1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 83
Текст из файла (страница 83)
любые две ненулевыециклические подгруппы обладают ненулевым пересечением.Заметим, что еслиоперациявабелевой группеумножением, то следует говорить не о прямой сумме,произведении.а называетсяа о nря,м.о""§ 67]КОНЕЧНЫЕАБЕЛЕВЫ417группыМультunлuкатuвliая группа оmЛUЧIiЫХотнуля действителыitхx чuсел разлагается в прямое nроизведеliuе мультиnлuкатuвliОЙ группы nоложителыitхx действитеЛbliЫХ чисел и группыпо умн,ожеIiUЮ.
составлеliн,ой из чисел 1 и -1.Действительно, в пересечении указанных двух подгрупп нашейгруппы содержится лишь число 1 - единичный элемент этой группы.С другой стороны, всякое положительное число является произве!lе1,нием самого себя на числовсякое отрицательное число -ведением своей абсолютной величины на число§ 67.про из- 1.Конечные абелевы группыЕсли мы возьмем любой конечный набор примарных циклическихгрупп, некоторыепростомуизчислу иликоторыхмогутдаже иметьотноситься к одному и тому жеодини тот же порядок, т.
е. бытьИiюморфными, то прямая сумма этих групп будет конечной абелевойгруппой. Оказывается, что этим исчерпываются все конечные абелевыгруппы:О с н о в н а я т е о р е м а о к о н е ч н ы х а б е л е в ы х г р у n пах.Всякая кон,еЧliая абелева группа О, liе являющаяся нулевойгруnгLOЙ, разлагается в прямую сумму nРИ.JtаРIiЫХ циклическихподгрупп.Доказательство этой теоремы начнем с замечания, что в группе ОliеnремеliliОявляютсяliайдутсястеnеliЯМUliеliулевыепростыхторый ненулевой элементхэлемен,ты,порядкикоторыхчисел.
Действительно, еслигруппыО имеетпорядокl,lхне ко= О,иесли pk, k>O, есть такая степень простого числа р, на КОТОРjЮчисло1делится,то элемент тх отличен от нуля и имеет порядок pk.Пусть(1)будут все раз л и ч н ы е простые числа, некоторые степени которыхслужат порядками некоторых элементов группы О.Обозначимчерез р любое из этих чисел, а через Р совокупность элементовгрyrшы О, имеющих своими порядками степени числа р.Мн,ожество Р является подгруппой группы О.
Действительно,в Р входит элемент О, так как его порядок есть 1 = рО. Далее,еслиpkX=O, то и pk(_X)=O. Наконец, если pkX=O, рсу=ои если, например,k~l,тоpk(x+ у)=О,т. е. порядком элемента хэтогочисла,т.е.во+уВСякомслужит или число pk, или делительслучаене котораястепеньчислар.418[гл.группыБеря в качестве р поочередно каждое из чиселsненулевых(1),14мы получимподгруппР2 ,P1,Ра ,••• ,(2)Группа О является nря,м,ой су,м,,м,ой этuх подгрупп,O=P1 +Р2 +··· +Ра ,Действительно,его порядокиз системыеслих-произвольныйможет делиться1лишь(3)элементгруппы О,тона некоторые простые числа(1),l=pk'pk.12·••pk.s'где ki;Э: О, 1 = 1, 2, ... , В. Поэтому, как показано в конце предшествующего параграфа, циклическая подгруппа {х} разлагаетсявпрямуюсуммупримарныхветственно порядки P~"циклическихP~2,Р:"••• ,подгрупп, имеющих соотЭти примарные циклические(2),подгруппы лежат в соответственных подгруппахэлементномухвопредставляетсявсехиливвиденекоторыхсуммыизи, следовательно,элементов,подгрупп(2).взятыхпоодЭтим доказаноравенство0= {P1 ,аналогичноеpageHcTBY (6)Р2 , ••• , Ра },из предшествующего параграфа.Для доказательства равенства, аналогичного равенству (7) изтого же параграфа, возьмем любое [, 2';;;;;; [.;;;;;; s.
