1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 81

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 81)

е. всякий элемент, сопряженный с а, содержится в А. Обратно,если подгруппаА содержит вместе со всякимсвоимэлементомаи все элементы, ему сопряженные, то в А содержится, в частности,элемент406[гл.группыогкуда следует второе из равенствсодержитсяиПо той(2).жепричинев14Аэлемент(x-1)-lax- 1 =хах- 1откуда следует и первое из равенствПользуясь этим результатом,= а',(2).легко доказать,чтоnересечен,иелюбых н,ор.мальnых делителей группы а са.мо будет н,ор.мальnы.Atделителе.Jt этой группы.

В самом деле, если А иделители группы а, то,какnnпоказановВ- нормальныепредыдущемпараграфе,пересечение Ав будет подгруппой группы а. Пусть с-любойэлемент из АВ, х-любой элемент группы а. Тогда элемент x-1cxдолжен содержаться и в А, и в В, так как оба этих нормальныхделителя содержат элемент с. Отсюда следует, что элемент x-1cxвходит в пересечение АВ.Фактор-группа. Значение понятия нормального делителя основаноnна том, что из смежных классов по нормальному делителюлевыеиправыесмежныеклассыможновэтом-ввидуслучаенеличать- некоторым весьма естественным способом может бытьстроенановаа(1)раз­по­группа.Заметим сначала, что если А - произвольная подгруппа группыа, тоАА=А,(4)так как произведение любых двух элементов из подгруппы А при­надлежит к А и, вместе с тем, умножая все элементы из А на еди­ницу, мы уже получим всю подгруппу А.Пусть А будет теперь нормальным делителем группы а.

в это.Atслучае nроuзведен,ие любых двух с.межн,ых классов а по А(в смысле умножения подмножеств группы а) са.мо будет с.меж­н,ы.мклассо.мпоА.Действительно,используяумножения подмножеств группы, равенство(4)ассоциативностьи равенствоуА=Ау(ср.(1»,мы для любых элементов х и у группы а получим:хА ·уАРавенство(5)= хуА А = хуА.(5)показывает, что для того, чтобы найти произведе­ние двух данных смежных классов группы а по нормальному дели­телю А, следует произвольным образомклассах по одному пр е д с т а в и т е л ю-выбратьвэтих смежныхнапомним, что всякий смеж­ный класс порождается любым из своих элементов-и взять тотсмежный класс, в котором лежит произведение этих представителей.Таким образом, в множестве всех смежных классов группы апо нормальному делителю А определена операция умножения.Нокажем, что при это.м выполн,яются все требован,ия, входящие8 оnределен,uе группы.

В самом деле,ассоциативностьумноженияНОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ, ФАКТОР-ГРУППЫ, гомоморФизмы§ 65]смежныхклассовследуетизассоциативностиумноженияжеств группы. Роль единицы играет сам нормальный401подмно­делительА,являющийся ОДНИМ из смежных классов разложения а ПО А: именно,ввиду(4)и(1) для любого х из а будетхА·А=хА,А.хА=хАА=хА.Наконец, для смежного класса хА обратным будет смежныйкласстак какx-1A,xA·x-1А= l·А =А.Построенная нами группа называется фактор-группой группы апо нормальному делителю А и обозначается через а/А.Мы видим, что соновыхгрупп-ееВСЯКОЙгруппойфактор-групппосвязываетсяразличнымцелыйнаборнормальнымдели­телям.

При этом фактор-группа группы а по единичной подгруппебудет, понятно, изоморфной с самой группой а.Всякая фактор-группа а/А абелевой группы а сама являетсяабелевой, так как из ху = ух следуетхА .уА= хуА =ухА = уА·хА.Всякаяфактор-группаа/А циклической группыа самациклическая, так как если а порождается элементом g, 0= {g},и если дан произвольный смежный класс хА, то существуетцелое числоитакоечтоk,поэтомухА = (gA)k.Порядоклюбойфактор-группыа/АКОflеЧflОйгруппыаявляется делителем порядка самой этой группы. Действительно,порядок фактор-группы а/А равен индексу нормального делителя Ав группе А, а поэтому можновоспользоватьсяравенством(7)изпредшествующего параграфа.Приведем некоторые при м еры фактор-групп.

