1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

, q,ля.ми .мн,огочлен,аen -степениразличныхлинейныхдвучленов,ниет. е.л1)k,j, (л-- Л 2 )k.j, ••• ,(л -Элементарные делители всех мнorочленов(1 О)(8),(л-j+1 ,н,ы.ми делителя.ttu .матрицы А и выпишемВозьмем теперь жорданову матрицуотличныевходящие1вот единицыегоразложе­Лt)ktJ.назовем эле.мен,тар­их в виде таблицыпорядкаn,(7).составленнуюIIЗ жордановыхклеток, определяемых следующим образом: к а ж д о м уэJIе м е н т а р н о м у Д е л и т е л ю (л-лj)k,j М а т р и Ц ы А с т а в и мв с о о т в е т с т в и е ж о р Д а н о в у к л е т к у пор я Д к аk jj ,о т н о­с я Щ у ю с я к ч и с л у Лj.

Очевидно, что от личными от 1 инвариант­ными множителями матрицы l-лЕ будут многочлены (10) и толькоони. Поэтому матрицы A-лЕ и 1- лЕ эквивалентны и, следова­тельно, матрица А подобна жордановой матрице 1.При м е р.Пусть дана матрицаА=(-16 -1787 -108)89 --4254-3 -316 -18 •-1 -16-8Приводя обычным способом матрицуA--лЕ кканоническому виду.

полу­чим, что отличными от единицы инвариантными множителями этой матрицыбудут многочленые 4 (Л)=(л-I)2(1..+2),еа(Л)=Л-I.Мы видим, что матрица А приводится к жордановой нормальной форме дажев поле рациональных чисел. Ее элементарными делителями являются много-§ 62]387МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕНчлены (л._1)2, ",-1 И л+2,матрицы А служит матрицаапоэтому1 1 О1 ОJ= О О 1(Онормальной формойg).ООжордановойО-2Если бы мы хотели найти ту невырожденную матрицу, которая транс­формирует матрицу А в матрицу J, то должны были бы воспользоватьсяуказаниями, сделанными в конце предшествующего параграфа.На основании предшествующих.замо,наконец,условиев и Д у,следующеерезультатовне об х о д и м оеприводимостиматрицыможет быть докаикДо ст а т о ч н оедиагональномуусловие, из которого немедленно вытекает достаточный кри­терий приводимости к диагональному виду, доказанный в § 33.Матрица А порядка n с эле,м,ента,м,и из поля Р тогда итолько тогдаприводится к диагонально,м,у виду, если все корниnоследliего инвариантного множителя е n (л) ее характеристиче­ской ,м,атрицы лежат в поле Р.nриче,м, среди этих корней неткратных.В самомделе,приводимостьматрицыкдиагональному видуравносильна приводимости к такому жорданову виду, все жордановыклетки которого имеют порядок1.Иными словами, все элементар­ные делители матрицы А должны быть многочленами первой степени.Так как,однако,всеинвариантныемножители матрицы A-лЕявляются делителями многочлена е n (л), то последнее условие равно­сильно тому, что все элементарные делители многочлена еn (л) имеютстепень1,что и требовалось доказать.§ 62.Минимальный многочленПусть дана квадратная матрица А порядкаnс элементами изполя Р.

Если!(Л)=аоЛk+аlЛk-l+ ..• +аk - 1 л+аk-ПРОИЗВОЛЬНЫЙ многочлен из кольца Р[л], то матрица!(A)=aoA k +a1 A k-l+ ... +ak_1 A+akEбудет называться 3liачеliие,м, многочлена! (л) при л = А; обращаемвнимание на то, что свободный член многочлена !(л) умножаетсяпри этом на нулевую степень матрицы А, т. е. на единичную ма­трицу Е.Легко лроверяется,что еслиj(л) = <р (л)+ 'i' (л)или!(л) = и (л) v (л),388НОРМАЛЬНАЯто[гл.МАТРИЦЫ13= rp (А) + 'i' (А)t(A)н,ФОРМАсоответственно,ЛА)=и (А)v (А).Если многочлен t(л) аннулируется матрицей А, т. е ..t(A)то матрицу А будемназывать= О,.Аtатрич.ны-мкорне-м или, там, гдеtэто не может вызвать недоразумений, просто корн,е-м многочлена ('А).Всякая -матрица А служит корне-м некоторого н,ен,улевого.Аlн,огоч.лен,а.Мы знаем, в самом деле, что все квадратные матрицы порядкаnсоставляют над полем Р n 2 -мерное векторное пространство.

