1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 84
Текст из файла (страница 84)
+ {аа} ={bt } + {Ь2 } + ... + {bt },то оба прямых разложен.ияпрямыхслагаемых,s=t,обладаюти междуответствие,чтосоответствующиеодн.им и тем же числомnрямыми слагаемымиразложен.иЙ можн.о устан.овить такое(12)взаимн.ослагаемыеэтиходн.озн.ачн.ое соявляютсяческими группами одн.ого и того же порядка, т.е.циклиизоморфн.ы.Заметим сначала, что если мы в первом, например.
из прямыхразложений (12) соберем прямые слагаемые, относящиеся к данномупростому числуР. тоихпрямаясумма будет примарной (по р)подгруппой группы а и даже примарной компонентойэтой группы,так как ее порядок равен наивысшей степени числа р.на которуюделится порядок группы а. Объединяя этим способом прямые слаraeMbleв каждом из разложений(12),мы в обоих случаях получим422[гл.группы14разложение группы О в примарные компоненты, единственность которого уже была отмечена выше.Это позволяет доказывать нашу теорему в предположении, чтоО сама являетсяпримарной относительногруппапро с т о г о ч и с л а р. Пусть нумерация прямых слагаемых в каждомиз раЗЛОJКенийневозрастая,выбрана так, что порядки этих слагаемых идут(12)т.е.элементыa1 ,а2 ,••• ,asимеютсоответственнопорядкипричема элементы Ь 1 , Ь 2 ,...
,причем11 ;;;:-./2 ;;;:-. ••• ;;;:-. I t •,Еслибы утверждениебы такоеi, t ;;;:-.1,нашей теоремы не имело места, то нашлосьчто(13)ноk j =f:: lj.Понятно, что1..;;; min (8, t),произведениепорядковтак как для каждого из разложенийвсехпрямыхслагаемыхравно(12)порядкугруппы О. Покажем, что наше предположение приводит к противоречию.Пусть, например,(14)Обозначим через Н совокупность элементов группы О, порядкикоторых не превосходят pkl.
Это будет подгруппа группы О, таккакеслих и у- элементыизН,то и хрядки, не превосходящие числа pkl .+у.и-х имею:r поЗаметим, что к подгруппе Н принадлежат, в частности, следующиеэлементы:с другой стороны, если l";;;j";;;i-l, то элемент pkj-ki-1a j имеетпорядок pki+l и поэтому в Н не входит. Отсюда следует, что смежный Класс а jН (напоминаем, что мы используем аддитивную записы)имеет, как элемент фактор-группы О/Н, порядок pkj-ki; таков же+порядок его циклической подгруппы {а)+ Н}. Докажем, что г р у n па§ 671КОНЕЧНЫЕАБЕЛЕВЫ423ГРУППЫО/ Н я в л я е т с я пр я м о й с у м м о й ц и к л и ч е с к их{aj+H}, j=l, 2; ...
,О/Н = {а } +Н}ипоэтомуееnоДг р уnпЁ-l,+ {а 2 +Н} + ... + {a i- 1 + Н}.порядокравен(15)числуp(k, -kj)+(k.-k!l+ ... +(kt_,-ki).(16)Если х-произвольный элемент ГРУППЫ О, то существует записьx=m1a 1 +т 2 а 2 + ... +m$as •Пусть дляj= 1.2, ••. , i - 1т!= pkj-ktqj + n"где(17)O.;:;;;nj<pkj-k;.Тогдат/а,= qj (pkj-k t aj )+ n /a i •а так как первое слагаемое правой части содержится в Н, тоmja j + Н = nja j+Н.с другой СТОРОНЫ,miai+H=H, ••.•m~s+H=H.Поэтомуx+H=(mtal +Н)+(т 2 а2+Н)+ .•• + (msa,+ н) == (n 1 a1 +Н) + (n 2 а 2 +Н) + ...
+ (n i - 1 ai- 1 +Н).(18)Пусть существует еще одна такая запись.x+H=(n~al+H)+(n~a2+H)+ ... +(nl-1аi_1+Н). (19)гдеo.;:;;;ni<pkJ-k;,j=l, 2, .... i - l .(20)Тогда элементыиn~al +n~a2 + ... +n;-l al- 1лежат в одном смежном классе по Н, т. е. их разность принадлежит к Н и поэтомуpk;[(nl-n~) a1 + (n 2 -n~) а 2 + ... + (nl-l - n;-l) al- 1]= О.Отсюда следует (так как первое из разложенийpki(n,-nj)а,=О,(12) -)=1,2, ... , i-l,прямое), что424(гл.группыа поэтому число(nj-n;) должно делиться на порядокpklмента а J и, следовательно, разностьОтсюда, ввиду(17)и(20),nj=щ,т. е.