Так как в адди­тивной группе целыхчислуk,чисел подгруппа чисел, кратных натуральномуимеет, как показано в предшествующем параграфе, индексk,то фактор-группа нашей группы по этой подгруппе будет конечнойгруппой порядкаваемаягруппаk,притом циклической, так как сама рассматри­циклическая.Фактор-группа симметричной группы n-й степени Sn по знако­степени А n будет группой 2-го порядка,переменной группе n-йпричем, ввиду простоты числа2,циклической группой(см. конецпредшествующего параграфа).Выше приведено описание смежных классов мультипликативнойгруппы невырожденных матриц порядка n с элементами из поля Рпо нормальномуделителю,составленномуиз матриц, определитель408которых равен1.14[гл.группыИз этого описания следует, что соответствующаяфактор-группа изоморфна мулыипликативной группеотличныхотНУJIЯ чисел поля Р.Гомоморфизмы.

Понятия нормального делителя и фактор-группытесно связанысоследующимобобщением понятияизоморфизма.Отображение q:> ГРУППЫ а на группу а', ставящее в соответствиевсякому элементу а из а однозначно определенный элемент а' =aq:>JIЗ а', называется го,мо,морфны,м отображением а на о' (илипросто гомоморфизмом), если всякий элемент а' из А' служит приэтом отображении образом некоторого элементаа из А, а' =aq:>,и если для любых элементов а, Ь группы а(аЬ)q:>=aq:>.bq:>.Очевидно, что, потребовавность отображенияq:>,дополнительномы получили бы ужевзаимнуюоднознач­известное нам опреде­ление изоморфизма.Если q:>-гомоморфизм группы а на группу А' и 1 и а-со­ответственно единица и nроизвольный элемент группы А, }'единш{а группы а'.

тоlq:> = 1',(a- 1) q:> = (aq:»-l.Действительно,еслиlq:> = е' и х' - произвольныйгруппы а', то в а существует такой элемент х, чтоэлементxq:>=x'.Отсюдах'(х.l)= xq:> =q:> =xq:>·Iq:> =х'.е'.Аналогичнох'=е'х'и, следовательно, е' = 1'.с ДРУГОЙ стороны, еслиl'и,=(a- 1 ) q:> =Ь', тоlq:> = (aa- 1 ) q:> = aq:>·(a- l ) q:> = aq:>.b'аналогично,}' =Ь' ·aq:>,откуда Ь'= (aq:»-l.Назовем ядром гомоморфизмакупность техэлементовв единицуГРУППЫ а'.l'Ядро всякогоq:>группы а нагруппы А, которыегомоморфизмаq:>группыгруппу А'отображаютсяа являетсясово­приq:>нормаль­ным делителем группы О.Действительно,гомоморфизмаq:>,еслиэлементыа, Ьгруппыт.

е.aq:> = bq:> = 1'.то(аЬ) q:> =aq:>' bq:> = l' • l' = 1"а входят в ядро§ 65]НОРМАЛЬНЫЕДЕЛИТЕЛИ,ФАКТОР-ГРУППЫ,409гомоморФизмыт. е. и произведение аЬ содержится в ядре гомоморфизма ер. С дру­гой стороны, если аер = 1', то(a- l )ep=(aep)-l=l'-I=l',т. е. и а- l входит в ядро гомоморфизма ер. Наконец, если аЧJ =-а хпроизвольный элемент группыl' tО, тоЯдро рассматриваемого гомоморфизма оказалось подгруппой груп­пы О, содержащей вместе со всяким своим элементом и все эле­менты, с ним сопряженные;оно будет,следовательно,нормальнымделителем.Пусть теперь Апроизвольный нормальный делитель группы о.-Ставя в соответствие всякому элементу х группы О тотKJlaCCхАпонормальномуделитеJlЮ А, вкоторомсмежныйэтот ЭJlементJlежит, мы получим отображение группы О на всю фактор-группу О/А.Из опредеJlения умножения в группе О/А (см.(5))СJlедует, 'по этоотображение будет гомоморфным.Полученный гомоморфизм называется ecmecmneltltblM гомомор­физмом группы О на фактор-группу 01 А.

Ядром этого гомомор­физма СJlУЖИТ, очевидно, сам нормальный делитеJlЬ А.Отсюда СJlедует, что Itормалжые делители группы О и толЬ/соoltuслужат ядрами гомоморфизмов этой группы. Этот реЗУJlьтатможнорассматриватькакещеодноопределениенормальногоделителя.Оказывается, что все группы, на которые группа О может гомо­морфно отображаться, по существу исчерпываются фактор-группамиэтойгруппы, агомоморфизмамивсегомоморфизмынасвоигруппыфактор-группы.а-- ееестественнымиТочнее,справедливаследующаяТ е о р е м а о г о м о м о р фи з м а х.