Тогда любой элемент у из подгруппыР2 , ••• ,{P1 ,Pi -1 } имеет видy=a 1 +a 2 +···+ai - 1 ,где элемент aJ,имеет порядокp~, p~"порядком. .P~:l'элемента11,в подгруппеТогда(pk'pk.111'"т. е.лежитj= 1, 2, ••• , [-l,pJi.уpkl-l)у=О1-1служитP J,т. е.'не которыйделительчисласледовательно, элемент у, если он отличен от нуля,не может содержаться в подгруппе{P1 ,Р2 , ••• ,Pj •Pj -1}Этим доказано, чтоnP =jО,что и требовалось доказать.Заметим, что абелева группа, порядки всех элементов которойявляютсястепенямиодногои того же простого числа р, называетсяnрu,м,арной относительно числа р.
Примарные циклические группыявляются частным случаем примарных групп. Таким образом, подгруппы (2) примарны. Они называются nри,м,арны,м,и 1Со,м,nонента,м,игруппы О, а прямое разложение (3) -разложенuе.Jt этой группы8nрu,м,арные1Со,м,nоненты.Таккакподгруппы(2)определены§ 67)КОНЕЧНЫЕАБЕЛЕВЫ419группы8 группе а однозначным образом, то и разложение группы ав nрuмарные /Сомnон.ен.mы оnределен.о одн.озн.ачно.Разложимость всякой конечной абелевой группы в прямую суммупримарных групп с в о д и т, п о н я т н о, д о К а з а т е л ь с т в о о с н о вн о й т ео ре м ын а с л у чайв о й г р' у п п ы Р,К о н е ч н о й при м а р н о й а б е л ео т н о с я щей с я к н е К о т о р о м у про с т о м уч и с л у р. Рассмотрим этот случай.Пусть а 1 будет один из элементовгруппы Р, имеющих внаИflЫСШИЙ порядок.
Если, далее,в группеэлементы,которыхциклическиеподгруппыР имеютсянейненулевыепересекаютсясциклической подгруппой {а 1 } лишь по нулю. то через а 2 обозначим одиниз элементов наивысшегопорядкаством; таким образом{а 1 }средиэлементовс этим свойn {а 2 }=О.a 1 • а 2 • ••• , ai-l' Подгруппу групциклическими подгруппами, обозначимПусть уже выбраны элементыпыР.порожденнуючерез {а 1 • а 2 , ••• ,ai -{{а 1 }.
{а 2 } •их1 }.• ",{a i - 1 }}={а 1 • а 2 •... ,a j _ 1 }.(4)Она состоит. очевидно, из всех элементов группы Р, которые могутбыть записаныа2 ,••• ,a j _ 1;ввидесуммыэлементов.кратныхэлементама1 •будем говорить, что эта подгруппа nорождаеmся элементами а 1 , а 2 , ••• , a i - 1 .
Обозначим теперь через a j один из элементов наивысшего порядка среди тех элементов группы Р, циклическиеподгруппыкоторыхгруппой {а 1 , а 2 , ••• ,{a 1 ,ai-имеютравноенулюпересечение с под1 }; таким образома2,••• ,a j _ 1 } n {а/}=О.(5)Ввиду конечности группы Р этот процесс должен остановиться;пусть это произойдет после того, как будут выбраны элементы а 1 ,а2 ,••• ,этимит.as .Если через р' мы обозначим подгруппу, порожденнуюэлементами,... ,е.... ,(6)то, следовательно, ц и к л и ч е с к а я п о д г р у п п а л ю б о г о н е н улевогоэлементан е н у л е в о егруппыР имеетс подгруппой р'пер е с е ч е н и е.Равенство (6) и равенство (5), справедливое для i = 2, 3, •.. , s,показывают, ввиду (4), что п о д г р у п паР' я в л я е т с я пр я м о йсуммой циклических подгрупп {а 1 },Р'={а 1 }+{а 2 }+••.+ {as }'Остается доказать, что п о д г р у п паР'п ад ает со8 С е йг р у п пой Р.{a\l} • ...