записии(18)(19)ние прямаго разложенияn j-nj делитсяpkJ14элена число pkJ-k i •следует, чтоj= 1, 2, ... , /-1,тождественны. Этим доказано существова(15).Аналогичные рассмотрения, проведенные для второго из прямыхразложений (12), покажут, что эта же фактор-группа а/н обладаетпрямымразложениема/н = {Ь1 +н}т. е., ввидучисла(16).Полноеполучено.ральн,ых(13)+ {b z +н} + ... + {bиj_ 1(14),+н}+ {bj+H} + ... ,ее порядок должен быть с т р о г об о ль ш еЭто противоречие доказывает теорему.обозрениеИменно,конечныхберемабелевыхвсевозможныегруппнами теперь ужекон,ечные наборы н,атучисел(n 1 , n 2 ,••• ,n k ),отличн,ых от един,ицы, н,о н,е обязательно различных, причемкаждое из этих чисел доЛЖ'но быть стеnеныо н,екоторого простого числа.
Каждому такому н,абору ставим в соответствиепрямую суммуцuклuчес"их групп, nоряд"амu "оторых служатчисла из этого н,абора. Все полученные этим путем "он,ечныеабелевы группы будут попарно н.еuзоморфн,ымu, а любая другаякон,ечн,ая абелева группа изоморфна одн,ой из этих групп.УКАЗА ТЕЛЬ ЛИТЕРА ТУРЫВ указателе приведены книги по различным разделам алгебры, вышед.шие на русском языке за последние тридцать пять лет. Некоторые из этихкниг являются учебниками или учебными пособиями по университетским илипедвузовским алгебраическим курсам, а другие--свободными сочинениями илиже монографиями по отдельным вопросам, рассчитанными на хорошо подготовленногочитателя.Высшая алгебраС У ш к е в и ч А.
К., Основы высшей алгебры, изд. 4, Гостехиздат,О к у н е в Л. Я., Высшая алгебра, изд. 2, «Просвещение», 1966.Ша пир о Г. М., Высшая алгебра, изд. 4, Учпедгиз, 1938.Л я п и н Е. С., Курс высшей алгебры, изд. 2, Учпедгиз, 1955.Ф а Д Д е е в Д. 1(. и С о м и н с к и йизд. 8, Физматгиз, 1964.1941.И. С., Сборник задач по высшей алгебре,В и н о г р а Д о в С. П., Основания теории детерминантов, изд.4,ОНТИ.1935.Линейная алгебраГ е л ь Ф а н Д И. М., Лекции по линейной алгебре, изд.
3, «Наука», 1966.М а л ь Ц е в А. И., Основы линейной алгебры, изд. 2, Гостехиздат, 1956.Ш и л о в Г. Е., Введение в теорию линейных пространств, изд. 2, Гостех.издат, 1956.Про с к у р я к о в И. В., Сборник задач по линейной алгебре, изд. 3, «Наука»,1967.Г а н т м а хер Ф. Р., Теория матриц, нзд.
3, «Наука», 1967.Б о хер М., Введение II высшую алгебру, ОНТИ, 1934.Ш рей ер О. и Ш пер н ерЕ., Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении, т. 1, ОНТИ, 1934.Ш рей е р О. и Ш пер н е р Е., Теория матриц, ОНТИ, 1936.Ф а Д Д е е в Д. К. и Ф а Д Д е е в а В. Н., Вычислительные методы линейнойалгебры, Физматгиз, 1960.Фре з ер Р., д у н к а н В.
и К о л л а р А., Теория матриц и ее приложения к дифференциальным уравнениям и динамике, ИЛ, 1950.Г У р е в и ч Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов, Гостехиздат,1948.Теория групп, колец и структурВ а н-д е р-В а р Д е и Б. Л., Современная алгебра, ч. 1 и 2, Гостехиздат, 1947.Ш м и Д т О. Ю., Абстрактная теория групп, изд. 2, ОНТИ, 1933. (См. такжеШмидт О.
