1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 82
Текст из файла (страница 82)
, k, - nрямыми слагаемыми этоголожения, а элементajизслагаемом А ! разложенияЕслидан,о(2) -ICом(()н,ен,той элемента(1), i = 1, 2, •.. , k.прямое разложен,ие(1)слагаемые А ! этого разложен,ия, вселожен,ы8прямуюzpynnaхвгруппы О и еслиилиHeIComopble,подразпрямомпрямыесамиразсумму,А! = Аитоak ,Ak ,IЗаписьгруппые д и н••• ,+ A i2 + ... + Aikl'(3)k i ;:;:.
1,О будет прямой сум.мой всех своих n()дгруnnAii' j= 1, 2, ... , k j ,Ё=1, 2, ... , k.Действителsно, для произвольного элемента х группы О существует запись (2) относительно прямого разложения (1), а длякаждой компоненты a i , i = 1, 2, •.. , k, - записьa j = ан+ 0j2 + ... + a/kjотносительно прямого разложениясуммой всех элементов a i }> j =Единственностьзаписьэтойзаписихвидеэлементав подгруппахA ij ,в(4)(3) группы A j • Ясно, что х будет1, 2, ... , k i , i = 1, 2, ...
, k.вытекаетсуммыизтого,элементов,что, берявзятыхполюбуюодномуи складывая слагаемые, принадлежащие к однойи той же подгруппе A j , i = 1, 2, ••. , k, мы должны получить какраз равенство (2); с другой стороны, каждый элемент aj обладаетлишь одной записью вида (4).Определению прямой суммы можно придать иную форму. Введем сначала еще одно понятие. Если в абелевой группе О даны412[гл.группынекоторыеподгруппы В 1 •В2 •Ве •• •• ,тообозначим через {В1 ,В 2 , ••• , В е } совокупность элементов у группы О, которые х о т яо д н и мс пос о б о мментовb1 •В 1 , В2 ,•••• В е •Ь2 •могутЬе,• •• ,бытьзаписанывзятых14ввидесоответственнобысуммывэлеподгруппах(5)Мн-ожество {В 1 • В2 • • •• , В е } будет подгруппой группы О.Говорят. что эта подгруппа nорожден-а подгруппами В 1 , В2 , ••• , В е •д.лядоказательствас записью(5).возьмему' = b~где ь;-в{B1 •В2 ,Ве }••• ,элемент уа также элемент у'.
обладающий аналогичной записью+ b~ + ... + Ь;,элемент из B j • i = 1, 2. • •. , 1. Тогдау + у' = (Ь 1-ут. е. элементы у=+ b~) + (Ь2 + b~) + ... + (Ь е + Ь;).(-b 1 ) +( -Ь 2 ) + ... +( -Ь е ),+у' и-у также обладают хотя бы одной записьювида (5) и, следовательно. принадлежат к множествучто И требовалось доказать.{B 1 • В2 •В е },••••Подгруппа {B 1 , В2 • • ••• В е } содержит тсаждую из подгрупп B j ,i = 1. 2. . •. , 1. Действительно, всякая подгруппа группы О содержит нуль этой группы, а поэтому. беря.
например. в подгруппе В 1любой элемент b1 , а в подгруппах В 2 • •••• Вl-элемент О.получим для элемента Ь 1 следующую запись вида (5):b1=b1 +0+ ...+0.tJ тогда и тольтсо тогдаподгрупп A 1 , А 2 • ••• , Ak , если он-аАбелева группа.мой своихnодгрумыбудет nря.моlJ.су.мnорождается этимиnn ами,(6)и еслu nересечен-иегруппой.А1, А2 ,тсаждойnорожден-н-ой••• ,Aj _ 1 •подгруппывсе.миAj , 1= 2, ••• , k,nредшествующи.мисподподгруппамисодержит тольтсо н-уль.{A 1 , А 2 ,••• ,Aj _ 1 } n A j= О. 1= 2,•••• k.(1)Действительно. если группа О обладает прямым разложением (1),то для в с я к о г о элемента х из О существует запись (2), а поэтомуимеет место равенство - (6).
