1611141246-ab877e3369ab95682ab65d15168ec168 (824984), страница 65
Текст из файла (страница 65)
3~eCb s = 1, 2, •••18-1,=но324МНОГОЧЛЕНЫпричемчленывысшийчленОТНЕСКОЛЬКИХкаждогопредшествующихиз нихмногочлеl:lОВ,rГ л.НЕИЗВЕСТНЫХбыл быи тем11ниже, чем высшиеболее ниже, чем(2).Однако, еслиестьвысшиймногочленачленследуютмногочлена!s'тоизсимметричностиэтогонеравенства(Б)подобные неравенствамчлена (7), то(3).С другой стороны, так как член(2)выше(9)Легко видеть,однако,чтосистемыцелыхнеотрицательныхчисел'1' 12' ••• , ln удовлетворяющих неравенствам (8) и (9), можно выбратьлишь конечным числом способов.
Действительно, если даже отказатьсяот требования(8)не большето все равно+ 1)nk1 ,и лишь предполагать, что всевыбор чисел';';, i =; 1, 2, ... ,n,будетвозможен лишьспособами. Отсюда следует, что последовательность многочленов (6) со строго понижающимися высшими членами не может(k 1быть бесконечной.Доказательство теоремы закончено.Оl'меченнаявыше связь элементарных симметрических многочле·нов с формулами Вьетас т в и епозволяетвывеститакоеиз основной теоремы о симметрическихважноес JI е дмногочленах:Пусть! (х) есть .лUlогО'lлен.
от одн.ого н.еиЗ8естч.ого н.ад полем Р,имеющий старши.м, ICоэффициен.томметричеСICий .лu/,огочлен(сеоин.ицу.ТогдаlCоэффициентами из.Atн.огочлен.а !(х), nрин.адлежащихIC8СЯICийси.МР) от IC о.р н е йн.еICоторо.Лtуполю разложе!Iiия .Аtн.огочлеliа(х) н.ад Р, будет .A-lн.огочлен.О.Аt (с ICоэффициен.та.АtИ из Р) от IC о Э Ф Ф и ц и е н, т о 8 .Аtн.огочлен,а! (х) и flоэтО.Аtубудет эле.Аtен,тО.А1 поля Р.Изложенное выше доказательство основной теоремы дает заодно и методдля практического разыскания выражений симметрических МНОГОЧJIенов черезэлементарные.Предварительно введем следующее обозначение: если(10)есть некоторое произведение степеней неизвестных X 1, Х2.
'"среди покаэателей могут быть "и равные нулю). то через, Х n (причемS (ax kI , x k2,x nkn )'·'будет обозначаться суммавсехчленов, получающихся(11 )из(10)привсевозможных перестановках неиэвестных. Очевидно, что это будет симметрическиймногочлен, притом однородный, и что всякий симметрический многочлен от nнеизвестных, содержащий член (10), будет содержать и все остальные членымногочлена (11).
Например, S (x 1 ) = 0l"S (х lX2) = 02' S (x~) есть сумма ква./!всех неизвестных и т. lJ..ратов§ 52)СИММЕТРИЧЕСКИЕПри м е р.выразитьСимметрический многочленчерезэлементарные325МНОГОЧЛЕНЫt=симметрическиеЗдесь высший Ч.1ен X~ Х 2 И поэтому <РlS (X~ Х 2 ) от n неизвеСТI1ЫХмногочлены.= 0'; -10'2 = о' 10' 2'Т. е.<Рl =(Х 1 +Х 2 +· ..
+Х n ) (ХI Х 2+ Х I Х З+'" +Xn_1Xn)== S (X~ Х 2 ) + 3S (ХIХ2ХЗ)'откуда11 =I-<Pl = - 3S(ХI Х 2 Х З) = - 30'з·Поэтому 1=IjJJ+/l=O'J0'2-30'З'В более сложных при мерах целесообразнее предварительно установить,какие члены могут войти в выражение данного многочлена Чt'рез элементарные, а затем найти коэффициенты этих членов методомнеопредеJlенныхкоэффициентов.При м еры.Найти1.выражениедлясимметрическогомногочленаf=S (X~X;).МЫ знаем (см. доказатеJlЬСТВО основной теоремы), что члены ис!(омогомногочлена ljJ (а,.