Ю., Избранные труды, Математика, Изд. АН СССР, 1959.)К У Р о ш А. Г., Теория групп, изд. 3. «Наука», 1967.А л е к с а н Д р о в П. С., Введение в теорию групп, нзд. 2, Учпедгнэ,19Б1.426УКАЗАТЕЛЬЛИТЕРАТУРЫДжекобсон Н., Теория колец, ИЛ, 1947.Ч е б о т а р е в Н. Г., Введение в теорию алгебр, Гостехиздат, 1949.В и р к г о Ф Г., Теория структур, ИЛ, 1952.С У ш к е в и ч А. К., Теория обобщенных групп, ГНТИ Украины, 1937.О к у н е в Л.
51., OCHOBЬj современной алгебры, Учпедгиз, 1941.В эр Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, ИЛ, 1955.Л я п и н Е. С., Полугруппы, Физматгиз, 1960.К а р т а н А. и Эй л е н б е р г С., Гомологическая алгебра, ид 1960.Д же к о б с о н Н., Строение колец, ИЛ, 19611( У р о ш А. Г., Лекции по общей алгебре, Физматгиз, 1962.Теория попейЧ е 60 т а р е в Н. Г., Основы теории Галуа, ч. 1, ОНТИ, 1934.Ч е б о т а р е в Н.
Г., Теория Галуа, ОНТИ, 1936.Г е к к е Э., Лекции по теории алгебраических чисел, Гостехиздат, 1940.В е й л ь Г., Алгебраическая теория чисел, ИJ1, 1947.Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, Гостехиздат, 1948.Х о Д ж В. и П и Д о Д., Методы алгебраической геометрии, тт. 1 и 2, ИЛ,1954; т. 3, ИЛ, 1955.Г р а в е Д. А., Трактат по алгебраическому анализу, тт.
1 и 2, Изд.АН УССР. 1938-1939.Непрерывные группыП о н т р я r и н Л. С., Непрерывные группы, изд. 2, Гостехиздат,Ч еб о т а р е в Н. Г., ТеОРИIt. групп Ли, Гостехиздат, 1940.Ш е в а л л е К., Теория групп Jlи, ч. 1, ИЛ, 1948, ч. 2, 3, ИЛ,В е й л ь Г., Классические группы, их инварианты и представления, ИЛ,М у Р н а г а н Ф. Д., Теорня представлений групп, ид 1950.1954.1958.1947.ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬА6елева группа 393Абсолютнонеприводимыймногочлен 318Аддитивная группа кольца 395Алгебраическая зависимость элементов кольца 314- операция 270Алгебраический элемент кольца 288Алгебраическое дополнение 44- число 358Алгоритм деления с остатком 134----База пространства11761, 185r181Гомоморфизм 408Границы корней многочлена241, 243392~ойная суммануля 275Детерминант 24Дефект линейного преобразования204Диагональнаярицы 76формачисловойДискриминант 236, 343Длина цикла 35Дополнительный минормат-43квадратичная212393409>корданова клетка 379-матрица380Задание линейногоматрицей 197преобра10ванияЗакон инерции 176Знакопеременная группа398Значение многочлена 143, 387, 391Изоморфизм групп 395евклидовых пространствколец 281-216фор-226Инвариантные множители матрицы370167115осьчасть комплексного числаДействитеJIьные числа 110Декремент 36Деление матрицЕвклидово пространствоЕдиница группы- поля 278линейиых пространств 188Инвариантность подпространства56Действительнаяма294135, 315-Главная диагональ матрицы 16лавные миноры квадратной формы-многочленаЕдиничная матрица 16подгруппа 399Единичные векторы 65Ес тественный гомоморфизм189Векторное пространство 63, 185Вес члена многочлена 329, 341Взаимно простые многочлены 137, 143Вырожденная матрица 95Вырожденное линейное преобразование неизвестных 95Высший член многочлена 320Группа-для л-матриц 375Евклида 138, 289Аргумент комплексного числаА~инное пространство 185ВекторДелитель единицы98115Инверсия 29Интерполяционная формула Лаг ранжа 158Исключение неизвестного из системыдвух уравнений340428ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬКаноническая л-матрица 365Канонический вид квадратичной формыКватернионы 115Кольцо 270, 271-многочленов 288- -над кольцом 289- -от нескольких неизвестных 313-снмметрических многочленов 321Комплекснаяквадратичнаяформа167Комплексное115линейноепространство187Комплексные числаКомпонента вектора113, 28461-элемента прямой суммы 411Конечная группа 393Конечное кольцо (поле) 277Конечномерное пространство 189Корень многочлена 143, 388Корни из единицы 127линейносистема векторовМатрица169Квадратичная форма 167Квадратная матрица 16Квадратное уравнение 233-плоскостьN'аксимальнаянезависимая6616квадратичной