1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 68
Текст из файла (страница 68)
. .Применяя теорему Лапласа, вынося затем общие множители из столбиовопределителейивычисляяостающиесяопределители"ак определители Вандермонда, мы получим:snа~Ь~DМ=а~Ь~Пf(~j)·1=1или, используя(3)П(~i-~j)' Пg(а;).l';;;i<i';;;sиП(aj-aj)l';;;l<i';;;ni=1(5),a~b~DM=R(j, g)R(g, f).П1 ';;;i < j .;;; s(~j-~j)'П(9)I .;;; 1 < J .;;; nМы получаем, что правые части равенств (8) и (9), рассматриваемые как многочлены от неизвестных (6), равны между собой.Обе частй полученного равенства можно сократить на общие множители, не равные тождественно нулю. Общий множитель R (g, f)не равен нулю: ·так как ао -::j::. О и ЬО -::j::. О по условию, то достаточноподобратьдля(в основном(6)неизвестныхполенеили в некоторомравныеегодругдругурасширении),R (g, f).получить отличное от нуля значение для многочленадоказывается, что и другие два общихСокращая на все этиобщиемножителямножители,мызначениячтобы из(4)Так жеотличны от нуля.приходим К равенству(10)R(j, g)=D,которое и требовалось доказать.Откажемся теперь от требования, чтобы старшиеКОЭффИllиентымногочленов(1) были отличны отн у л я 1).
Об истинных степенях этих многочленов, можно, следов а-1) Этот временный отказ от того условия о старшем КОЭффИ!,l.иенте многочлена, которомуложениями:мымыхотимследовали до сих пор,рассматриватьси€темыобусловленмногочленовдальнеишимиот двухпринеизвестНЫХ и будем одно И3 этих неизвеСТ!lЫХ относить в коэффициенты. Старшийко,ффИlJиент может, слеДОВilтельно. обратиться в нуль при частных ЗlJаче·нияхэтогонеизвестного.§ 54]РЕЗУЛЬТАНТ, ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО.
ДИСКРИМИНАНТтельно,лишьстепенейнеутверждать,и,nчтоонисоответственно,имеет теперь смысла,raKкакнебольшеВыражениеs.их(2)рассматриваемыевозможно, меньше корней, чем пили339«формальных»длярезультантамногочленыимеют,С другой стороны, опредеs.литель (7) и теперь может быть написан, и так как уже доказано,что при ао #- О, Ь О -=1= О этот определитель равен результанту, то ив нашем общем случае н а з о в е м его результанто'м многочленов{(х) и g(x) и обозначим через R(f, g).Теперьужерезультантанельзя,нулюоднако,равносильнорассчитыватьнасуществованию=то,учтонашихравенствомногочленов=Rобщего корня. Действительно, если аоО и ЬОО, то(j, g) = Онезависимо от того, обладают ли многочленыи g общими корнямиили нет.
Оказывается, однако, что этот случай будет .единственным,когдаоизравенствасуществованиисправедливаурезультантаданныхследующаянулюfнельзямногочленоввывестиобщихзаключениекорнейИменно,1).теорема:Если даны ,Многочленыциента'ми, то результант(1) с nроизвольны,Ми старши'ми коэффи(7) этих ,Многочленов тогда и толькотогда равен нулю, если эти ,Многочлены обладают общи'м корне,Мили же если их старшие коэффициенты оба равны нулю.Д о к а з а т е л ь с Т В о. Случай ао#-О, Ь О -=1= О уже рассматривалсявыше, а случай ао=Ьо=О предусмотрен в формулировке теоремы.Нам остается рассмотреть случай, когда один из старших коэффициентов многочленов (1), например ао, отличен от нуля, а Ь Оравнонулю.Если bl=O для всех [, [=o,1, ...
, s, то R(f, g)=O, таккак определитель (7) содержит нулевые строки. В этом случае, однако,многочлен g(x) равен нулю тождественно и поэтому имеет общиекорни с f(x). Если жеbo=b1 = ••• =bk - 1 =0,иноb~s,еслиg(X)=bkXS-k+Ьk+lХS-k-l+то,Иbk#-O,заменяя впри меняяопределителетеорему(7)Лапласа,••• +bS-1х+Ьs>элементы Ь о , b1'il""мыпридем,очевидно,bk - 1 нулямикравенству(11)gТак как, однако, старшие коэффициенты обоих многочленовfотличны от нуля, то,g) = Опо доказанному выше, равенствоR (f,инеобходимо и достаточно для существования общего корня у много-членовиR (j,fиg) =g.С другой стороны, по (11), равенстваR (!.