0'2 •.. , 'О'n) определяются через высшие члены симметрических МНОГО'lленов(2 ... " причем эти высшие члены ниже высшего члена/1'данного многочлена1,т. е. ниже x~x~. Найдем все произведения X~IX;' . .. Х;," ,удовлетворяющие следующим условиям: 1) они ниже члена X~X:, 2) они могутслужить высшими членами симметрических многочленов, т.е.удовлетворяютнеравенствам [1 ~ [2 ~ ... ~ [n' 3) по совокупности неизвестных он и имеютстепень 4 (так как все многочленыимеют, как мы знаем, ту жестепень, что 11 однородный МНОГОЧ.1ен п. Выписывая лишь соответствующиекомбинаЦИIj показателей и указывая рядом те произведения степенеii а, кото/1' 12' ...рые ими определяются, мы получаем следующую22000..0';-20':-0 =О';,21100..O'~ -10'~ -10'~ -о11110..O'~ -10'~ -10'~ -10'~ -оТаким образом, многочленfтаблицу:= О'lО'З,=0'4'имеет видt = а: + Аа10'з + 80'4'Коэффициент при0'2мы положили равным единице, так как этот член опреfделен высшим членом многочленаи имеет, как мы знаем из доказательстваосновной теоремы.
такой же коэффициент. Коэффициенты А и 8 мы найдемследующим образом.Положимх 1 =х 2 =хз=l,Х 4 ="'.=Х n =0.fЛегковидеть,чтоприэтих значеНliЯХ неизвестных многочленполучает значение 3. а многочлены0'1' 0'2' АЗ И 0'4-соответственно значения 3, 3, 1 и О. Поэтому3=9+А·3·1+8.0,откудаА=-2. Положим теперь Хl=Х2=х з =х4 =I, х 5 = ... =Х n =0.Значения многочленов {, аl' а 2 , UЗ и 04 будут равны соответственно 6, 4, 6,4. 1 Поэтому6=36-2·4·4+8·1,откуда8 =2.Таким образом, искомое выражение для1=0; -2UIUЗ + 2а4•tбудет326МНОГОЧЛЕНЫ2.отНЕСКОЛЬКИХ[гл.НЕ ИЗВЕСТНЫХ11Найти сумму кубов корней многочленаf (х) =х4 +х3 +2х 2 +х+ 1.Для решения этойзадачинайдем выражение через элементарные симметрические многочлены для симметрического многочлена S (x~).
Применяятот же метод, как и в предыдущем примере, мыа3000..a~,2100.1110..a1a2,получим таблицу.аз,поэтомух4 =Полагая сперва xl=x 2=1, хз= ... =хn=о,... =хn=о. мы получим А=-3, 8=3, т. е.а затемх l =х 2 =хз=l,S (хi)=аi-30\а2+3аз.Длянахождениясуммыкубовкорней(12)данногонаммногочленаl(х)нужно, ввиду формул Вьета, в найденном выше выражении заменить О'!через коэффициент при х з с обратным знаком, т.
е. через -1, заменить O'gчерез коэффициент при х 2 , т. е. через 2, и, наконец, заменить О'а черезкоэффициент при х с обратным знаком, т. е. черезIIнтересу\Ощая нас' сумма кубов корней равна-1. Таким образом,(-1)3-3.(- 1).2+3·(- 1) =2.Читательможеткорнями числа•проверить.1этот результат, если. уз1, -1'-2 +1 -2-уз-1учтет, чтоОf (х)имеет-'2-1-2-'чевиднотакже.чтозаданного многочлена f (х) и позволяет находитьиформула (12) не зависит отсумму кубов корней любого многочлена.Методдлявыраженияэлементарные, полученныйприводитквполнесимметрическогопримногочленадоказательствеопределенномумногочленуотвыражениячерез0'1'0'2' •••• О'n'ЭТОчерез0'1' 0'2' •••Оказывается, что никаким способом нельзя получитьт е о р е м а!основной теоремы,показывает,О'n'для! иногоследующаяе д и н с т в е и и о с т и:ВСЯ1сий си.lrz.метричеС1СиЙ .мн.огочлен. обладает лишь един.ствен.ны.м выражен.ие.м в виде .мн.огочлен.а от 8ле.мен.тарн.ых си.м.метричес1СUХ.мн.огочлен.ов.симметрическиймногочлендокажем ,эту теорему.
