1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Мы пока не умеем, однако,отвечатьнавопрос,илиСдругойнет.всехвматриц,том иливиях,подобныхпри которыхвпоканематрицеэлементамиодногорицыматрицу,лишь в одномчастномслучае.сначалакоторыхизучениемслужатнеизвестноголсмногочленысэтиматрицпроизвольныхэлементамипорядкаn,степеней откоэффициентами из поля Р. Такие мат-,Мflогочлен,н,ымижит характеристическая матрица ААИменноР.квадратныхматрицами,nолин,омиальн,ыми-,еатриll,ами или, I(ороче, л-матрицами. Примеромматрицы стоятматрице, былрассматриваться в настоящей главе, причем сразунаЗЫВ\lЮТСЯматрицыимеющуюпростейший вид, и даже вопрос об услоДШ! случая произвольного основного поляЗаймемсяумеем находить средиА,матрица А подобна диагональной§ 33будутли две данные конкретные матрицымыданнойином смыслерассмотренвопросыподобныстороны,изполял-матрицы слу- лЕ произвольной квадратнойР;на главнойдиагоналиэтоймногочлены первой степени, вне главной диагоналимногочлены нулевой степени или нули.
Всякая матрица с элемениз ПОilЯ Р-такие матрицы для краткости будем называтьчисловыми матрица.Аtu-также будет частным случаем л-матрюtы:тамиее элементы являютсяМНОI'очлена~1ИПусть дана л-матрицанулевойстеuениили нулями.§ 59]ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ~-мдтрицНазовемЭЛf:JrtеliтаРIiЫ.ИUразованияумножениеnреобразоваliUЯ.мu этойчетырехJlюбойматрицы преОбТИПОВ:маТрИllЫ А (л) на любое числоGG2) умножение Jlюбого столбца матрицы А (л) на любое числоGG1).следующих365строкииз поля р, от личное от ну ля;из ПО.1ЯР, от личное от ну ля;3) прибавление к любой i-й строке матрицы А (л) любой ееj-й строки, j =1= i, притом умноженной на любой многочлен ер (л)из KO:lbЦa Р [л];4) прибавление к любому '-му смлбцу матрицы А (л) любогоее j-ro столбца, J =1=ер (л) из кольца р[л].ЛегковаliИЙвидеть,Л--f-щmРИll,Ыявляющеесяпритом"чтоумноженногон.а любой многочлендля каждого из эле-f-tеliтаРIiЫХ nреобразосуществует обратliоеэле.меliтаРIiЬUl.Так,nреобразоваliие, такжеобратнымдляпреобразоваНИII1) будет элементарное преобразование, состоящее в умножениижестрокинаобратным длячислоGG-l,существующеепреобразования3)будетввидуусловияпреобразование,в прибавлении к i-й строке J-й строки, умноженной нав .матрицеА (л)ных nреобразоваilийдва столбца.Пусть,например,TO!;iGG =1=О;состоящее-ер (л)..можно при nО.lrlощи несколЬ1СUХ эле.меюmарпере ставитьнужнолюбыедвестрокипереставитьi-юиJ-Юилилюбыестрокиматриuы А (л).
Это можно сделать при помощи четырех элементарныхпреобразований,как показывает следующая схема:Здесь последовательно выполнялись такие преобразования: а) к l-йстрокев)1\прибавляласьj-я;б)изj-йстроки вычиталась новая i-II;новой i-й строке прибавлялась новая j-я;умножаласьнаг) новая j-ястрока- 1.Будем говорить, что л-матриuы А (л) и В(л) эквивалентны изаписывать это символом А (л) '" в (л), если от матрицы А (л) можноперейти к матрице В (л) при помощи конечного числа элементарпреобразованиЙ.Этоотношение эквивалентности является,очевидно, рефлекснвным и транзитивным, а также и симметричнымныхввидусуществованияобратногоквадратныенадляэлементарногоЛ--f-ютрuz{ынеnересекающиесякаждого элементарного преобразоваНИIIпреобразования.порядкаклассыnИнымиliaJ nОЛС-f-tэквивалентныхсловами,всеР распадаются.lrtатриц.Нашей ближайшей целью является разыскание среди всех л-матриц, эквивалентных данной матрице А (л), ыатрицы по возможнОСтИпростого вида.
Для этого введем следующее понятие. КаНОIi1tческойЛ--f-taтрицейтремя свойствами:называется л-матрица, обладающая следующими366[ГЛ.НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИUЫ13а) эта матрица диагональная, т. е. имеет вид(1)б) всякий многочлен еl (л), l = 2, 3, .•• , n, нацело делится намногочлен е'-l (л);в)старшийкоэффициенткаждого многочлена е, (л), l= 1,2, ... , n, равен единице, если этот многочлен отличен от нуля.Заметим, что если среди многочленов е, (л), стоящих на главнойдиагоналиканоническойто,свойстваввидугоналиновв);последниее, (л)всеместа.равныгонали матрицыКониСвстречаются(1),непременнодругойзанимаютстороны,равныенулю~на главнойеслидиасреди многочлевстречаются многочлен ы нулевой степени, то, по свойствуоничислукоторыел-матрицыб),(1)и,1поканоническихчисловыесвойствуб), занимают на главной диапервые места.л-матрицматрицы,втомпринадлежат,числевматрицычастности,единичнаянеинуJIевая.Всякаял-матрице,л-матрица эквивалентна некоторой каноническойт.
е., llHblMll словами, она nРllводится элементарnреобразоваНllя.Мll к каНОНllческому Вllду.Будем доказывать эту теорему индукцией поHblMllсматриваемых Л-ма1РИЦ. ДействиrеJIЬНО, приn= 1порядкурасnбудетА(Л)=(а(Л».Еслиа (л) = О, то наша матрица уже каноническая.