формы 167линейного преобразованияперехода 192---Матричный корень многочлена388374Метод Гаусса 17, 285-- Горнера 144- линейной интерполяции 260-- Ньютона для вычисления корней260- - - разыскания границ корней245многочлен--Минимальный многочленпреобразования 391-- - матрицы 388Минор 43, 46Мнимая единица 115ось-линейного115часть комплексного числаМногочлен 131- деления круга 354-- нулевой степени 132Кососимметрический определитель 43Кратное элемеита аддитивной группы299кольца 273Кратный корень многочлена 145- множитель многочлена 293Критерий Эйзенштейна 353-эквивалентности л-матриц 372Кубичное уравнение 234197115от нескольких неизвестных 312Модуль комплексного числа 117Мультипликативная группа пол,я 396--- -Наибольший общий делитель 137, 142Невырождеиная квадратная матрица95, 101J1амбда-матрица 364Левостороннее разложение группы поподгруппе 403Лексикографическая записьмногочлена 319Лемма Гаусса 316, 351-Даламбера 152-о возрастаниимодулямногочлена151- -модуле старшего члена 150Линейная зависимость векторов64,188, 285комбинация векторов 63-строк матрицы 42-форма 63Линейное подпространство-201-преобразование линейногоранства 194, 286- - неизвестных 89- пространство 185, 286-- уравнение 15квадратичная форма 167Невы рожденное лииейное преобразование неизвестных 95- -- -- пространства 205Независимые циклы 36Некоммутативная группа 397Некоммутативиое кольцо 276Неопределенная квадратичная форма-183система линейных уравиений 17Непрерывная функция 148Неприводимый многочлен 161,290, 315-- случай решения кубичного уравнения 238Неразложимая абелева группа 415Несовместная система линейных уравнений 16Несократимаярациональнаядробь--161прост-Несчетное множество 361Нечетная перестановка 29-- подстановка 32НОР\lальный виА квадрагичной формы175ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬНормальный делитель 404Нормированный вектор 214Нулевая матрица 102-- rтепень элемента группы 399Нулевое кратное элемента кольцаподпространство 202преобразование линейногоранства 195-- решение 21---Нулевой вектор 61,Нуль кольца 274Отрнцательные степени элемента поля279Отрицательный индекс инерции?74прост-185205Обратный элемент в группе 394-- -- -- поле 278Общее решение системы линейныхуравнений 82Общий делитель многочленов 137Однородное уравненне 21Однородный многочлен 314Определенная система линейных уравнений 16Определитель 24, 26, 38-- Вандермонда 50-- системы линейных уравнений 54Ортогональная база 214-- матрица 218Ортогональное преобразование евклидова пространства 219-- - неизвестных 218Ортогональные векторы 213Ортонормированная база 215Основная теорема алгебры комплексных чисел 147-- -- о квадратичных формах 170-- -- -- конечных абелевых группах417-- -- -- линейной 9ависимости 68-- -- -- рациональных дробях 162-- -- -- симметрическихмногочленах 322Остаток от деления многочленов 135Отделение корней многочлена 259определеннаятичная формаОтрицательныекольца 274--квадра-183кратныестепени элемента группы177Пара квадратичных форм 231Первообразный корень из единицы128Область значений линейного ПРЕ'образования 204Образ вектора при преобразованиипространства 194Обратная матрица 95, 97-- операция 270-- подстановка 34ОбратноелинейноепреобразованиеОтрицательно429!lлемента399Перемены знаков в системе чиселПересечение подпространств 202Перестановка 28Подгруппа 398Подполе 280Подстановка 31Поле 276---247разложения многочлена 304рациональных дробей 306Полиномиальные матрицы 364Положительно определенная квадратичная форма 179Положительный индекс инерции 177Полуопределенная квадратичная форма 183Порождение подгруппы подгруппами412-- --элементами 419Ilорядок конечной группы 393-- элемента группы 400Правило вычисления ранга матрицы73-- Крамера 24, 27, 57, 80, 100, 285-- решения систем линейных уравнений 80Правильная рациональная дробь 161Правостороннее разложение группыпо подгруппе 403Преобразование пространства 194Приведение