Если быj(x 1 , Х 2 , ••• 'Хn ) на полем Р обладал двумя различными выражеииями через 0'1' 0'2' ••• 'О'n:!(Х 1 , Х 2 , ••• , )сп)то= ер(0'1' 0'2' •••tО'n) = 'ф (0'1' 0'2' ••• , О'n)'разностьХ. (0'1' 0'2' •••• О'n) = ер (0'1' 0'2' •••• О'n) - 'ф (0'1' 0'2' •••• О'n)§ 52]СИММЕТРИЧЕСКИЕ327МНОГОЧЛЕНЫбыла бы отличным ОТ нуля многочленом от 0'1, 0'2 ••• , О'n' т.
е. невсе его коэффициенты были бы равны нулю, в то время как заменавэтом многочлене 0'1, 0'2' ••• , О'n их выражениями через Х 1 , Х 2 , •••• • • , Х n приводила бы к нулю кольца Р [Х 1 , Х 2 , ••• , Хn ]' Нам остаетсяпоэтому доказать, что если многочлен Х (0'1, 0'2, ••• 'О'n) отличен отнуля, т. е. обладает хотя бы одним отличным от нуля коэффициентом,то и многочлен g (Х 1 , Х 2 , ••• , Х n )' полученный из Х заменой 0'1'0'2, ••• ,О'n их выражениями через Х 1 , Х 2 , ••• , Хn :Х(О'I'такжеотличенотЕсли aO'~IO'~'O'n)=g(X1 , Х 2 , ••• , Х n )'0'2"'"(13)нуля.O'~" - один из членов многочлена Х, причем а =1= О,то после замены всех а их выражениями (1) мы получим многочлен•••от Х 1 , Х 2 , ••• , Х n ' высшим членом которого (в смысле лексикографического расположения) будет, как мы уже знаем из доказательства основной теоремы, членk, (Х Х• )k.ах !21(••• Х 1 Х 2 ••• Х Nгде/1 = k J/2 =)k n -_/, 1.1..axlx Z ••• Х n ,+ k + ...
+ k n ,k + ... + k n ,2.......2Отсюдаi = 1, 2, ... , n -1,т. е. по показателямk1, k2,личные••• ,knчлены/1' '2' ... ,'nможно восстановить показателиисходного члена многочлена Х. Таким образом, размногочленаХl' Х 2 ' ••• ,Х n ' обладаютХ,рассматриваемыераз л и ч н ы м икакмногочленыотвысшими членами.Рассмотрим теперь все члены многочлена х; для каждого из нихнайдемвысший членего представленияв видеХ 2 , ••• , Х n И отберем тот из этих высшихмногочлена от Х 1 ,членов, который будетн а и в ы с ш и м в смысле лексикографического расположения.
Каксказано выше, этот член не имеет подобных среди высших членов,получающихся из других членов многочлена Х, а так как он, по условию, выше каждого из этих в ы с ш и хчленов, то тем более он вышедругих членов, получающихся при замене в членах многочлена Х элементов 0'1' 0'2"'"О'n их выражениями(1).Мынашли, следовательно, такой член, который при переходе от Х (0'1' 0'2, ••• , О'n)К g(x 1 , Х 2 ' ••• 'х n ) появляется (с отличным от нуля коэффициентом)только один раз и поэтому ни с чем не может сократиться.
Отсюдаследует, что не все коэффициенты многочлена g (Х 1 , Х 2 , ••• , Х n )равнынулю,р [Х 1 , Х 2 , •••т.,xnJ,е.этотмногочленнеявляетсячто и требовалось доказать.нулемкольца328МНОГОЧЛЕНЫДоказаннуюоттеоремуНЕСКОЛЬКИХможно также,[ГЛ.НЕИЗВЕСТНЫХочевидно,11сформулироватьследующим образом:Система эле.uентарных сиJrlметрических многочленов аl' а2". .
.,Ра",lx 1 ,рассматриваемыхХ 2 , ••• ,§ 53*.xnJ,какэлементыколща..многочленовалгебраически независима над поле.лt Р.Дополнительные замечания о симметрических многочленахЗамечания к основноАтеореме.Доказательствоосновной теоремы о СИМ~lетрических многочленах, проведенное в предшеСТВУIQщемпара графе, позволяет сделать несколько существенныхдобавленийк формулировке теоремы, КОТОРЫМИ мы ниже воспользуемся. Преждевсего, коэффициенты того многочлена <{J (а1' а2'найден•..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
