комплексных чисел совокупность корнейn-й степени из единицы.

Вдвухкорнейп-й§ 19степени избыло доказано, что произведениеединицы,атакжечисло,обратноек корню п-й степени из единицы, сами принадлежат к рассматриваемойсовокупности чисел. Так как единица также принадлежит, понятно,к этой совокупности и так как умножение любых комплексных чиселассоциативно и коммутативно, то мы получаем, что корн,и п-й сте­nен,иизедин,ицысоставляютnрито,м кон,ечн,ую порядка п.ральн,ого числаnпо у.мн,ожен,июабелевусуществуют кон,ечн,ые группы порядка п.Группа (по у,мн,ожен,ию) корн,ей п-и степен,и из.морфн,агруппу,Таким образом, для любого н,ату­един,ицы изо­аддитивн,оигруппе кольца Zn' построен,н,ого в § 45.Действительно, если Е - первообразный корень ll-Й степени из еди­ницы, то все элементы первой из названных групп имеют вид ek ,k = О, 1, ... , n - 1.

Если мы поставим в соответствие ВСSlкомучислуe k элемент Ck кольца Zn' т. е. класс целых чисел, дающихпри делении на постаток k, то получим изоморфное соответствиемежду рассматриваемыми группами: если О.:; k.:; n -1, О.:; /.~ n - 1и если k1 = nq г, r де О.:; r .:; n - 1, а q равно О или 1, тов k.++p,l = B r и, вместе с тем, Ck+ Cl = С,.§ 63]ОПРЕДЕЛЕНИЕИПРИ МЕРЫ397ГРУППСейчас уместно указать некоторые примеры числовых множеств,не являющихся группами.

Так, множество всех целых чисел не будетгруппой потельныхумножению,чиселнечетныхнечиселмножествобудетгруппойне будетгруппойвсехпопоположительныхсложению,сложению,действи­множествовсехмножествовсехотрицательных действительных чисел не будет группой по ум.ноже­нию.Проверка всех этих утверждений не представляет затруднений.Все рассмотренныевышечисловыегруппыявляются,конечно,абелевыми.

Характеристики

Список файлов книги