1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 79

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 79)

Примерами абелевых групп, составленныхне из чисел,служат линейныеопределенияпространства:как вытекаетиз их(см. §§ 29, 47), всякое лин.еЙн.ое nростран.ство н.ад nроизвольн,ы.м.nоле.м. Р будет абелевой группой отн,осительно операции сло­жен,ия.Переходим к при м е р а м н е к о м м у т а т и в н ы х г р у п п.Множество всех матриц n-го порядка над полем Р не будетгруппой по отношениюк операции умножения, так как нарушаетсятребование о существовании обратного элемента.

Если мы ограни­чимся,однако,лишьневырожденнымигруппу. Действительно,будет,как мы знаем,матрицами,произведение двухневырожденным,тоПОЛУЧИМ уженевырожденных матрицединичная матрица являетсяневырожденной, всякая невырожденная матрица обладает обратнойматрицей, также невырожденной, и, наконец, закон ассоциативности,выполняясьдлявсехматриц,справедлив, вчастности, дляматрицневырожденных. Можно говорить, следовательно, о группе н,евыро­жден,н,ых .uатриц n-го порядка над полем Р с умножением матрицв качестве групповой операции; эта группа некоммутативна приК весьма важнымпримерамприводит введенное вв§ 3конечныхнекоммутативныхn ~ 2.группумножение подстановок. Мы знаем, чтомножестве всех подстановок n-й степени умножение будет алге­браической операцией, притом ассоциативной, хотя приn~3неком­мутативной, что тождественная подстановка Е служит единицей этогоумножения и что для ВСЯКОЙ подстановки существует обратная под­становка.

Таким образом, .м.н,ожество nодстан.овок n-и стеnен.исоставляет по у.м.н,ожен,ию группу, nритО.Ае кон,ечн.ую порядка n!.Эта группа называется си.м..uетрическоU группой n-й стеnен,и; онанекоммутативна приn ~ 3.Рассмотрим теперь вместо совокупностистепенилишьмы знаем, изосовокупность1"2 n!всехподстановок n-йч е т н ы х подстановок, состоящую,элементов. Используя доказанную в§3кактеоремутом, что четность подстановки совпадает с четностью числа транс­позиций,входящих в какое-либо разложение этой подстановки в про­изведение транспозиций,мы получаем, что nроизведен,ие двух чет­н,ых nодстан.овок са.м.о чеmн,о; всамомделе, представлениеАВв виде произведения транспозиций мы получим, записав соответствую­щие разложения для А и В одно за другим.

Далее, ассоциативность898[гл.группыумноженияподстановокподстановкиочевидна.намизвестна,Наконец,ч-етностьчетностьтождественнойподстановкичетной подстановке А следует хотя бы из того,14чтоА -1записиприэтихподстановок можно получить одну из другой переменой мест верхнейи нижней строк, т. е. они содержат равное число инверсий. Такимобразом, мн,ожестjJO четн,ых nодстановоlC n-й стеnен,и будет+по У.Jtн,ожен,u/О lCон,ечн,ой группой порядкавается зн,акоnеременн,ойгруппойчто она некоммутативна приn-йn ~ 4,nl.стеnен,и;Эта группа назы­легкопроверить,хотя будет коммутативной при11=3.Симметрические и знакопеременные группы играют очень боль­шую роль в теории конечных групп, а также в теории Галуа. Заме­тим, что было бы невозможно, по аналогии со знакопеременнымигруппами, построить группу по умножению из нечетных подстановок,так как произведение двух нечетных подстановаквсегда есть четнаяподстановка.Большое число разнообразных примеров грушr доставляют раз­личные ветви геометрии.рода:Укажем один простейший примертакогомножество всех вращений шара около его центра будет груп­пой, притом некоммутативной, если произведением двух вращениймыназовемрезультатихпоследовательного§ 64.выполнения.ПодгруппыПодмножество А группы а называется подгруппой этой группы,если оно само является группой относительно операции, определен­ной в группе а.При проверке того, является ли подмножество А группы а под­группой этой группы, достаточно проверить:2)произведение любых двух элементов из А;1)содержится ли в Асодержит лиА вместесо всяким своим элементом и его обратный элемент.

Действительно,И] справедливости закона ассоциативности в группе а следует егосправедливость для элементов из А, а принадлежность к А единицыгруппы а вытекает из 2) и 1).Многие из групп, указанныхявляютсяподгруппамивпредшествующемаддитивная группа четных чисел является подгруппойгруппывсехцелыхгруппа аддитивнойпараграфе,других групп, также там указанных.чисел,группыапоследняяврациональныхсвоюочередьчисел,Так,аддитивнойестьпод­Все эти группы,как и вообще аддитивные группы чисел, являются подгруппами адди­тивной группы комплексных чисел. Мультипликативная группа поло­жительных действительныхчисел является подгруппой мультиплика­тивной группы всех отличных от нуля действительных чисел.

Знако­переменнаягруппаn-йгруппы этой же степени.степениестьподгруппасимметрической§ 64}399подгруппыПодчеркнем, что содержащееся в определении подгруппы требо­вание к подмножеству А группы а быть группой о т н о с и т е л ь н ог р у п п о в о йо пер а ц и и,оп р е Д е л е н н о йвг р у п п еА,является существенным. Так, мультипликативная группа положитель­ных дейtтвительных чисел н егруппывсехжится,какдействительныхподмножество,я в л я е т с я подгруппой аддитивнойчисел,вохотяпервоемножествосодер­втором.Если в группе а взяты подгруппы А и В, то их пересечениеАВ, т.