Отсюдаследует, что система n 21 матриц+А n2 , А n2 -1,••• ,А, Елинейно зависима над полем Р, т. е. в Р существуют такие элементы0:0' 0:1, •.• ,О:n',О:n 2 +1'0:0А n2+невсе0:1An2-1равные+ ... +нулю,чтоо:n' А + О:n' +lЕ = О.Таким образом, матрица А оказалась корнем не нулевого многочленаrp (л) = 0:0 'А n2 +0:1л n2 - 1 + ., . -1- О:n 2Л +О:n'+1'степень которого не превосходитМатрица Аn2•служит корнем и для некоторых таких многочленов,старшие коэффициенты Koropblx равны единице-достаточно взятьлюбой ненулевой многочлен, аннулируемый матрицей А, и разделитьэтот многочлен на его старший коэффициент. Многочлен наименьшейстепеНlI со старшимназываетсячтокоэффициентоммин,имальныммин,имальн,ый1,аннулируемый матрицей А,мн,огоч.лен,О.Jlмногочлен,матрицы""ттрщ~ыАА.Заметим,оnределен,одно­значн,о, так как разность двух таких многочленов имела бы мень­шуюстепень,чемкаждыйиз них,нотакжеаннулироваласьбыматрицей А.Всякий мн,огоч.лен, t(л), анн,улируе.JtЫЙ матрицей А, делитсянацело н,а мин,имальный мн,огоч.лен, т ('А) этой матрицы.В самом деле, еслиt (л) = т Щ q (л) +где степеньr (л.)меньше степени т ('А), то/(А) = т (А)и изt(A)лению=т (А)r (л),=Оминимальногоследуетq (А) + r (А)r (А) =многочлена.О, чтопротиворечит опреде­§ 62)МИНИМАЛЬНЫЙ389МНОГОЧЛЕНдокажем теперь следующую теорему:Мuнu.Jtалыf,ЫЙ .Jtногочлен, .Jtатрuцы А совпадает с nоследнu.JtultBapualtmltbl.Jt ,м,ltожuтеле.Jt е n (л) хара1Стерuстuчес1СОЙ .Jtam-рицы А-ЛЕ.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Сохраняя обозначения и используя резуль­таты§ 59,можно написать равенство( - 1)" IА - лЕ I == d n -1 ( л) е " (л).Отсюда следует, в частности,что многочлены е" (л) ибудут нулевыми. Обозначим, далее, черезматрицу к матрице A-лЕ (см. § 14),В(Л)Как вытекает изВ(л)d"_l(л) неприсоединенную= (А-ЛЕ)*.равенство§ 14,(1)(3),(A-лЕ) В(Л) =справедливо равенствоI А -лЕI Е.(2)С другой стороны, так как элементами матрицы В(л) служат взя­тые со знакамиплюсили минусминоры(n -1 )-гопорядкамат­рицы A-лЕ и только они, а многочлен d"_l (л) есть общий наибольшийделительвсехэтихминоров,тоВ(л) = d"_l (Л) С(л),причем н а и б о л ь ш и й о б щ и йрицыС(л)(3)д е л и т е л ь9 Л е м е н т о вм а т­равенИз равенств1.(2), (3) и (1)вытекает равенство(А -лЕ) d n - 1 (л) С (Л)= (_1)" d n - 1 (Л) е" (л) Е.Это равенство можно сократить на ненулевой множитель d n - 1 (л),как вытекает из следующего общего замечания: если ljJ (л) - нену ле­Воймногочлен, D (Л)=(d ij (л»-ненулеваял-матрица,причемпусть d st (л) =1= о, то в матрице ljJ (л) D (л) на месте (8, t) будет стоятьотличный от нуля элемент ljJ (л) d st (л).

Таким образом,(A-лЕ) С (л) = (-1)" е,. (л) Е,откудае ,. (л) Е=(лЕ -А)[( -1 )n+1С (л)).(4)Это равенство показывает, что остаток от «левого» делениял-матрицы, стоящей слева, на двучлен лЕ-А равен нулю. Из леммы,доказанной в конце § 60, вытекает, однако, что этот остаток равенматрице е ,. (А) Е = е ,. (А). Действительно, матрица е (л) Е может быть"записанакак матричный л-многочлен,коэффициенты которогоявляются скалярными матрицами, т.

е. перестановочны с матрицей А.Таким образоме ,. (А)= О,390т.НОРМАЛЬНАЯе.МНОгочленм а три це йеn(л)ФОРМА[гл.МАТРИЦЫдействительно13аннулируетсяА.Отсюда следует, что многочлен е n (л) нацело делится на мини­мальный многочлен т (л) матрицы А,е n (л)= т (л) q (л).(5)Ясно, что с т а р ш и й к о э Ф Ф и ц и е н т м н о г О ч л е н аq(л) р а в е не д и н и Ц е.Так как т (А) = О, то снова, ввиду той жеостаток от левого деления л-матрицы т (л) Е наравеннулю,т.леммы из § 60,двучлен лЕ - Ае.т (л) Е= (лЕ -А) Q (Л).(6)Равенства (5), (4) и (6) приводят к равенству(лЕ -А)[( _1)n+1 С (л)]=(лЕ-А)[Q (л) q (Л)1.Обе части этого равенства можно сократить на общий множи­тель лЕ-А, так как старший коэффициент Е этого матричногол-многочлена является невырожденной матрицей. Таким образом,с (л)Мы помним, однако,чтоматрицы С (л) равенлевую степень, а= (-1 )n+ 1 Q (л) q (л).1.такнаибольшийобщийПоэтому многочленкак его старшийq(Л)=1.