Справедливость равенств (1) вытекаетиз е д и н с т в е н н о с т и записи (2) для любого элемента Х: еслиnбы для некоторогоi пересечение {A 1 • А 2 • ••• , Ai-l} A j содержалоненулевой элемент Х. то. с одной стороны, Х можнс! записать какэлемент aj изAj •т. е. ХХ==aj,и поэтому0+ ... +O+aj+O+'" +0;(8)§ 66]ПРЯМЫЕсуммыАБЕЛЕВЫХ413группс другой стороны, х, как элемент из подгруппы {А 1 , A z,••. , Ai - 1 }обладает записью видат. е.(9)(8) и (9) будут, очевидно, двум яэлементаразнымизаписямивида (2) длях.Обратно, пусть выполняются равенства (6) и (7). ИЗ (6) следует,t" группы а обладает хотя бы одной записьювида (2).
Пусть, однако, для не которого элемента х существуютчто любой элементдве различные записи вида(2),(10)Тогда можно найти такоеi, 1 ~ k,что(11 )нот. е.aj-а;=I=О.Из(10)и(11)следует, однако, равенствоaj-a; = (a~ -а 1 )понятиепрямойстороны. Пусть даноk+ (a~- а 2 ) + ... +(a;-l -(12),противоречащее, ввидуНа(12)равенствусуммыможно(7).a i - 1),Теорема доказана.посмотретьссовсеминойпроизвольных абелевых групп А 1 , А 2 , ••• ,Ak ,среди которых могут быть и изоморфные. Обозначим через а совокупностьвсевозможныхсистем(a 1 ,видаа2 ,••• ,(13)a k ),составленных из элементов, взятых по одному вкаждойизгруппA1 , A z, ...
, A k •Множество а станет абелевой группой, если сложение систем вида ( 13) будет определено правилом:(a 1 , а 2 ,••• ,a k)+ (a~,a~, ••• , ak) =... ,т.А2,е.складываются••• ,Akэлементывкаждойиз(14)заданныхотдельно. Действительно, ассоциативностьгруппА1,и коммутативность этого сложения вытекают из справедливости этих свойствв каждой из заданных групп; роль нуля играет система(01' O~, ••• , 0k)'414[гл.группыгде через 0i обозначен нулевой элемент группы A j ,противоположной для системы (13) будет система(-а 1 ,-а 2 ,••• ,14i=l. 2 •••• , k;-ak )·Построенная абелева группа О называется прямой суммой групп.41' .42' ••• , .4 k и записывается, как и выше, через0=А 1 +А 2+ ... +Ak •Оправданием для этого названия служит то, чтоzpynnaО, Я8ЛЯЮ~щаяся прямой суммой групп А 1 • А 2 • • •• , A k 8 толЬ/со что оnре·деленном смысле, может быть разложена в прямую сумму своихnoazpynn A~, A~, •.• , A~, соответственно изоморфных zpynnaMА 1 , А 2 , ••• , A k •Именно, обозначим через А;, l = 1, 2, •..
, k, совокупность техэлементов группы О, т. е. систем вида (13), У которых на i-Mместе стоит произвольный элемент a j из группы A j , а все остальныеместазанятыследовательно,нулямисистемысоответствующихгрупп;этобудут,вида.. "(15)Определение сложения (14) показывает, что множество A~ будетподгруппой группы О; изоморфизм этой подгруппы с группой А ;мы получим, сопоставляsr каждой системе (15) элемент а/ группы А/.Остается доказать, что группа О является прямой суммой под-групп A~, A~, •.. , A~.
Действительно, любой элемент (13) группы Оможно представить в(а 1 , а 2 , . . . ,ak) =виде суммы элементов из указанных подгрупп:+0k) + ... + (01'(а 1 , 02' ••• , 0k)+ (01'а 2 , 0з, ••• ,02' ••. , 0k-1, ak)·Единственность этого представления вытекает из того, что различныесистемывида(13)являютсяразл,ИЧНЫМИэлементамигруппы О.Еслиданыдвесистемыабелевыхzpynn,А1,А2,••• ,Akи'81> 82' ...