Если же а (л)=1==1= о,то достаточно разделить многочлен а (л) на его старшийкоэфсрициент - это будет элементарное преобразование матрицы - имыполучимканоническуюматрицу.Пусть теорема уже доказана для л-матриц порядка n - 1. Рассмотрим ПРОИЗВольную л-матрицу А (л) порядка n. Если она нулевая, то уже является канонической и доказывать нечего.
Будемсчитать поэтому, что среди элементов матрицы А (л) имеются ненулевые.Переставляя,можноугол. ТакимимеютсялевомСтепеньвсякомобразом,такие,многочлен.весли понадобится, строки и столбцы матрицы А (л),перевести одинвлевомРассмотримверхнемуглумногочленанепустомизненулевыхэлементовв левыйверхнийсреди л-матриц, эквивалентных матрице А (л),верхнемвсетакиеэтихявляется,углукоторыхматрицы.матриц,однако,могутстоитиметьнатуральныммножестве натуральныхненулевойМногочлены,разныестоящиестепени.числом,авочисел существует наимень-§ 59]367ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ Л·МАТРИUшее число. Можно найти, следова гельно, среди всех л-маТРИll, экви,валентных маТРИllе А (л) и имеющих ненулевой элемент в левомверхнемуглу,однуверхнемуглу,имеетнец,первуюзанногоизтаких,чтонаименьшуюстрокуэтоймногочлена,мымногочлен,матрицыполучимстоящий в ее левомвозможнуюнастепень.старшийтакуюделя, накокоэффициент укал-матрицу,эквивалентнуюматрице А (л),Ь 12 (л) ...
Ь1n (л) )еl (л)А (л)чтоиеl сл) =f:: О,кст о я лЬ n1 Сл)... Ь nn сл)коэффициентuивчтоейотТогда,полученнойм н о г о ч л енмыпридемкоторойм е н ь шейс т е п е н и.нацелоделятсяна el Сл)Пусть, например,+изнакматрицыуглуЬ 1} (л) = е 1 (л) q (л)r (л),меньше степени e 1 Сл), если r сл) отлично отr (л)умноженньпйравенп р е о б раз 0-все эле,Менты первой строки и первого столбца'матрицывычитаямногочленаверхнемдля 2~j~nгде степеньэтого•э л е мент а р н ы хлевомн е н у л е в о йдокажем,Ь n2 сл)перейтиматриц~быполученной:.: b~n. (~)ком б и н анельзятакой~2~ C~). .b~2 ~Л~старшийн и к а к о йваний(r--Jqстолбuа нашей матрицы ее первыйj-roСл),такойазатемпереставляяпервыйнуля.столбец,и j-й столбцы,матрице, эквивалентной матрице А Сл), в левомrверхнем углу которой стоит многочлен(л), т. е.
многочлен меньшей степени, чем е 1 Сл), что противоречит выбору этого многочлена.Отсюда следуетСл) = О, что и требовалось доказать.rВычитаябец,теперьумноженныйизнаj-roq Сл),столбца нашей матрицы ее первый столмы заменим элемент Ь 1} (л) нулем. Делаятакие преобразования для j = 2, 3, ... , n, мы заменим нулями всеэлементы Ь 1j (л). Аналогичным путем ваменяются нулями и все элементы ы 1 Сл), 1= 2, 3, ..., n. Мы nриде'м, следовательно, к такой'матрице,эквивалентной 'матрице А (л), в лево,М верхне,М углукоторой стоит ,Многочлен е ! Сл), а все остальные эле,Менты первой строки и первого столбца равны нулю,(2)Постоящаяиндуктивномувправомпредположению,нижнемуглуматрицаполученнойСП-нами1)-гопорядка,матрицы(2),3G8НОРМАЛЬНАЯФОРМА[гл.МАТРИЦЫ13элементарными преобразованиями приводится к каноническому виду:С 22 (л) ., .
С 2n (Л)е2 (л) ••С;, (А) ::. ~,~ (А;) ~ о(О).. ',(1.).Совершив эти же преобразования над соответствующими строками11 столбцами матрицы(2) -при ЭТОМбец этой матрицы останутся,чим,первая строкаипервый столочевидно, без изменения,- мы полу-А (л) "- (е 1 (Л) е 2 (л). • О).что(3)е n (л)одля доказательства того, что матрица (3) является канонической, 00 ается показать, что е2 (Л) нацело делится на С 1 (л). Пустье 2 Щ =е 1 (л)гдеr (л) =1= Ооднако,истепеньr (л)q щ +гменьшеко второму столбцу матрицы(Л),степени(3)е 1 (Л). Прибавляя,ее первый сголбец, умноженный на q (Л), а затем вычитая нз второй строки первую строку,мы заменим элемент е 2 (Л) элементом r (л).
Пере с гавляя, далее,первые две строки и первыедвастолбца,мыпереместиммногочлен r (л) в левый верхний угол матрицы, что противоречит, однако,выбору многочлена е 1 (Л).Теоре'.1а о приведении Л-матрицы к каноническому виду доказана. Эта теорема должна быть дополнена следующей т е о р е м о йе Д и н с т в е н н о с т и:ВСЯfсаяЛ-.АtатрицаЭh:вивалентналищьоднойканонической.матрице.В самом деле,пустьрядка п. Фиксируемданапроизвольнаянеко гороеИ рассмотрим все минорыэти миноры, мы получимнатуральноеJ.-ыатрицачислопо~ Il,порядка матрющ А (л). Вычисляяконечную систему многочленов от л;k-roнаибольший общий делитель этой системы многочленов,старшим коэффициентомА (Л)1~ kk,1,взятый сообозначим через d k (л).Мы имеем, следовательно,многочленыd 1 (Л), d 2 (Л), ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