g) =О равносильны, а так как многочлены g и1) Определитель (7) равен нулю, конечно, и прислучае, однрко, многочлены (1) имеют общий корень О.iian=bs=O.Оимеют,В этом340МНОГОЧЛЕНЫОТНЕСКОЛЬКИХНЕИЗВЕСТНЫХrГЛ.11понятно, одинаковые КОРНИ, ТО мы получаем, что и в рассматриваемомR (f, g)случае равенство нулю результантаванию общего корня у многочленов f (х) иравносильно существоg (х). Этим теорема доказана.Найдем результант двух квадратных многочленовlПо(х) = а о х 2+аlХ +а2'+ Ь 1 х +Ь2 •g (х) = Ь о х 2(7)а о Ul а 2 ОR ({,Оg) =Оили,вычисляяопределите.льао а1 а2ЬО Ь 1 Ь2 ОЬОb1разложением•Ь2попервойитретьей строкам,R ({, g) = (а О Ь 2 -а 2 Ь о )2- (aOb 1 -u1b o) (a 1b2 - uZb 1).(12)Так, если даны многочленыt(x)=x 2 -6x+2,то, поней.(12), R (f, g)=233,и потомуg(x)=x 2 +x+5,этимногочлены не имеют общих корЕсли же даны Мliогочленыt (х)=х 2 -4х-5,g (х)=х 2 -7х+ 10,то R ({, g)=O, т.
е. Э1И многочлены обладают общимявляется число ~корнем; этим корнемИсключение неизвестного из системы двух уравнений с двумяи g от двух неизвестных х и У с коэффициентами из некоторого поля Р. Мы запишемнеизвестными. Пусть даны два многочленаэти многочлены по убывающимfстепеням неизвестного х:коэффициенты будут многочленами из кольца Р[у]. Найдем результант многочленовfобозначим его черезg, рассматриваемых как многочлены от х, иRx (j, g); он будет, ввиду (7), многочленом отиодного неизвестного у с коэффициентами из поляRx (f, g) =Р (у).Р:(14)Пусть система многочленов (13) обладает в некотором расширении поля Р общим решением х=а, y=~.
Подставляя в (13)вместо у значение ~, мы получим два многочлена f(x, ~) и g(x, ~)от одного неизвестного х. Эти многочлены обладают общим корнем а,а поэтому их результант, равный, ввиду (14), P(~), должен быть равным нулю, т. е. ~ должно быть ICорнед результанта Rx (f, g).Обратно, если результант Rx (j, g) многочленов (13) обладает KopHe~I~,то результант многочленов f(x,~) и g(x,~) равен нулю, т. е. либоРЕЗУЛЬТАНТ. ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО. ДИСКРИМИНАНТ§ 54]341эти .мн,огочлены обладают общи.м корне.м, либо же оба их стар·ших коэффициента равнын,у ЛЮ,ао(ft)=Ьоф)=О.ЭТИ\I путем разыскание общих решениfi систе"ш многочленов (13)к разысканию KopHefi ОДНОГО многочлена (14) от одного несведеноизвестного у, т. е.,как ПРИНЯТО говорить, н,еизвесrnное х исключеноllЗ систе.мы .многочленов(13).Следующая теорема отвечает на вопрос о степени того многочлена, который мы получае/d после исключения одного неизвестного из системы двукмногочленовсдвумяЕсли многочленыных соответственнонеизвестными!t (х,у) истепениg (х, у)n и s,имеют по COIJOKYl1HOCmuто степень много'/ленанеиззест·ЮR" ({,по неизвестному у не больше произведения ns, если, конечно, этот М1iога·член не равен IiУЛЮ тождественно.Прежде всего, если мы рассматриваем два многочлена от .одного неизвестного сорезультантстаршимиR (t ...
g)коэффициентами,являетсяравнымиоднороднымединице,многочленомто, поот Ul' а 2 ,(2),ик••• , а",~l' ~2' .•• , ~" степени ns. Отсюда следует, что если в выражение резуш.танта через коэффициенты аl' а 2 , ••• , а",b 1, Ь 2 , ••• , bg входит члеlik,ak'aI2и если весом• ••aknbl,bl ,111 2•••bls•этого члена будет названо числото все члены выражения R а, g) через коэффициенты имеют один и тот жевес, равный ns. Эго утверждение справедливо и в общем случае, для членовреЗУJlьтанта (7), если весом члена a~·aZI ••• a~nb~Ob~1 •• , Ь~'будеr назваliОчисло(15)Действительно, заменяя в членах определителяницей, мы приходим(7)множители а о и Ь О едик уже рассмотренному слу'!аю, однако показагели приэтих множителях входят в (15) с коэффициентами О.Запишем теперь многочленыи g в следующем виде.nt (х,у) =а о (у) х" +а 1 (у) х n - 1g (х,у) = ь о (у) х "t+ Ь 1 (у) ха- 1+ ...