, 8 k , причем группы А ; и В изоморфны, i = 1, 2, ••••.• , k,то группыиН=В1 +В2также будут изоморфными.Действительно, если дли i =+ ... +Bk1, 2, ••• , k между группами .4{установлен изоморфизм 'Р{, сопоставляющий каждому эле~ менту а, из А , Э.'Iемент aj'P, из Bi , то отображение 'Р, относящееи В{§ 66]ПРЯМЫЕВСЯКО,му элементуопределяемый(а 1 ,СУММЫа2,АБЕЛЕВЫХ415группak ) группы а элемент группы Н,••• ,равенством(а 1 • а 2 • ••• , a k) ср=(а 1 СРl' a z{jJ2' ••• , ak{jJk) ,будет, очевидно, изоморфным отображением группы а на группу Н.Если даны IC о Н е ч н ы е абелевы группы Ар А 2 • •••• A k • иМеющие соответственно порядкиэтихгрупптакжебудетn 1• n 2 •• •••конечнойnk •то прямая сумма агруппойиеепорядокnравен, nроизведен,ию порядков прямых слагаемых,(16)Действительно,элемента1принимаетможетчислоразличныхn}приниматьсистем видаразличных(13),значений,n 2 различных значений и т.
д., определяетсяу которыхэлементравенствомаз(16).Рассмотрим некоторые при м еры.Если порядокn кон,ечн,ой циклической группы {а} разлагается8 nроизведен,ие двух взаимн,о простых н,атуральн,ых чисел.n=st, (s, t)= 1,то группа {а} разлагается в прямую сумму двух циклическихгрупп, имеющих соответствен,но порядки s и '.Будем употреблять для группы {а} аддитивную запись. Еслиположим Ь= ta, тоа=nа=О,sb=(st)но дляO<k<sаkb= (kt)Т. е.циклическаяподгруппа{Ь}=1= О,имеетциклическая подгруппа {с} элемента с =сечение {Ь}O<k<s,n {с}saпорядокs.содержит только нуль, так как еслиO<I<t, то(kt)отку да, так как числаktчто невозможно ввидувзаимнойсуществуюттакиечислаиа=и(ls)Аналогичноимеет порядокt,Переkb=lcприа,Is меньше n,kt=!s,иv,простотычиселsиt.Наконец,чтоsu+tv=1,апоэтомуa=v (ta)+ и (sa)=vb+ ис,П, следовательно, любой элемент группы {а} можно представитькак сумму элементов из подгрупп {Ь} и {с}.Назовем абелеву группу а н,еразложимой, если ееложитьотв прямую суммунулевойподгруппы.нельзя раздвух или нескольких ее подгрупп, отличныхКонечнаяциклическаягруппа,порядок416[гл.группыкоторой является некоторой степеньюnри,м.арноЙ циклической группой,14простого числа р, называетсяотносящейся к простому числу р.Применяя несколько раз доказанное выше утверждение, мы получим,чтовсякаясу,м.,м.уконечнаяnри,м.арныхциклическаягруппа разлагаетсявnря,м.уюциклических групп, относящихся к различны,м.nросты,м.
числа,м.. Точнее, циклическая группа порядкаN = pk,1 pk2tгде Рl' Р2'8nря,м.уюпорядкирs-различные••• ,sсу,м.,м.уpk,pk.l'!,циlCличеСlCих••• ,pk.s'•••простыегрупп,числа, разлагаетсяи,м.еющихсоответственноpk.s·Всякая nри,м.арная r,икличесlCая группа неразложи,м.а.В самомпорядкаpk,деле,пожимой, то,пересечениев с я к а япустьдана(7),покоторыхонаобладала быравнон е н у л е в а ядержитконечнаяциклическая группа{а}где р- простое число. Если бы эта группа была разотличныйнулю.Вненулевыми подгруппами,действительности,п о д г р у п п аотнулян а шейоднако,г р у п п ыс оэлементb=pk- 1 a.длядоказательствавозьмемпроизвольныйненулевойэлемент хнашей группы,Числоsможно записать в видеs=p1s', O~/<k,где числосним,аs'уже не делится на р и, следовательно, взаимно простопоэтомусуществуюттакиечислаииv,чтоs'u+pv= 1.Тогда(pk-l- 1u ) х = (pk-l- 1 us)=pk-l (l-pv)аа= (pk- 1и8') а == (pk-l_рkV ) а =pk-1a_v(pka ) =pk- 1a = Ь,т.
е. элемент Ь входит в циклическую подгруппу {х}.Аддитивнаягруппацелыхчисел (т.е.бесконечная циlCЛUческая группа), а также аддитивная группа всех рациональныхчиселявляютсянеразложи,м.ы,м.игруnnа,м.и.Неразложимость обеих указанных групп вытекает из того, чтов каждой из этих групп для любых двух ненулевых элементовсуществует ненулевое общее кратное, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