Пусть даlt гомоморфизм ергруппы О на группу О' и пусть А -ядро этozо гомоморфизма.Тогда группа О' изоморфна фшстор-груnnе О/А, nриче.+l суще­ствует тшсое изоморфное отображеltие (J первой из этихна вторую, что результатбраженийери(JпоследовательногосовпадаетсecmecmneltltblMгруппвыполненияото­гомоморфизмомгруппы О на фактор-группу О/А.В самом деле, пусть х' будет произвольный элемент группы О',а х-такой элемент группы О, чтоэлементааизядраАхер=х'. Так какгомоморфизмаеримеетДJlЯ любогоместоравенствоаер = 1 " то(ха) ер = хер· аер = х' .

l' = х',Т. е.всеэлементыв элемент х'.смежногоклассахАотображаютсяприер410[гл.группыСчтодругойz-стороны, еслилюбойтакой 'элемент14группы А,z<p=x', то(x- 1z)т. е.x- z1<р= х- 1 <р' z<p =(х<р) -1. z<p= х' -1. х' =1',содержится в ядре А гомоморфизма <р. Если мы положима, то z = ха, т. е. элемент z содержится в смежном классе хА.Таким образом, собирая все те элементы группы А, которые пригомоморфизме <р отображаются в фиксированный элемент х' группыа', мы получаем точно смежный класс хА.Соответствие <1, относящее каждому элементу х' из а' тотсмежный класс группы G по нормальному делителю А, которыйсостоит из всех элементов группы а, имеющих х' своим образомпри <р, будет взаимно однозначным отображением группы А' нагруппу а/А. Это отображение а будет изоморфизмом, так как еслиx- 1z =х'а=хА, у'а=уА,т.

е.х<р =х', у<р =у',то(ху) <ра= х<р .у<р =х'у',поэтому(х'у') а=хуА=хА'уА =х'<1·у'<1.Наконец,если х- ПРОИ3ВОЛЬНЫЙэлементиза и х<р = х', то(х<р) а = х'а = хА,Т. е. последовательное выполнение гомоморфизма <р и изоморфизма ана самом деле отображает элемент х в по рождаемыйимсмежныйкласс хА. Теорема доказана.§ 66.Прямые суммы абелевых группМы хотим закончить г лаву одной теоретико-групповой теоремой,боле~глубокой,чемтеэлементарныесвойствагрупп,которыеизлагались выше. Именно, опираясь на уже известное нам изописаниеnолциклических групп,мыполучимвследующемн о е о п и с а н и е к о н е ч н ых а б ел е в ы х§ 64-параграфег р у п п.Как принято в теории абелевых групп, для групповой операциибудетоиспользоватьсясу м м еа+ьаддитивнаяэлементовгруппе О, о кратныхkaаиЬзапись:группы,мыобудемговоритьн уле войп о д­некоторого элемента а и Т.д.В этом параграфе мы изучим одну конструкцию, которую будемизлагать применительно к абелевым группам, хотя ее можно былобы вводить сразу для любых (т.

е. не обязательно коммутативных)групп. Эта конструкция подсказывается следующими примерами.Плоскость, рассматриваемая как двумерное действительное линейноепространство, являетсяабелевойгруппойотносительносложения§ 66]ПГЯМЫЕСУММЫАБЕЛЕВЫХ411группвекторов. Любая пряма!! в этой плоскости, проходящая через началокоординат, будет подгруппой указанной ГРУППЫ.

Еслидверазличные такие прямые, то,плоскости,выходящий из началавляется в виде суммысвоихкакизвестно,координат,проекцийназаписываетсяввидесуммытрехк трем задаЮiЫМ прямым А 1 , А 2 И Аз,А2 -вектор наоднозначнопрямыелогично, всякий вектор трехмерного линейногозначноА1 ивсякийпредста­А1 и А 2 •Ана­пространства одно­векторов,принадлежащихесли только эти прямые нележат в одной плоскости.Абелева группа а называется прямойА1 , А 2 ,••• ,суммой своихподгруппAk ,если всякий элемент х группы ОСТ В е н н ы мс п о с о б о М,записывается,при т о мв виде суммы элементов а 1 , а 2 ,взятых соответственно в подгруппах А 1 ,А2,•••(1) называется nря.мым разложен,ием' группы О,A i , i = 1, 2, ...

Характеристики

Список файлов книги