+а ,. (у)'+ ... + b (у).gТак как n есть степень(х, у) по совокупности неизвестных, то степенькоэффиuиента а, (у), ,=0,1,2, ...не может превосходить его индекс ';это же верно и для br(y). Отсюда следует, что степень каждого члена результанта R" (f.. g) не больше веса этого члена, т. е она не больше числа nЭ.что и требовалось доказать.Примеры.1.,n.Найти общие решения системы многочленов[(х,y)=x!y+3xy+2y+J.g(x,у)=2ху-2х+2у+3.342МНОГОЧЛЕНЫИсключимвизэтойОТ[ГЛ.11перепишемееНЕСКОЛЬКИХ НЕИ3ВЕСТНЫХсистемынеизвестноех,длячеговиде'(х, у)=у.Х 2 +(3 У ).Х+(2 У +3),}(16)у)=(2у-2)х+(2у+3);g(x,тогдаRx(f, g)=Iу3у2у-.22у+3О2у-22У +31ОКорнями результанта будут числа ~1 = неизвестного увнуль,старшиепоэтомукоэффициентыкаждоеизних=2lJ2+IIY+12.2у+3~2 = -4,32 . Примногочленоввместес(16)некоторымЭТИХ значенияхнеобращаютсязначениемдляхсоставляет решение заданной системы многочленов. МногочленыТ(х,-4)=-4x 2 -12x-5,g(x,-4)=-10х-5обладают общим корнем(11 = -I'2'Многочленых[( х ' _~)=_~X2_~222'g( х, -~ )=-5Химеют общий кореньимеетдва(12 =О.
Таким образом, заданная система многочленоврешения:1(11=-2'2.~1=-4и3~2=-2'(12=0,Исключить одно неизвестное из системы многочленов[(х, у)=2х 3 у- ху 2+ х +5,g (х,у)= х 2у 2+ 2 ху 2 -5у + 1.Так как оба многочлена имеют по неизвестному у степень 2, тогда каку одного из них по неизвестному х степень 3, то целесообразно исключить у.Перепишем систему в виде'(х, У)=(-Х).У2+(2Х З ),У+(Х+5),}g(x, у)=(х 2 +2х)у2_5у+1и найдем ее результант, применяя формулуRy{l,(17)(12):g)=[(-х)·I-(х+5)(х 2 +2х)J2-Н- х)(- 5)-2х 3 (х 2 + 2х)] [2х 3 • 1-(x+5) (-5)] == 4х В + 8х 7 + 1 Ix 6 + 84х 5 + 161х 4 + 154х 3 +Одним из корнейрезультантаявляется О. Однако96х 2 - 125хпри этом значениинеизвестного х оба старших коэффициента многочленов (17) обращаютсяв нуль, причем, как легко видеть, многочлены(О, у) и g (О, у) не имеютобщих корней.
У нас нет способа найти другие корни результанта. Можноутверждать лишь, что если бы мы их нашли (например, в поле разложенияfдляRy (f, g»,то ни один из них не обращал бы в нуль оба старших коэффициеита многочленов (17) и поэтому каждый из этих корней вместе с некоторым значением для у (одним или даже несколькими) составлял бы решение заданной системы многочленов.§ 54)РЕЗУЛЬТАНТ.
ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО. ДИСКРИМИНАНТСуществуют методы, позволяющиенеизвестныеинеизвестных.изсистемспоследовательно исключатьПРОИЗВОЛЬНЫМЭти методы, однако,343числоммногочленовислишком громоздки и поэтомуне могут быть включены в наш курс.Дискриминант.Поаналогии с вопросом,к понятию результанта,которых многочлен [(х) степениными корнями.[(х)ипустьвкоторыйпривел насможно поставить вопрос об условиях, прииз кольцаnР [хl обладаеткратПусть= аох n + a1x n - 1+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