е. совокупность элементов, лежащих и в А, и в В.также будет подгруппой группы О.Действительно, если в пересечении Ав содержатся элементыnnх и у,то они лежат в подгруппе А,а поэтому к Апринадлежити произведение ху, и обратный элемент х- 1 • По тем же соображе­ниям элементы ху и х- I принадлежат и к подгруппе В, а поэтому'они входят И В Аn В.Полученный результат справе.1l.ЛИВ, как легко видеть, не толькодлядвухподгрупп,но и для любого числа подгрупп, конечного илидаже бесконечного.Подмножество группы А, состоящее из одного элементаочевидно,подгруппой этой группы;этав любой другой подгруппе группы А,группойгруппыО.сподгруппа,называетсядругой стороны,сама],будет,содержащаясяединичнойгруппааnoд~являетсяодной из своих подгрупп.Интересным примером подгрупп служат так называемые ц и к л и­ч е с к и еп о д г р у п п ы.мент.а а J'РУППЫ О.дениеnэлементов,Введем сначалапонятиест е п е н иэле­Если n-любое натуральное число, то произве­равных элементуа,называетсяn-йстепеньюэлемента а и обозначается через а n • Отрицательные степени эле­мента а можно определить или как элементы группы А, обратныеположительнымстепенямэтогоэлемента,илиже как произведениянескольких множителей, равных элементу а -1.

В действительностиэтиопределениясовпадают,{1 )Для доказательства достаточно взять произведение 2n множителей,из которых первые n равны а, а остальные равны а-!, и произвестивсе сокращения.Элемент,равный каклевой, так и правойчастиравенства (1), будет обозначаться через а -n. Условимся, наконец,под нулевой степенью а О элемента а понимать элемент 1.Заметим, что если операция в группе а называется сложением,то вместо степеней элемента а следует говорить о кратных этогоэлемента и записывать их черезБезтрудапроверяется,чтоka.в любойгруппелюбого элемента а при любых показателях т иn,адля степенейположительных,400(гл.группыотрицательныхилинулевых,имеютместо14равенства(2)(3)Обозначим через {а} подмножество группы О, составленное извсех степеней элементаа;внеговходит исамэлемента,являю­щийся своей первой степенью.

Под,мн,ожество {а} будет подгруп­пой группы О: произведение элементов из {а} лежит в {а} ввиду (2),в {а} входит элемент 1, равный а О , и, наконец, {а} вместе со всякимсвоим элементом содержит и его обратный элемент, так как из (3)следуетравенство(an)-lПодгруппа {а} называетсяnорожден,н,ойэле,мен,то,ма.=а-n.циклической подгруппой группыКак показывает(2),равенствоа,онавсегда коммутативна, даже если сама группа О инекоммутативна.Заметим, что нигде выше не утверждалось, что все степени эле­мента а являются различными элементамигруппы.Еслиэто дей­ствительно так, то а называется эле,мен,то,м бескон,ечного порядка.Пусть, однако, среди степеней элемента а имеются равные, напри­мер, a k = a l при k =1= 1; это всегда имеет место в случае конечныхгрупп, но может случиться и в бесконечной группе.

Еслиk> [,тоa k - l =l,т.е.существуютединице. Пустьравнаяnединице,п о л о ж и т е л ь н ы ет.1)элементааn =говорят,а именно порядкаЕсли элемента,эле,мен,товделя k наравныеn>О,1,что аk>O,естьтоk~n.эле,мен,т коuечного порядка,n.аимеет конечныйпорядокn,товсебудут, как легко видеть, различными. Всякая другая,мен,таа,е.2) если a k = 1,в этом случаестепениесть наименьшая положительная степень элемента а,nоложительн,аяили отрицательн,ая,(4). Действительно,n, получима поэтому, ввидуk=nq+r,(2) и (3),akеслиэлементыcmeneubравн,аk-ЛlOбое целоеэле­одн,о,мучисло,изто,О ~Г ~n,= (an)Q. а ' =ar•(5)§ 64)401подгруппыОтсюдадо/( n и a kстороны,следует, что= 1,такеслиэле.меnт а И.Аееет коnечnый nоря­то k должnо nацело делиться па n. С другойкак-1 =n (-1)+(n-1),то для эле.меnта а коnечnого порядкаТак как системасодержит(4)nnэлементов, тоизполученныхвыше результатов вытекает, что для эле.меnта а, и.меющего коnеч­nый порядок, его nоряд(жnсовпадает с nорядко.м(т.

е. с чис­ло.м 8ле.меnтов) циклической подгруппы {а}.Заметим, наконец, что всякая группа обладает одним-единствен­ным элементомпервогоская подгруппа{1}порядка-это будет элемент1.Цикличе­совпадает, очевидно, с единичной подгруппой.Циклические группы. Группа а называетсяпой, если она состоитиз степеней одногоциклическойизсвоихгруп­элементова,т. е. совпадает с одной из своих циклических подгрупп {а}; эле­мент а называется в этом случае образующи.м 8ле.меnто.м группы а.Всякая циклическая группа, очевидно, абелева.Примером бесконечной циклической группы слу­ж и та Д Д и т и в н а я г ру п п а ц е л ы х ч и с е лкратно числусматриваемой1,группы;вкачествебыло бы взять также число При м е р о мк о н е ч н о йnрядка-всякое целое числот.

Характеристики

Список файлов книги