, {a s }'(7)н а с а м о м Д е л е с о в420[гл.группы14Пусть х-любой элемент группы Р, имеющий порядок р. Так какр'а подгруппа {х} несамой- напомним,рядкагруппы,аимеетn {х} =1=0,ненулевыхподгрупп,отличных от неечто порядок подгруппы является делителем почислор-простое,тов действительностиподгруппа {х} содержится в подгруппе р' и, следовательно, х принадлежит к Р'. Таким образом, все элементы порядка р из группы Рвходят в подгруппу р'.Пусть уже доказано, что в подгруппу р' входят все элементыгруппы Р, порядок которых не превосходит числа pk- l , и пустьХ - любой элемент из р, имеющий порядок pk.
Как показываетвыбор элементов а 1 , а 2 , ••• , a s ' порядки их идут не возрастая ипоэтому можно указать такое i, 1 ~ i - 1 ~ s, что порядки эле-ментовa 1, а 2 ,••• ,а._ lбольше илиэлементаа;строгоЭ,Iементах.Отсюдавыбор элемента а"меньшеследует,равны pk, а при i-1этогочисла,ввидут.е.условий,<$меньшекоторымпорядокпорядкаподчиненчто еслиQ= {a 1 , а 2 ,••• ,ai -1 },тоQn{X}=I=o.в предшествующем пар.аграфе было доказано, однако, что всякаяиену левая подгруппа примерной циклической группы {Х} порядкаpk содержит элемент(8)Элемент у входит, следовательно, в пересечениеив подгруппументов,Q.кратныхЭТОпозволяетэлементамy=lla1ИЗ(8)а2,записать••• ,ai -ув видеа поэтомусуммы эле1,+ 12 a 2 + ...
+li-l a j_l'(9)следует, что элемент у имеет порядок р. Поэтому(p 1l) а 1т.а1 ,Q n {Х},+ (pI2) а 2 + ... + (p1i-l) a i - 1 =О,(7),j= 1, 2, ... , i - 1.е., ввиду существования прямого разложенияЧислоplj должно, следовательно, делиться на порядок элемента а{,pk, откуда вытекает, что I} делится на pk- ,а поэтому и на число1}=pk- 1 m},Пустьz = m1 а 1j=1, 2, ... , 1-1.(10)+ m 2 а 2 + ... + mi-1aj-l'Это будет элемент из подгруппыпричем, ввиду (9) и (10),Q,а поэтому н на подгруппы р'.(11~§ 67]ИзКОНЕЧНЫЕ(8)и(11)АБЕЛЕВЫ421группывытекает равенствоpk- 1 (x-z)=О,т.е.порядокэлементаt=x-zне больше pk-t и, следовательно, в силу индуктивного предположения t содержится в подгруппе р'. Поэтому и элемент х, как су м мадвух элементов из Р', x=z+t, принадлежит к подгруппе р'.
Этимдоказано, что все элементы порядка pk из группы Р содержатся в р'.Наше индуктивное доказательство позволяет утверждать, следовательно, что все элементы группы Р входят в подгруппу р'. т. е.р'=р. ДоказатеJJЬСТВО основной теоремы закончено.В качестве побочного продукта мы получаем, что кон.ечн.ая абелева группа тогда и только тогда будет nримарн.оЙ отн.осительн.опростогочислар,еслиеепорядок является стеnен.ьюэтого числа р.
В самом деле, было показано, что всякая конечнаяпримарная (по р)абелевагруппа Рразлагается в прямую суммупоэтому порядок группы Рпримарных (по р) циклических групп, аравен произведению порядков этих циклических групп, т. е. являетсястепенью числар.Обратно,есликонечная абелева группа имеетпорядок pk, где р - простое число, то порядок любого ее элементабу детделителемчисла р,этогочисла,т. е.такженекоторой степеньюа поэтому группа оказывается примарной относительно р.Основная теорема еще не исчерпывает вопроса о полном описании конечных абелевых групп, так как пока не исключена возможность того, что прямые суммы двух различных наборов циклическихгрупп,примарныхпоHeKOTop~Mизоморфными группами.показываетследующаяНапростымсамомделечислам,могутоказатьсяэто не имеет места, кактеорема:Если кон.ечн.ая абелева группа а разложен.а двумя способамив прямую сумму nримарн.ых циклических подгрупп,0= {a t }+ {а 2 } + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