Таким образом, ввидуделитель элементовq (л)должен иметь ну­коэффициентравен1,то(5),е n (л) = т (л),что и требовалось доказать.Так как, ввиду (1), характеристический многочлен матрицы Анацело делится на многочлен е n (л), то из доказанной сейчас теоремывытекаетследующаяТ ео р е м акорн,е.мсвоегоr а м и л ь т о н а-К эли.характеристическогоМинимальный многочленсначаласлед.ующееВсякая .матрица является.мн,огочлен,а.линейногопреобраЗ0вания.

Докажемутверждение:Если .матрицы А и Вподобн,ыи если .мн,огочлен, [сл) ан,н,у­лируется .матрицей А, то он, ан,н,улируется и .матрицей В.Действительно,Еслитопусть§ 62)391МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕНТрансформируя обе части ЭТОГО+равенства матрицей С,+ ...получаем:C-l (аоА " a1Ak-l+ak_1 A +akE) С==а о (C-l АС)" +а 1 (C-l AC}k-l+ak-l (С-l АС) +akE==aob k +a 1 b k -l+ ••• +a"_I B a kE =O,+ ...т. е. [(В}=О.Отсюда следует, что подобныеже.минuмальны.мMampUI{bt+обладают одним и те.м.многочленом,Пусть теперь <р будет линейное преобразование n-мерного линей­ного пространства над полемР.

Матрицы, задающие это преобра­зование в разных базах пространства, подобны между собой. Общийминимальный многочлен этих матриц называется .мuнuмальным мно·гочлеnом лuнеuного nреобразоваnuя <р.Используя операции надные в§ 32,линейньши преобразованиями, введен­можно ввести понятие значеnuя многочлена[(Л)=аоЛk+а1Лk-l+из кольца Р [л] при л,равном... +а k _ 1 л+аkлинейномупреобразованию <р: этобудет линейное преобразование[(<р) =ао<р" +a 1 <pk- 1 + ... +ak-1<P + а,,8,где 8 -тождественное преобразование.Мы скажем, далее, что многочлен [(л) аннулuруется линейнымпреобразованием <р,если[(<р)г де(j)= Ф,-ну левое преобразование.Учитывая связь между операциями над линейными преобразова­ниями и над матрицами,.АtaЛЬnЫЙ .многочленоднозна'точитательЛUliейногоопределеннымбез трудадокажет,nреобразоваnия<рчто мини·является теммногочлено.м наименьшей степенисостаршим 1C0эффицuентом 1, 1C0торый аннулируется nреобразо·вание.м <р.

После этого результаты, полученные выше, в частноститеорема Гамильтона-Кэли, могут быть переформулированы наязыке динейных преобразованиЙ.ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯГРУППЫ§ 63.Определение и при меры группКольца и поля, игравшие столь большую роль в предшествующихглавах, являются алгебраическими системами с двумя независимымиоперациями: сложением и умножением. В различных отделах матема­тики и в ее приложениях весьма часто встречаются,однако,итакиеалгебраические системы, в которых определена лишь одна алгебраJi­ческая операция. Так, ограничиваясь пока примерами, уже появдяв­шимися в нашей книге, отметим, что в множестве подстановок n-Йстепени (см.§ 3)нами была определена лишь одна операцияножение. С другой стороны, вства(§ 8)определениевходит сложение векторов, в товекторноговремя-ум­простран­какумножениевекторов не было нами определено (заметим, что умножение вектора§ 44на число не удовлетворяет данному вопредедению алгебраи­ческой операции).Важнейшимтипомалгебраическихсистемсоднойявляются группы.

Это понятие обладает чрезвычайноластыо применений и служит предметом большойнауки-операциейширокой об­самостоятельнойтеории групп. Настоящая г лава может рассматриваться ка квведение в теорию групп -в ней будут изложены элементарные све­дения о группах, знакомство с которыми необходимо каждому ма­тематику;закончитсяглаваоднойу словимся, как это принято врассматриваемуюалгебраическуюменееобщейв ы п од н и м о йа ииЬиоперацияявляетсяоднозначноназыватьНапомним(см.множестваопределенным-длядюбыхпроизведениеэлементомдвухи§ 44),предполагаетсяод н о з н а ч н о йрассматриваемоготеоремой.групп,операцию у.мн.ожен.Ue.ftтреблять соответствующую символику.алгебраическаяэлементарнойтеорииупо­чтовсегдаэдементоваЬсуществуетэтогомножества.Группой называется множество а с одной алгебраической опера­цией, ассоциативной (хотя не обязательно коммутативной),причемдля этой операции должна существовать обратная операция.При этом, ввиду возможной некоммутативности групповой опе­рации, выполнимость обратной операции означаетследующее: длялюбых двух элементов а и Ь из а существуют в а такой о д н 0-§ 63]ОПРЕДЕЛЕНИЕз н а ч нООП Р е Д е л е н н ы йоп р е Д е л е н н ы йИПРИМЕРЫэлементэлемент у,х393ГРУППитакойо Д н о з н а ч н очтоах=Ь, уа=Ь.Если группа а состоит из конечного числа элементов,называется конечной группой, а число элементов в ней-тоонаnорядко,,"группы.

Характеристики

Список файлов книги