квадратичной формы кглавным осям 227Приведенная система линейных уравнений 87Приводимый многочлен 290, 315Примарная группа 418-- циклическая группа 416Примарныекомпонентыабелевойгруппы 418Примитивный многочлен 316, 351Присоединение элемента к полю 281Присоединенная матрица 96Произведение вектора на число 62-- линейного преобразования на число200----линейных преобразованийматриц 91матрицы на число 103многочленов 132--подмножеств группы402200430ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬПроизведение подстановок 33Производная многочлена 146, 296Пропорциональные векторы 63Простейшая рациональная дробь 162Простой корень многочлена 145---множитель многочлена 293спектрлинейногопреобразования 210элемент кольца 294Противоположный вектор----элемент в кольце62, 185Смежный класс359-- комплексные числа 121-- элементы группы 405Спектр линейного преобразованияСтепени элемента группы 399-- -- кольца 273Степенные суммы 330Степень л-матрицы 375274Процесс ортогонаJiизации 213Прямая сумма 411, 414Прямое произведение 416-- разложение 411Прямоугольная матрица 99--многочлеиавестныхРавенство многочленов 131Разложение группы по подгруппе 403-- многочлена на линейные множители 156--определителя по строкегруппы по подгруп-пе 402, 403Собственное значение 206, 207Собственный вектор 207Совместна я снстема линейных уравнений 16Сопряженные алгебраические числаотнеиз-312Строка координат вектора 190Сумма векторов 6\-- линейных преобразоваНI\Й 199---матриц 102многочленов132Счетное множество47нескольких207361Размерность линейного пространства191Ранг квадратичной формы 167линейного преобразовання 204-- матрицы 71, 285-- произведения матриц 101-- снстемы векторов 70Распадающаяся квадратичная форма178Расширение поля 280Расширенная матрица системы линейных уравнений 78Рациональная дробь J61Рациональные числа 110Результант 335, 339Решение многочлена от несколькихнеизвестных 334-- системы линейных уравнений 16Свободные неизвестные 80Сигнатура 177Симметрическая группа 397-- матрица 167-- рациональная дробь 329Симметрический многочлен 321, 332Симметрическое преобразование евклидова пространства222Система линейных уравнений-- Штурма 247-- чисел [(эли 115Скалярная матрица 104Скалярное произведение 211Сложение матриц 10215Теорема Бюдана--Фурье 255-- ГаМllльтона-Кэли 390-- Дека рта 255-- едииственности для л-матриц 368-- -- -- рациональных дробей 164-- -- -- симметрических многочленов 326-- Кронекера -- [(апелли 78-- Лагранжа 404-- Лапласа 51-- об умножении определителей 93-- Штурма 243Тождественная подстэновка 32Тождественноелинейноепреобразо-вание неизвестных 95-- -- -- пространства 195Траиспозиция 29, 34Транспонированные матрицы 39Трансформирование матрицы 199-- элемента группы 405Трансцендентное число 358Трансцендентный элемент кольца 288Тригонометрическая форма комплексного числа 118Умножение матриц 91Унимодулярная л-матрица 371Унитарное пространство 217Фактор-группаФорма 314407ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬФормула КарданоМуавра 123Тэйлора 1!9235Частное от деления многочленов---Формулы Вьета 159, 305-- Ньютона 331Фундаментальная система решений289-- элементов-- -- матрицы 206-- определители 79Целые числаЦикл11027629подстановка 32Числовая матрица 364Числовое кольцо 266-- поле 269Член определителя 24-85Эквивалентные системы векторов 68Элементарная л-матрица 373Элемента рные делители 386-- преобразования л-матрицы 365-- -- числовой матрицы 75-- симметрические многочлены 321Элементы матрицы 1635Циклическая группа--206поля135' •Четная перестановкаХарактеристика поля 280Характеристическая матрица 206Характеристические корни линейногопреобразования 206, 207Характеристический многочлен431подгруппа400401Ядро гомоморфизма 408линейного преобразования-204Àëåêñàíäð Ãåííàäèåâè÷ ÊÓÐÎØÊÓÐÑÂÛÑØÅÉ ÀËÃÅÁÐÛÓ×ÅÁÍÈÊÈçäàíèå ñåìíàäöàòîå,ñòåðåîòèïíîåÃåíåðàëüíûé äèðåêòîð À.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
